【教案】3.1.2椭圆的简单几何性质 教学设计-高中数学人教版（2019）选择性必修一

1、3.1.2椭圆的简单几何性质教学设计一、内容和内容解析1.内容椭圆的简单几何性质包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点.2.内容解析教科书关于椭圆安排了两节内容，第一节是椭圆及其标准方程，第二节研究椭圆的简单几何性质.研究圆锥曲线过程中，用数形结合思想和坐标法统领全局，按照“曲线的几何特征-曲线的标准方程-通过方程研究曲线性质-应用”过程展开，其中椭圆的研究是重点，起到典型示范作用.本节通过先用几何眼光直观感知椭圆图形性质，明确几何图形的性质指什么，再利用椭圆标准方程研究几何图形的性质，即用坐标法进一步认识椭圆的性质以及它们的位置关系.利用椭圆的标准方程研究椭圆的范围、对称性、顶点，并由此

2、得到刻画椭圆扁平程度的离心率.从而促进学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展.结合以上分析，确定本节课的教学重点：椭圆的几何性质及各几何量的意义.二、目标和目标解析1.目标（1）椭圆的几何性质以及各几何量的几何意义.（2）能应用椭圆的几何性质求出椭圆的几何量、已知几何量求出椭圆的方程.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）会用几何眼光观察和思考椭圆的几何图形特点，利用椭圆方程探究简单几何性质.（2）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率.能运用椭圆的简单几何性质分析解决问题.三、教学问题诊断分析学生在学习了直线和圆的方程之后，对直线和圆方程的特点比较熟悉，通过类比能够掌握椭圆标准方程的

3、结构特征同时，在函数和不等式的学习过程中已经储备了利用等量关系寻找不等关系、以及研究图象的对称性、寻找顶点等基本能力学生积累了一些初步经验形成了解析几何特有的思维方式，因此，学生已经初步具备了一定的利用方程自主探究曲线性质的能力上一节的学习中，学生在探索明确椭圆的几何特征的基础上，利用几何特征建立坐标系，求出了椭圆标准方程.本节课的教学难点是椭圆几何性质的形成过程.四、教学过程设计（一）复习引入问题1：椭圆是怎样定义的？椭圆的标准方程怎么表示？ 我们把平面内与两个定点、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程是 ; 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准

4、方程是 .问题2：与直线方程和圆的方程相对比，椭圆的标准方程有什么样的结构特征？师生活动：学生独立思考、讨论交流.教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，与利用直线方程、圆方程研究他们的几何性质一样.利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质的； 包括：范围、形状、大小、对称性、特殊点. 设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题这里采用的“类比”就是一种重要的数学思维方法，通过类比直线、圆的研究方法，提出椭圆要研究的问题点明了本节课的研究内容和研究目标：椭圆的结构特征，利用椭圆的标准方程研究椭圆的范围、

5、形状、大小、对称性、特殊点. （二）探究新知探究1：范围问题1：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形框内，大家能利用方程确定出它的具体边界吗？师生活动：学生独立思考、讨论交流.教师提示：用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围.追问：即方程中、的范围，如何求呢？ 学生独立思考，教师提示不等式法，师生共同完成.由椭圆方程,可知：,所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式，即.同理有,即.这说明椭圆位于直线和围成的矩形框里.设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论这是一个培养学生数学转化思想的时机，提升学生的数学

6、素养.探究2 对称性问题2：观察椭圆形状，可以发现椭圆是对称图形，关于什么对称？学生答：关于轴、轴对称，是轴对称图形；又关于原点对称，是中心对称图形.问题3：关于轴、轴及原点对称的点的特征是什么？如何利用方程说明椭圆的对称性？师生活动：学生独立思考、讨论交流.学生答：关于轴对称点，关于轴对称点，关于原点对称点.根据学生探讨情况，教师讲解椭圆对称性的证明：以代后,方程不变.说明当点在椭圆上时,它关于轴的对称点也在椭圆上；所以椭圆关于轴对称.以代后,方程不变.说明当点在椭圆上时,它关于轴对称点也在椭圆上,所以椭圆关于轴对称.以代,代,方程不变，说明当点在椭圆上时,它关于原点对称点也在椭圆上,所以椭

7、圆关于原点对称；综上,椭圆是以轴、轴都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心设计意图：对称性的证明本身就是一种逻辑思维较强的推理，学习主要集中在高一阶段，遗忘率较高，有一定的难度.因此，让学生利用直观感悟得到椭圆的对称性，比较符合学生的现实，也是学生得到椭圆对称性的基本方法.同时根据学生的探究结果，将对称性的证明采用接受式学习，来突破这个难题，提升学生的理性思维.探究3 顶点问题4：椭圆上哪些点比较特殊？学生：与坐标轴交点.教师：对，即与对称轴的交点，椭圆与对称轴有四个交点，叫做椭圆的顶点.问题5：如何得到这些点坐标？学生：椭圆中，令得，因此点

8、，点是椭圆与轴的两个交点；同理，令得，因此点，点，是椭圆与轴的两个交点.教师：线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 设计意图：以坐标法研究问题为主线，设计问题层次分明，让学生充分经历完整用坐标法解决问题的过程，领会坐标法和数形结合思想.不仅掌握了知识，也掌握了研究问题的方法，激发了学生的学习兴趣探究4 离心率问题6：观察图3.1-9，发现不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.思考能用适当的量刻画椭圆的扁平程度吗？教师利用信息技术，改变与的值，让学生观察椭圆形状的变化.改变与的值，观察椭圆形状的变化.保持长半轴不变，改变椭圆得半焦距，可以发现越

9、接近，椭圆越扁平.类似地，保持半焦距不变，改变椭圆长半轴的大小，可以发现越接近，椭圆越扁平.而当与扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.学生：可以看出与这两个量可以刻画椭圆的扁平程度.教师：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用表示，即因为，所以.问题7：的变化如何改变椭圆形状？学生思考作答：越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为.问题8：你能利用三角函数的知识解释为什么越大椭圆越扁平，越小椭圆越接近于圆吗？如图，中，,.，越大,越大，越小，椭圆越扁；越小,越小，越大，椭

10、圆越圆.设计意图：椭圆的离心率是学生学习的难点和重点，为了突破难点，突出重点，我采用信息技术手段生动形象直观的让学生感受到对椭圆形状的影响，然后结合三角函数的知识从感性到理性的分析原因，提升学生对知识的理解，实现知识的横向迁移.归纳小结：椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围，顶点， 轴长长轴长，短轴长焦点， 焦距对称性对称轴为轴、轴，对称中心为原点离心率（四）典型例题与巩固练习类型一 由椭圆的标准方程研究几何性质例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.练习1求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标设计意图：巩固椭圆的几何性质，先写出标准方程，根

11、据方程判断焦点轴位置，求出、，再求几何性质.类型二 由椭圆的几何性质求标准方程例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，长轴长为，且两个焦点恰好将长轴等分；(2)长轴长是，离心率是； (3)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.练习2-1已知椭圆有两个顶点在直线上，求此椭圆的焦点坐标.练习2-2若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为.（1）求椭圆的方程；（2）求椭圆的离心率 练习2-3已知椭圆的长轴是短轴的倍，且过点，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程设计意图：利用几何性质求椭圆标准方程，采用待定系数法

12、设方程时，要判断椭圆的焦点位置，体会分类的原则和方法.类型三 椭圆的离心率例3比较两个椭圆与的形状，哪一个更接近于圆，为什么？练习3. 椭圆与的形状,哪一个更扁平?设计意图：检验学生对离心率刻画椭圆扁平程度的理解.进一步明确当越接近于时,椭圆越扁平;当越接近于时,椭圆越圆.例4设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，求的离心率.练习4.如图，已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.设计意图：一方面让学生体会用坐标法解决问题，另一方面通过不同的解法的比较，使学生体会坐标法中的运算所具有的特点.逐步形成这样的观念:建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键,运算具有“数形结合”的特征，而不仅仅是代数运算.例5已知椭圆的离心率，求的值练习5.已知椭圆的离心率为,求的值和长轴长.设计意图：突出椭圆焦点位置的不确定性,当字母的取值范围不确定时,应分焦点轴在和轴上两种情况讨论,让学生体会分类的原则和方法.(四)归纳总结1.椭圆的几何性质