5-4广义坐标与广义力

1、独立的虚位移数就是质系的独立的虚位移数就是质系的自由度自由度。3nNrs例如：沿曲面运动的质点有例如：沿曲面运动的质点有 个自由度。个自由度。两两N 是质点总数是质点总数 r 是完整约束的总数是完整约束的总数 s 是非完整约束的总数是非完整约束的总数自由度数自由度数思考：虚功原理给出几个独立方程？思考：虚功原理给出几个独立方程？能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为能够唯一确定质点系可能位置的独立参数称为广义广义坐标坐标。例如单摆的摆角。例如单摆的摆角。广义坐标数为广义坐标数为3kNr根据需要可以任选根据需要可以任选k个可以确定质系可能位置的独个可以确定质系可能位置的独立参数立参数 作为广义

2、坐标，它们可以是距离、作为广义坐标，它们可以是距离、角度、面积等。角度、面积等。1,.,kqq如果质点系只有完整约束，广义如果质点系只有完整约束，广义坐标的变化就不再受任何约束限坐标的变化就不再受任何约束限制，广义坐标数与自由度相同。制，广义坐标数与自由度相同。oylx:,AAq xy:q利用广义坐标描述质系运动利用广义坐标描述质系运动完整约束自然满足完整约束自然满足tanCCyxtanCCyxN = 2r = 1+2n = k = 3OxyrlABN = 2r = 3+2n = k = 1k = 3s = 1n = 2OxyvC:,CCq xyOxyABl纯滚动的圆柱有纯滚动的圆柱有 个自由

3、度。个自由度。纯滚动的球有纯滚动的球有 个自由度。个自由度。三三一一思考题思考题：1）纯滚的圆盘有几个自由度？）纯滚的圆盘有几个自由度？2）自行车在粗糙地面上运动有几个自由度？）自行车在粗糙地面上运动有几个自由度？自由刚体有自由刚体有 个自由度。个自由度。六六自由刚体的自由刚体的位形位形可以用基点坐标可以用基点坐标(3个独立参数个独立参数)和矩和矩阵阵A(3个独立参数个独立参数)确定。确定。圆柱圆柱位形位形可用一个转角确定。可用一个转角确定。球的球的位形位形可用三个转角和球心坐标可用三个转角和球心坐标(2个个)确定。确定。12( , )( , )( , )( , )iikiiiq qq tx

4、q ty q tz q trrijk12121.kiiiiikjkjjqqqqqqqqrrrrr11()NkiijjijAqqrF1kjjjQ q1()NijixjiQqrF12121.kiiiiikjkjjxxxxxqqqqqqqq1()NiiiixiyizjjjiyxzFFFqqqO广义力是广义坐标和时间的函数广义力是广义坐标和时间的函数。O广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定广义力是主动力的某种代数表达式，但不一定具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积具有力的量纲。广义力和广义坐标变分的乘积一定具有功的量纲。一定具有功的量纲。10kjjjAQ q0jQ 具有完整理想约束的质系平衡的

5、充要条件是所有具有完整理想约束的质系平衡的充要条件是所有的广义力都等于零。的广义力都等于零。这是这是k个平衡方程。个平衡方程。称为对应广义坐标称为对应广义坐标 qj 的广义力。的广义力。1()NiiijixiyizjjjiyxzQFFFqqqoylx()sinAmmg lgrAQsinQmgl均质杆均质杆OA和和AB用铰用铰A连接，用铰连接，用铰O固定。两杆的长度固定。两杆的长度为为 和和 ，重量均为，重量均为 。在。在B端作用水平力端作用水平力 ，以两杆与竖直方向夹角以两杆与竖直方向夹角 为广义坐标，求相应的为广义坐标，求相应的广义力。广义力。, 1l2lP12SPBSAO取、 为广义坐标1

6、12cosCylsinsin21llxB1212coscosDyll12cos cosBxll 1212sin sinDyll 112sin Cyl BSAOxyCD1l2lPP12CDBAP yP yP x121122( 3sincos)( sincos)APlPl212(cossin)QPl112(cos3sin)QPl首先取 0, 012sincosDBAP rP r 212(cossin)QPl22BDrrl0Cr BrDrBSAOxyCDPP12BDCrrrlsinsin1cos2CDBAP rP rP r 11(cos3sin)2QPl再取0, 0BSAOxyCDPDrBrArCr

7、P惰钳机构由六根长杆和惰钳机构由六根长杆和两根短杆组成，长杆长两根短杆组成，长杆长2a，短杆长短杆长a，各杆之间各杆之间用铰链相连。它在顶部用铰链相连。它在顶部受力受力P的作用，问下部的作用，问下部力力Q的大小为多少才能的大小为多少才能使系统处于平衡状态。使系统处于平衡状态。图中图中 为已知角。为已知角。PQ QABCPQQABCyxABCAP yQ xQ x cosCxasin Cxa 7 sinAya7 cos Aya ( 7cos2sin )PaQa 2sin7cosQQaPasin Bxa cosBxa 取取 为广义坐标为广义坐标由广义力等于零可得：由广义力等于零可得：7cot2QP如图所示，圆柱半径为如图所示，圆柱半径为R，重为，重为W，搁置在倾斜平搁置在倾斜平板板AB上，上，ABl。B点用细绳拉在墙上。设各接触点用细绳拉在墙上。设各接触点都是光滑的，求平衡时绳的拉力点都是光滑的，求平衡时绳的拉力T。oDWEABoDWEAByxT解除绳的约束，代之以约束解除绳的约束，代之以约束力力T，作用在作用在B处。处。取坐标系取坐标系Axy，主动力的虚功为：主动力的虚功为：OBAW yT