克莱姆法则PPT学习教案

1、会计学1克莱姆法则克莱姆法则2021-7-28第一章 行列式2复习：行列式按某行(列)展开定理及推论 按 第行展开iD 1(1,2, )nijijja Ain按 第列展开j1(1,2, )nijijia Ajnai1Ai1+ai2Ai2+ainAina1jA1j+a2jA2j+anjAnjai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is)a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt)推论1nkikjka A1nikjkka A0Dijij0Dijij综合定理及推论得:第1页/共25页2021-7-28第一章 行列式3n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不为零时的, 称为克

2、莱姆(Cramer)法则.设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组11112211211222221122(*)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 11,2,nijjija xbin或表示为1.4 克莱姆(Cramer)法则第2页/共25页2021-7-28第一章 行列式4定理1设线性非齐次方程组(*)的系数行列式11110nnnnaaDaa则(*)有唯一解1212,nnDDDxxxDDD111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa其中,( j1, 2, , n)即:jjDxD( j1, 2, , n)第3页/共25

3、页证明:(1)是解.(2)解唯一.(1)将jjxDD代入(*)左端,11nijjaD111()nnijkjkjka A bD 111()nnijkjkkja A bD 111()nijkjnkjka AbD 1ib DD (*)1nijkjja A 11,2,nijjija xbinbi ( i1, 2, , n),0,kiiDk 注(j=1,2,n)1()ijjjnDDa111,111,111,1,1jjnjnn jnn jnnaabaaDaabaa又将Dj按第j列展开，得1()nkkjkb A第4页/共25页6(2)若有一组数x1, x2 , xn满足(*), 则1212222111211

4、11nnnnnna xa xaaaaaxaa 1111221121211222222211222nnnnnnnnnnnnnna xa xa xaaa xa xa xaaa xa xa xaa 121222212nnnnnnaabaabbaa11(0)DxDD1212211211212nnnnnnaaaaxaaaaaD1同理,1,2,jjDxjnD Dx1DxjDj第5页/共25页2021-7-28第一章 行列式7注:用克莱姆法则解线性方程组的条件101,2,nijjja xin 或表示为齐次线性方程组:齐次线性方程组必有零解有否非零解？111122121122221122000nnnnnnnn

5、na xa xa xa xa xaxa xaxa x (1)方程个数未知量个数(2)系数行列式D0方程个数未知量个数及D0的情形以后讨论第6页/共25页2021-7-28第一章 行列式8定理2齐次线性方程组101,2,nijjja xin当 时只有零解, 没有非零解.定理3齐次线性方程组101,2,nijjja xin有非零解, 则注:定理3说明D0是齐次线性方程组有非零解的必要条件.后面将证明也是充分条件.即：齐次线性方程组 有非零解101,2,nijjja xin0DD0D0(定理2的逆否命题)第7页/共25页2021-7-28第一章 行列式92151130602121476D075131

6、306021207712同理 D1=81, D2=108, D3=27, D4=27 x1=3, x2=4, x3=1, x4=1123412423412342583692254760 xxxxxxxxxxxxxx 例1 解线性方程组解:75 1321277 123530107723372=270=第8页/共25页2021-7-28第一章 行列式101123136131151510 12Dk12341234123412342313633153510121xxxxxxxxxxkxxxxxx例2 k取何值时, 线性方程组解:有唯一解?11230242046606129k 1123024200220

7、003k 6(2k)0k2时方程组有唯一解第9页/共25页2021-7-28第一章 行列式11例3 问 取何值时, 齐次线性方程组, 解:有非零解的充分必要条件D0有非零解?1111121D 11101021 (1) 由D0得10 或或1231231230020 xxxxxxxxx 第10页/共25页2021-7-28第一章 行列式12112233112233112233()0()0()0nnnnnnab xa xa xa xa xab xa xa xa xa xa xab x 例4 (03考研) 已知齐次线性方程组其中10,niia 试讨论a1,a2,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有

8、零解；(2)方程组有非零解.D0D0第11页/共25页13123123123123nnnnabaaaaabaaDaaabaaaaab解231231231231ninininininininiabaaaababaaabaabaabaaab 每行元素之和相同，2n列加至首列第12页/共25页2021-7-28第一章 行列式14(1)b0且 时方程组仅有零解；10niiab 231000000000niniabaaabbb11()nniiab b1niiba (2) b0或 时方程组有非零解.第13页/共25页211121312112223221123111nnnnnnnnnxa xa xaxxa

9、xa xaxxa xa xax 例5 (96考研) 解方程组其中 aiaj (i, j =1,2,n) 211112122221333211111nnnnnnnaaaaaaDaaaaaa解1()jiij naa 0aiaj (ij)易见D1=D, D2=D3=Dn=0 x1=1, x2=x3=xn=0 第14页/共25页2021-7-28第一章 行列式16方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念:定义 设F是一数集, . 若F中任意两个数(可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F中的数, 即F对

10、四则运算封闭, 则称F为一个数域.0,1FF 全体整数组成的集合不是数域, 有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域, 分别称为有理数域、实数域和复数域. 本课程的数域F均指实数域R或复数域C, 其它数域在本课程中不进行深入讨论.注：关于数域概念第15页/共25页2021-7-28第一章 行列式17习题课行列式计算方法小结： 1. 利用行列式的定义； 2. 化三角形法； 3. 拆行(列)法；4. 按某一行(列)或某k行(列)展开；5. 数学归纳法；6. 利用范德蒙行列式的结论； 7. 递推法； 8. 加边法(升阶法)。 第16页/共25页复习 Ch 1作业：P31：5(2), 6，7 做练习卷(

11、下次习题课带来)第17页/共25页2021-7-28第一章 行列式19下课第18页/共25页2021-7-28第一章 行列式2011()nnijija a11+a12+a1n+a21+a22+a2n+an1+an2+ann+ 11()nnijjia a11+a21+an1+a12+a22+an2+a1n+a2n+ann+ 返回第19页/共25页2021-7-28第一章 行列式21作业：P41(四川)20(2), 21(2)，22预习 3.1复习 Ch 1第20页/共25页2021-7-28第一章 行列式22Cramer法则的优点:用方程的系数及常数项组成的行列式把解明显地表达出来,这在分析问题

12、时非常方便,理论上具有重要意义.缺点:实际计算时需算许多行列式(n元算n+1个n阶行列式)当n较大时,计算困难更大.例16 已知三次曲线332210)(xaxaxaaxfy在四个点2, 1xx处的值为, 6)2() 1() 1 (fff, 6)2(f试求其系数.,3210aaaa解:6)2()2()2(6)2()2()2(6633221033221032103210aaaaaaaaaaaaaaaa第21页/共25页2021-7-28第一章 行列式23D6) 2() 2() 2(6) 2 () 2 () 2 (6633221033221032103210aaaaaaaaaaaaaaaa32323

13、2) 2() 2(212221) 1() 1(111111)22)(1(2)(1(2)(12)(12)(11(722, 2, 1, 14321xxxxeVandermond 行列式3232320)2()2(262226) 1() 1(161116D8426842611161116576第22页/共25页2021-7-28第一章 行列式2472,144,72321DDD1, 2, 1, 8321100aaDDaDDa3228)(xxxxf例2 求四个平面)4 , 3 , 2 , 1(0idzcybxaiiii相交于一点的充分必要条件.解:平面方程可写成)4 , 3 , 2 , 1(0itdzcybxaiiii其中, 1t(看成以tzyx,为未知量,iiiidcba,为系