可测函数与连续函数

1、可测函数与连续函数 可测函数与连续函数【摘要】：主要介绍几乎可测函数的定义与性质，及几乎处处有限的可测函数与连续函数的关系。由于连续函数不是本章所学的内容，故不对其介绍。【关键词】：可测函数、连续函数、关系这一章中主要学习了可测函数，这是一类新的函数，所以搞清它的性质及其与其它函数之间的关第是十分重要与必要的。特别是我们十分熟悉的函数之间的关系。一、基本概念1、几乎处处：给定一个可测集E，假如存在E的一个子集，且使得性质P在上处处成立，则称性质P在E上几乎处处成立。2、可测函数：设是Lebesgue可测集，是上的实值函数。假如对于任意实数都是可测集，则称是上的Lebesgue可测函数（简称是上

2、的可测函数）。3、几乎处处有限的可测函数：设是Lebesgue可测集，给定一个可测集E，存在E的一个子集，在上有限，假如对于任意实数都是可测集，则称是上几乎处处有限的的Lebesgue可测函数4、连续函数：设，是定义于的函数，假如则称沿在连续；假如沿内任意一点都连续，则称沿连续。5、预备定理、引理定理2.2 设是一个紧集， 是一列沿 连续的函数。若 在 上一致收敛于，则也沿连续。定理2.3（Egoroff） 设和 都是测度有限的集上的几乎处处有限的可测函数。若在上几乎处处收敛于，则对任何 并且在上一致收敛于。引理2.1 设是 中的闭集，函数沿连续，则可以开拓成 上的连续函数，并且=。引理2.2

3、 设 是可测集上的简单函数。则对任何 有沿 连续的函数使 。二、可测函数和连续的关系1、连续函数的可测性定理1可测集上的连续函数都是可测函数。证明: 对任意，设，则由连续性假设，存在x的某邻域，使。因此，令，则：反之，显然有，因此：从而： 但G是开集（因为它是一族开集这并），而E为可测集，故其交仍为可测集，即为可测集，由定义知：f(x)是可测函数。但可测函数不一定连续例 例：可测函数Dirichlit函数在上处处间断2、用连续函数逼近可测函数，可测函数的连续性引理1：设F是R中的闭集，函数f没F连续，则f可以开拓成R的连续函数，并且：证明：此时是开集，其中开区间族两两不相交。今定义则显然是R上

4、的连续函数，它是f的开拓。引理得证。引理2：设是可测集上的简单函数。则对任何，有没的连续的函数使 证明：不妨设,其中都是实数且两两不同。令,则两两不相交且.现对每一，令是的闭子集且此时易知沿闭集连续。由引理1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数，此时引理证毕。定理1（Lusin）设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则对任意的，有沿连续的函数使，并且。（去掉一个小测度集，在留下的集合上连续）证明：不失一般性设在上处处有限。 先设是有限可测集。由定理2.3，有上的简单函数列,使。现对每一,由引理2.2，存在沿连续的函数，使，令,则 并且在上。由于有界,所以存在的有界闭子集,使得在上一致收敛于并且

5、。再由定理2.2， 沿 连续.这样由引理2.1，作为上的函数可以开拓成沿连续的函数。此时。这样我们在有界的条件下证明了定理。对一般的，此时对每一整数，令 则都是有界的。从而由上段证明，对每一，存在的闭子集,使沿连续，并且此时是闭集，并且沿连续。由引理2.1，作为上的函数可以开拓成上的连续的函数，并且。定理证毕。推论 若是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，有上连续函数，使，并且。定理2 设为可测集，为上的实函数，如果对任何，存在闭集，使在上连续，且，则为上可测。定理3 设为上的可测集，是上几乎处处有限的可测函数，则对任何，存在闭集，及上的连续函数，使(1) 在 。(2) 。如果在E上，还可要求.证明：由定理1，有闭集，使，而是上的连续函数，因此问题在于扩张上的，使其在整个空间上连续。 是有界闭集，因此是从一闭区间中去掉有限个或可数多个互不相交的开区间而成，设这些开区间是，现在我们定义一个函数，使此外，当时，令的图形是联的直线，当及时，分别联,及,的直线，于是是整个直线上的连续函数，且满足定理的各项要求。三、小结 一方面，可测集上的连续函数是可测的，另一方面，Lusin定理表明，Lebesgue可测函数可以用连续函数逼近。可测集上的连续函数一定为可测函数，但可测函数不一定连续。如Dirichlet函数,Riemann函数都是可测函数但都不连续。显然，可测函