向量组及线性表示

1、1 1 向量组及线性表示向量组及线性表示nnn组组称称为为 维维向向量量，这这 个个数数称称为为该该向向量量的的 个个分分量量，12 ,nna aaL L个个有有次次序序的的数数所所组组成成的的数数分量全为复数的向量称为复向量分量全为复数的向量称为复向量. .分量全为实数的向量称为实向量，分量全为实数的向量称为实向量，默认为实向量默认为实向量 . iiai第第 个个数数 称称为为第第 个个分分量量例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii 第第1 1个分量个分量第第n n个分量个分量第第2 2个分量个分量2 2、n n 维向量的表示方法维向量的表示方法),(21nTa

2、aaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为，也就是行，也就是行n维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为，也就是列，也就是列n TTTTba,矩阵，通常用矩阵，通常用 等表示，如：等表示，如： ,ba矩阵，通常用矩阵，通常用等表示，如：等表示，如：注意注意 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 维向量空间维向量空间n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n(0,0,0)TnO L L12(,)Tnaaa L L12100010,001neee L LM MM MM M思考题

3、思考题比如一个本科学生大学阶段共修比如一个本科学生大学阶段共修3636门门课程课程, ,成绩描述了学生的学业水平，把他的成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例几维的？请大家再多举几例, ,说明向量的实说明向量的实际应用际应用 在日常工作、学习和生活中，有许多问在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述题都需要用向量来进行描述.比如平均成绩、总学分等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加答答3636维的维的 如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，maaa,21:

4、Amaaa,2112,.ma aa:A行向量组行向量组列向量组列向量组b xaxaxann2211 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn12,na aa b二、二、111 ,0 1 2,1 0 1 T TT TT T（ ， ， ）（ ， ， ）（， ， ）.2 1,3 ,1T 2(1, 1,1)T (0,1,2)T ( 1,0,1)T (2, 2,2)T (0,1,2)T ( 1,0,1)T ，对于任何一，对于任何一组实数组实数给定向量组给定向量组12,n L L，12,nk kkL L，称向量，称向量1122nnkkk L

5、 L为向量组为向量组A的的.12,nk kkL L，称为，称为线性组合的系数线性组合的系数. n ，2112,n L L，,21nkkk1122( )nnkkk L L n ，21 n ，21,21nkkknnkkk 2211nkkk,21nkkk,21举例：举例：12,n L L，12000nQLQL12,nnxxx L LT T（， ）neee,21，1 122nnnx ex ex e QLQL12,n L L，j 12,n L L，112100n Q QL L1231kk 20k 00 121 0 0, 31 0 0,0,(3,1,0,0)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ，

6、 ） 21 ，2211 kk 21 ， 21,kk03 1122nnxxx L L有解；有解；其中其中12,n L L1212(,),(,)nnAB L LL L()( )R AR B 121 0 0, 31 0 2, 1,(3,0,4,1)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ，）1122kk 21 ，122,1kk 21 ， 21 ，1212(,),(, )B ()( )2R AR B 121 0 0, 31 0 2, 1,(3,0,4,1)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ，） 21 ，41rr 312rr 432rr 23rr 212r 213rr 26b87 ，1

7、23412313153:,.21220545Aaaaa 已知向量已知向量向量组向量组问向量问向量b能否由向量组能否由向量组 A 线性表示线性表示? 12341234,( , )a a a aBa a a a b 12312315362122805457rB ()3( )4R AR B因此向量因此向量 b 不能由向量组不能由向量组 A 线性表示线性表示.7100054010050001000001 12341234,( , )a a a aBa a a a b 12303221031,21013212aaab 123,a a a证明：向量证明：向量b b 能由向量组能由向量组并求出表示式并求出表

8、示式.线性表示，线性表示，123(,)Aa a a 123(, )Ba a a b 令令0322103121013212B 112233a xa xa xb 1231/41/21/4xxxx123111424baaa 故方程故方程即即的解为的解为1001/40101/20011/40000r123(,)Aa a a 123(, )Ba a a b 四、向量组的四、向量组的线性线性表示与等价表示与等价1212:,;:,msB L LL L；mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （使得使得存在数存在数，即对每个向，即对每个向量量若记若记1212,),)msAB L LL

9、L（jb12,jjmjkkkL L从而从而()m sijKk 110223 ，100010001 ，能由能由但不等价但不等价. .线性表示，线性表示，11101 , 1001 ，100010001 ，与与等价等价. . 1201:1 ,110A aa 123113:0,2 ,2111B bbb 已知向量组已知向量组证明：向量组证明：向量组A A与向量组与向量组B B等价等价. .和和12(,)Aa a 123(,)Bb b b ：令：令01113( ,)1102210111rA B 101110111300000 01113( ,)1102210111rA B 101110111300000

10、( )2R B( )( )( ,)R AR BR A B ( )2 ( ,)2 R AR A B 11| 0,0,02B 因此向量组因此向量组A A与向量组与向量组B B等价等价. .AB证证明明： 123123,K 10111020,.011KQ Q可可逆逆123123:,;:,B 设设；且且112223313 1123123,K .AB因因此此 snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （m nm ss nCAB m nm ss nCAB TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121rAB BA的的行行向向量量组组能能由由 的的行行向向量量组组线线性性表表示示1A = P B AB的的行行向向量量组组能能由由 的的行行向向量量组组线线性性表表示示AB的的行行向向量量组组与与 的的行行向向量量组组等等价价PB = PA 可可逆逆阵阵 , ,使使得得cABQB = AQ 可可逆逆阵阵 , ,使使得得BA的的列列向向