第一章三角函数

1、第一章 三角函数1.3.2 正余弦函数的图象和性质(二） 正弦、余弦函数的图象和性质正弦、余弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (x R) x6o-12345-2-3-41y y=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry - 1, 1 T = 2 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函数偶函数

2、定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0 -1减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k , +2k ,k Z2 2 +2k , +2k ,k Z2 23 x22322523yO23225311正弦函数对称性正弦函数对称性对称轴：对称轴：,2xk

3、kZ 对称中心：对称中心：(,0)kkZ 正弦函数正弦函数的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：2x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) x cosx2 2 - 0 -1 0 1 0 -1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k , 2k ,k Z 减区间为减区间为 ， 其值从其值从 1减至减至-12k , 2k + , k Zyxo-1234-2-31

4、2 23 25 27 2 23 25 余弦函数对称性余弦函数对称性对称轴：对称轴：,xkkZ 对称中心：对称中心：(,0)2kkZ x22322523yO23225311余弦余弦函数函数的最大值和最小值的最大值和最小值最大值：最大值：0 x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311 正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 例例1 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin( )18 10 (2) cos( ) - cos( ) 52

5、3 417 解：解：218102 又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数2,2 sin( ) 018 10 解：解： 5340cos cos 4 53 即：即： cos cos 053 4 又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数, 0 cos( )=cos =cos 523 523 53 417 cos( )=cos =cos 417 4 从而从而 cos( ) - cos( ) 0523 417 例例2 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间：单调增区间为单调增区间为所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为22322kxk)3sin(1xy）（65262kxk2323

6、22kxk6112652kxk)(652 ,62Zkkk)(6112 ,652Zkkk)321sin(2xy）（)3sin(3xy）（ 正弦、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 例例2 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x )解：解： y=2sin(-x ) = -2sinx函数在函数在 上单调递减上单调递减 +2k , +2k ,k Z2 2 函数在函数在 上单调递增上单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 (2) y=3sin(2x- )4 22422 kxk838 kxk2324222 kxk8783 kxk单调增区间为单调增区间为83,8

7、 kk所以：所以：解：解：单调减区间为单调减区间为87,83 kk（4）求函数的单调增区间。2 ,2),sin(321xxy解:令的单调递增区间是函数zyxzsin.3212,222kk由得：kxk2223212Zkkxk,44335而得取, 335, 0 xk2 ,2335，函数,因此的单调增区间是2 ,2),sin(321xxy,335 求函数的单调增区间123sinyx sinyz 2222zkk1222223xkk 54433kxk4,433,5kkkZ 求函数的单调增区间5334,4kk 12sin, 2 ,23xyx 1,k 2 2 1711,330,k 5,33 1,k 711,

8、33 求函数的单调求函数的单调增增区间区间1sin23yx sinyz 32222zkk1222223xkk 54466xkk6,564,4kkkZ 求函数的单调增区间1sin23yx sin()sin 1sin23yx sinyz sinyz cos()cos 求函数的单调增区间1cos23yx sin()sin 1cos23yx cosyz cosyz cos()cos 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 (3) y = | sin(x+ )|4 解：解：令令x+ =u , 4 则则 y= -|sinu| 大致图象如下：大致图象如下：y=sinuy=|sinu|u

9、2O1y-122223233.:(1)y=cos(2)2sin22xxyx例 求下列函数的最值及取得最值时自 变量 的集合 正弦、余弦函数的最值与取得最值时正弦、余弦函数的最值与取得最值时x的集合的集合 P53 A2最值问题121(4)sin23xy 123xz 解解：令令1sin2zy 要使有最要使有最大大值，值，必须必须2,2zkkz 12322kx 43xk 使原函数取得使原函数取得最大值最大值的集合是的集合是|4,3kkZx x 1sin2zy 要使有最要使有最小小值，值，必须必须2,2zkkz 12322xk 543kx 使原函数取得使原函数取得最小值最小值的集合是的集合是5|4,3

10、xkkZx 31(3)sin226yx 因为有因为有负负号号，所以，所以结论要结论要相相反反3sin2yz sinyz 间与单调递减区间。）求函数的单调递增区（称中心；）求函数的对称轴与对（的取值范围；值及取得最值时的）求函数的最大、最小（、已知函数例321)32sin(34xxy 正弦、余弦函数的对称轴与对称中心正弦、余弦函数的对称轴与对称中心 正余弦函数中已知三角函数值求角正余弦函数中已知三角函数值求角 已知 求3sin2 3sin602 60 3sin420sin(60360 )2 3sin780sin(602360 )2 60360 ,kkZ 3sin( 300 )sin(60360

11、)2 120360 ,kkZ 3sin1202 |60360120360 ,kkkZ 或或已知三角函数值求角 已知 求3sin2 x22322523yO23225311已知三角函数值求角练习：已知 求3cos2 已知三角函数值求角 已知 求 的范围。3sin2 3sin602 3sin1202 x22322523yO23225311120,60 360k 360kZk 已知三角函数值求角 已知 求 的范围3cos2 小小 结：结： 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间）奇函数奇函数偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z2 2 单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z2 23 单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z 单调递增单调递增2k , 2k + , k Z单调递减单调递减函数函数余弦函数余弦函数正弦函数正弦函