含参数的一元二次不等式的解法[共8页]

1、含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数 a 的符号分类,即 a 0,a 0,a 0 ;例 1 解不等式： ax2 a 2 x 1 02 a a2分析： 本题二次项系数含有参数, a 2 4 4 0,故只需对二次项系数进行分类讨论。2 a a解： 2 4 2 4 0a2a 2 a 4解得方程 ax2 a 2 x 1 0 两根 ,x1 a2x2a 22a2a4当 a 0时, 解集为x | xa 22a2a4或xa22a2a4当 a 0时,不等式为 2x 1 0, 解集为x | x122 2a 2 a 4 a 2 a 4 x当 a 0时, 解集为x|

2、2a 2a2 ax a a例 2 解不等式 5 6 0 0ax分析 因为 a 0, 0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 a(x2 5x 6) a x 2 x 3 0当a 0时,解集为 x | x 2或x 3 ；当 a 0时,解集为 x | 2 x 3变式：解关于 x 的不等式1、 (x 2)(ax 2) 0 ； 2 、(1 ax)21.(1) a当0时,x |2ax2【解】 由(1ax)21得a2x22ax11.即ax(ax2)0. ( 2)当a 0时, x | x 2(3) 0当(4) a当a 1时, 1时, x | xx|x22,或x2a(1)当a0时,不等式转化为 00,故原不等式

3、无解(5)当a1时,x | x2a,或x2(2)当 a0,2即 x( x)0.a2 20 x| , 不等式的解集为a a x0时,不等式转化为x(ax2)0,3、ax 2 ( a1) x10( aR)2 ( a1) x10,2 不等式的解集为x|0xa综上所述：当 a0时,不等式解集为(1 )当a( 2)当a( 当3) 0( 4) a当0时,x|xx0时, xa 1 x时,1时,1a1|1,或xx11a空集；2当 a0时,不等式解集为x| x0 x|0x 时,不等式解集为 a( 5)当a1 x时,|1ax1二、按判别式 的符号分类,即 0, 0, 0 ；2 ax例 3 解不等式 4 0x分析

4、本题中由于2x 的系数大于 0, 故只需考虑与根的情况。解： a2 16当 a 4,4 即 0时,解集为R ；当 a 4即0时,解集为ax x R且x ；22a a 16当 a 4或 a 4即 0, 此时两根分别为x ,122a a 16x ,显然 x1 x2 ,22不等式的解集为2 a aa a 16x x 或x2 22162 2例 4 解不等式 m 1 x 4x 1 0 m R解 因 m2 1 0, ( 4)2 4 m2 1 4 3 m2所以当 m 3 ,即 0时,解集为1x | x ；22 2 2 3 m 2 3 m当 3 m 3 ,即 0时,解集为x x 或x ；2 2m 1 m 1当

5、 m 3或m 3 ,即 0时,解集为R。2变式：解关于 x 的不等式： ax2 x 1 0(1 a)当0 x时,|x11 4a2a,或x112a4a(2) a当 0时, x |x 1(3) 0当a14时,x|11 4a2ax112a4a(4) a当14时,2 bx c 三、按方程 0ax 的根 x1, x2的大小来分类,即 x1 x2 ,x1 x2 , x1 x2 ；例 5 解不等式 ( 1) 1 0 ( 0) 2 x a x aa1分析： 此不等式可以分解为： ) 0 x a (x ,故对应的方程必有两解。本题a只需讨论两根的大小即可。1解： 原不等式可化为： ) 0 x a ( x ,令a

6、a1a,可得： a 1当 a 1或0 a 1时,a1a,故原不等式的解集为x 1| a x ； a当 a 1或 a 1时,a1a, 可得其解集为 ；当 1 a 0或a 1时,a1a1, 解集为 x | x a 。a例 6 解不等式 x2 5ax 6a2 0 , a 02 a a分析 此不等式 5 24 2 2 0a ,又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ,故只需比较两根2a与3a 的大小 .解 原不等式可化为： x 2a (x 3a) 0 ,对应方程 x 2a ( x 3a ) 0 的两根为x 2a, x 3a1 ,当 a 0时,即 2a 3a ,解集为 x | x 3a或x 2a

7、；当 a 0时,即 2a 3a ,解集为2x| x 2a或x 3a变式： 1、2 ( 2 ) 3 0 2 ax a2x - a + a x + a 1,或 a0 时,不等式的解为 axa2当 0a1 时,不等式的解为 a xa当 a0,或 a1 时,不等式解为 得方程的两根为x1 2a, x a.2(1)若a 0,则 a x 2a2(2)若a 0, x 0,则原不等式为 此时解为(3) a 0, 2a x a. 若 则综上所述,原不等式的 (1)解集为： 当a 0时,x | a x 2a；(2)当a30 ,时；(3)当a 0 , x| 2a时 xa.课后练习：x a,且 （分 a 2; 2 a

8、 3;a 3讨论） 1、 0 ( 3 2)a a(x 2)( x 3)(1) a当 2时, x| x a, 2 x 3或(2) 2 a 3时, x| x 2,或a x 3当(3)当a 3 x| x 2, 3 x a时, 或ax 的解集为 x | x 1,或x 2 ,求 a 的值. （2、不等式 1x 1 1a ） 22 x B x x a x a23、已知 | 3 2 0, | ( 1) 0 A x x ,若 A B ,求实数 a 的取值范围. ；（ a 2 ）若 B A,求实数 a 的取值范围. ；（ 1 a 2 ）若 A B为仅含有一个元素的集合,求 a 的值. （ a 1 ）解： A=

9、x1 x 2,B= x(x-1)(x-a) 0(1)若 A B(图甲 ),应有 a2. (2)若 B A(图乙 ),必有 1 a 2.(3)若 AB为仅含一个元素的集合 (图丙 ),必有 a 1.x 12 ,求实数 a的取值范围. （ 1 a 3） 4、已知 0A x | , B x | x (a 1) x a 0, 且A B Bx 3x a5、设全集 U R ,集合 0 , | 2 1| 3A x| B x x ,若 A B R,求实数 a 的取值范围. （ 2 a 1 ）x 12 x B x x2 x C x x2 ax a26、已知全集 U R , | 6 0, | 2 8 0, | 4 3 0A x x ,若 (A B) C ,求实数 a 的取值范围. （ 1 a 2 ）25 497、若关于 x 的不等式 (2 x1) a2 ax2 的解集中的整数恰有 3 个,求实数 a 的取值范围。 （ 9 1