第二章有限元法原理

1、第一节第一节 弹性力学有关知识弹性力学有关知识 第二节第二节 平面问题有限元法平面问题有限元法 平面问题有限元法平面问题有限元法数值计算方法数值计算方法 近似解近似解 差分法、变分法差分法、变分法 微分方程边值问题微分方程边值问题 离散、分片插值离散、分片插值 单元、节点单元、节点 非均匀网格非均匀网格简化插值函数简化插值函数 Review 单元通过节点连接单元通过节点连接载荷载荷 (load)应力应力 (Stress)应变应变 (Strain)位移位移 (Displacement)一、弹性力学中的物理量一、弹性力学中的物理量loadConcentrated forceSurface forc

2、eVolume forcePv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT 外界作用在弹性体上的力，又称为外力外界作用在弹性体上的力，又称为外力 载载 荷荷StressNormal Stress:x、y、z Shear Stress :xy、yz、zx 应应 力力=x y z xy yz zx T 6个应力分量个应力分量StrainNormal Strain:x、y、z Shear Strain : xy 、yz 、zx 应应 变变d zydydzyzOd xd xd yd yOyyzzxx=x y z xy yz zx T 6个应变分量个应变

3、分量Displacementx axis: uy axis: vz axis: wd=u v wT 位位 移移变 形(deform,deformation)Pv=pvx pvy pvzT Pc= pcx pcy pczT Ps= psx psy pszT =x y z xy yz zx T =x y z xy yz zx T d=u v wT 平衡方程平衡方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程Relationship among load, stress, strain and displacement000vzzyzxzvyyzyxyvxxzxyxpzyxpzyxpzyx应力应力 载荷载荷

4、 wvuxzyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxuzxyzxyzyx000000000应变应变 位移位移zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxGGGEEE111)(1)(1)(1应变应变 应力应力 xyzxyyzzxE()()()()()()1112111000111000111000000122100000012210000001221xyzxyyzzx D平衡方程：平衡方程：3几何方程：几何方程：6物理方程：物理方程：61515=Stress：6Strain： 6Disp. ： 3基本未知量基本未知量stresses 力法力法Displacements 位移法位移法s

5、tress, displacements 混合法混合法Learn by yourselfLearn by yourselfdefinition of plane problem3DPlane problemsimplifiedPlane stressPlane strain plane stress(1)(1)一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸；(2)(2) 载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布zzxzy 0zxzy 0zxy1 xyxy xyxyplane strain(1)(1) 一个方向的尺寸远大于其

6、他两个方向的尺寸；一个方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸；(2)(2) 载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布zyzzx 0yzzx 0zxy xyxyT xyxyT3D modelplanemeshingMuch easier位位 移移载载 荷荷 平衡方程平衡方程应应 变变应应 力力几何方程几何方程物理方程物理方程基本未知量解题思路解题思路Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem第二节第二节 平面问题有限元法平面问题有限元法平面应力问题的线性静力分析平面应力问题的线性静力分析Linear Stati

7、c Analysisstatic loadlinearstress, deformation一、结构离散一、结构离散meshingElement (mesh)node单元编号（单元编号（element label）节点编号（节点编号（node label）(ui, vi) (uj, vj) (um, vm)x yii,x yjj,xymm, Element label Node label Node locationDisp. Components:已知未知iiyx ,x yjj,xymm,(ui, vi) 、(uj, vj) 、(um, vm)二、单元分析二、单元分析 (Element An

8、alysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式目的：形成单元位移、应变、应力表达式 形成每个单元的刚度矩阵形成每个单元的刚度矩阵1、位移函数位移函数 (displacement function)位移插值函数位移插值函数真实位移分布真实位移分布近似位移分布近似位移分布 2652432126524321),(),(yxyxyxyxvvyxyxyxyxuuuxyvxy123456mmmmmmjjjjjjiiiiiiyxvyxuyxvyxuyxvyxu654321654321654321112Ax yx y ux yx yux yx y uj mmjimii mji jj im212Ayyuyy

9、 uyy ujmimijijm 312Axx uxxuxx umjiimjjim 412Ax yx y vx yx yvx yx y vj mmjimii mjijj im512Ayyvyy vyy vjmimijijm 612Axx vxxvxx vmjiimjjim ax yx yij mmjbyyijmcxximjax yxyjmii mbyyjmicxxjimax yx ymi jj ibyymijcxxmji123456121212121212Aa ua ua uAb ub ub uAc uc uc uAa va va vAb vb vb vAc vc vc viijjmmiijjm

10、miijjmmi ij jmmi ij jmmi ij jmmuAab xc y uab xc y uab xc y uvAab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmm1212uxyvxy123456NAab xc yNAab xc yNAab xc yiiiijjjjmmmm121212uAab xc y uab xc y uab xc y uvAab xc y vab xc y vab xc y viiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmm1212uN uN uNuvN vN vNviijjmmi ijjmmuN uN uNu

11、vN vN vNviijjmmi ijjmm emmjjiimjimjiqNvuvuvuNNNNNNvud000000 eqNvud单元内的位移插值表达式单元内的位移插值表达式分片插值分片插值节点位移，单元内任一点的位移节点位移，单元内任一点的位移mjimjiNNNNNNN000000 quvuvuveiijjmmTNi、 Nj 、 Nm形函数矩阵形函数矩阵节点位移列阵节点位移列阵形函数形函数uN uN uNuvN vN vNviijjmmi ijjmm形函数物理意义形函数物理意义ijm1Ni性性 质质1,iiiyxN0,mmijjiyxNyxN1,yxNyxNyxNmjiijiixxxxyx

12、N1,ijijxxxxyxN,0),yxNm（1.2.3.Requirements for displacement function(1) 常数项常数项(2) 线性项线性项(3) 位移连续性位移连续性 (4) 几何各向同性几何各向同性 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5收敛收敛(convergence)位移函数应满足的条件位移函数应满足的条件必要条件必要条件充分条件充分条件位位 移移载载 荷荷 平衡方平衡方程程应应 变变应应 力力几何方程几何方程物理方程物理方程基本未知量解题思路解题思

13、路 xyxyi ij jmmi ij jmmi ij jmmi ij jmmxyyxuvAbub ub uAcvcvc vAcucuc ubvb vb v001212122635 12000000AbbbccccbcbcbuvuvuvB qijmijmiijjmmiijjmme2 2、单元应变和应力、单元应变和应力 (element strain and stress) BAbbbccccbcbcbBBBijmijmiijjmmijm12000000BAbccblllll1200(l=i，j，m) bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm eeqSqBDD SD BSSSijmSEAbcb

14、ccblllllll2112122 eqNd eqB eqS eq d 基本未知量基本未知量数量有限！数量有限！质点位移质点位移d (x, y)数量无穷多数量无穷多数量有限数量有限微分方程微分方程代数方程代数方程节点位移节点位移 eq FFFFFFFFFFeijmTixiyj xj ym xm yTquvuvuveiijjmmTTxyyxe Wu FvFu FvFu Fv FqFi i xi i yj j xj j ymm xmm yeTe3、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵 (element stiffness matrix) UVt xyTTVddd Bqe TeTTqB UqBt xyqBt

15、xyeTTeTTdddd FBt x yeTddUW qFqBt x yeTeeTTd d FBtxyBDBqtAkqeTTeeedd单元刚阵单元刚阵 kBDB tAeT 单元材料单元材料 板的厚度板的厚度 单元面积单元面积 单元形状单元形状常数矩阵常数矩阵 eeeqkF单元平衡方程单元平衡方程 kkkkkkkkkkeiiijimj ij jj mm im jm m srsrsrsrsrsrsrsrsTrrsbbcccbbcbccbccbbAEttABDBk2121212114222 mmmjmjimimmjmjjjijijmimjijiiiiqkqkqkFqkqkqkFqkqkqkF单元刚阵

16、的性质单元刚阵的性质 kkeeT(2) 奇异性奇异性(singularity)ke 0(1) 对称性对称性(symmetry)二、单元分析二、单元分析 (Element Analysis)目的：形成单元位移、应变、应力表达式目的：形成单元位移、应变、应力表达式, , 形成每个单元的刚度矩阵形成每个单元的刚度矩阵Question?Can you obtain qe by solving the equation above? eeeqkFWhy?线性方程组线性方程组 eeeqkFPurpose: 单元 整体assemble三、总刚集成三、总刚集成global stiffness matrix o

17、f the structure内力抵消内力抵消 qKR known总刚矩阵总刚矩阵 Fkqkqkqkqiiiiijjimmisse (s=i，j，m) FRieei kkkkkkkkkkeiiijimj ij jj mm im jm m eeeqkF1 1、总刚集成原理总刚集成原理i kqRisseis i jme, inisseinis i jmekqR11, KqRK结构平衡方程结构平衡方程单元平衡方程单元平衡方程k eqe = FeKkiniss i jme1,总刚矩阵总刚矩阵(Global Stiffness Matrix) Kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 1111

18、21131211221 2 4231 2244252 4311321 2331 2 3352 3363424444454522 4532 3544552 3 45636336536630000000000002 2、总刚集成过程、总刚集成过程（1 1）扩阶过程）扩阶过程 0000000000000000000000000003332312322211312111kkkkkkkkkk 0000000000000000000000000005553523533322523222kkkkkkkkkk（2 2）叠加过程）叠加过程 eneekK13 3、总刚矩阵的特点、总刚矩阵的特点 对称性（对称性（S

19、ymmetry） KT=K 稀疏性（稀疏性（Sparse） 带状性（带状性（Band） 奇异性（奇异性（singularity ） |K|=0 四、载荷移置四、载荷移置Kq=R Nodal force: Concentrated force at nodesConcentrated forceSurface forceVolume force1 1、集中力的移置、集中力的移置 PppccxcyT RRRRRRRPeixiyj xj ym xm yTc dNqee dPeTc qReTPec= RNPPeTcc2 2、面力的移置、面力的移置 3 3、体力的移置、体力的移置 Can you obt

20、ain q by solving the equation above?Why?Kq=R 线性方程组线性方程组Kq=R F五、约束处理五、约束处理 消除结构的刚体运动，从而消除消除结构的刚体运动，从而消除K的奇异性的奇异性kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk111215161718191 101 112122252627282921021111 111 211 511 611 711 811 911 1011 11000000001000000000000100000000000000000000001,qqqqqqRRR123411121211000kkkkkkkkkkkkkkkkMkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkMkkkkkkkkkkk11121314151617181911071727374757678797 108182838485868788898 1091929394959697989 1010 110 210 310 410 510 610 710 810 910 10,qqqqqRMRMR1789101810k qk qk qk qk qk qM qk qk qkqM71 172 273 374 475 576 6778 879 9710