高等数学第四节有理函数的积分课件

1、高等数学第四节有理函数的积分1第四节 有理函数的积分210P,)(的在它的定义域上是连续初等函数xf它的不定积,)(I一定存在分dxxf用初等函数但是却不一定能把I,表示出来例如.sin,ln,sin221xexxxx ,积不出来我们称这些函数不能说明它积不出来.的原函数不存在:有理函数是指nmmmnnnnmnbxbxbxbaxaxaxaxqxp 11101110)()( .)()(,没有公因子与实数非负整数xqxpbanmmnii 高等数学第四节有理函数的积分2一、有理函数的积分.积出来有理函数都能定理:的积分首先讨论四个基本分式,.axA 1,)(.naxA 2,.qpxxDBx 23.)

2、(.nqpxxDBx 24.042 qp.ln.caxAdxaxA 1 . )(axddx dxaxAn)(.2.)()(caxnAn 11 )()(axdaxAncnaxAn 11)(,正整数1 n高等数学第四节有理函数的积分3dxqpxxDBx23 .,)()(xdpxqpxxd22.)(BpDpxBDBx21221dxqpxxBpDdxqpxxpxB2221221)(qpxxB22ln24212122pxdpqpxBpD.arctancpqpxpqBpD 224242qpxxB22lncauaauduarctan122高等数学第四节有理函数的积分4 dxqpxxDBxn)(.24 dxq

3、pxxBpDdxqpxxpxBnn)()(222122 )()(qpxxdqpxxBn222 npqpxpxdBpD42221221212 nqpxxnB)()(nBpDI 21高等数学第四节有理函数的积分5nnpqpxpxd42222I,)(Innaudu22.,422pqapxu :我们已经知道auaarctanI111222221IIauua.I)()()(I1122232121nnnnauuna.经解决四个基本分式的积分已,c,cc高等数学第四节有理函数的积分6:一般有理函数积分举例.I. dxxxxxx621232例)()(2362 xxxxxxxxx623 .解2362232 xC

4、xBxAxxxxx设)()()(322322 xCxxBxxxAxx,Ax620 则令,31 A,Bx1583 则令,158 B,Cx1082 则令.54 C dxxCdxxBdxxA23 dxxxxxx62232I.lnlnlncxxx 254315831高等数学第四节有理函数的积分 dxxxxx)( )(I.3221222例)()()( )(.312132222 xxxxxxxx解)( )()(3212 xxx)( )(322122 xxxx设211)( xBxA32 xDxC)()(:3211 xxxA去分母得恒等式)(32 xxB)()(312 xxC)()(212 xxD,Bx121

5、1 则令,121 B,Cx912 则令,91 C,Dx1613 则令,161 DDCBAx236610 则令,8131216 A.1447 A高等数学第四节有理函数的积分832113221222 xDxCxBxAxxxx)()( )(.,161911211447 DCBA 32112xdxDxdxCxdxBxdxA)(I.lnln)(lncxxxx 31612911121114471 dxxxxxxx3523421433I.例2224351122)()(. xxxxxxxx解,)(22235234112143 xEDxxCBxxAxxxxxx设:去分母得高等数学第四节有理函数的积分9)()()

6、(EDxxxCBxxxAxxx 11143222234,Ax 10)(EDiiiix 143,1 AEiDi ,10 ED 122471 CBx122491 CBx 12CB dxxdxxxdxx222111121)(Ixln dxxxxd1111222)( dxx2211)(xxxarctanlnln12cxxxarctan1212.)(arctanlnlncxxxxx1221122高等数学第四节有理函数的积分10dxxxxx1124334I.例1121123334 xxxxxxx.解11123 xxCBxxAxx设.,313131 CBAxdxxxxdxxdx11311131122)(13

7、12xxxlnxdxxx1312612xdxxxxxxx1121161131222lnlnx242xx2 3x 1 x1 3x 1 1234 xxx 13 xxI高等数学第四节有理函数的积分11xdxx112其中4321212xxdcx2321231arctan.arctancx 3123216113122xxxxxlnlnI.arctancx 31231xdxxxxxxx1121161131222lnlnI高等数学第四节有理函数的积分12)(ax 2)(ax 221)(axAaxA qpxxDxB 211)(qpxx 222)(qpxx 2222211)(qpxxDxBqpxxDxB 分母中

8、的因子对应的基本分式axA 高等数学第四节有理函数的积分13,函数积分的通用方法前面的例子是解决有理计算起,来比较费力.可走的对于某些积分是有捷径:例如 dxxxx)( )(311 dxxxx3222212.lncxx 32212高等数学第四节有理函数的积分14 二 、可化为有理函数的积分举例:作万能变换对于三角函数有理式可,arctanux2 .duudx212 ,tan2xu ,sin212uux ,cos2211uux 212uux tan 2122tantantanxu221u21u高等数学第四节有理函数的积分15dxxx3215cossin.例duuuuuu2222123111412

9、xu tanuduu244222141211212uducu21212121arctancu)arctan1(2.tanarctancx122高等数学第四节有理函数的积分16:积分也常用来处理某些三角另一种三角变换xutan ,tan xu ,arctanux .duudx211 ,sin2221uux ,cos2211ux xx22sectan x21sec设则xdxx2216costan.例xu tan uduuu2211121uduu23cu2321ln.tanlncx 2321x21uu1高等数学第四节有理函数的积分17dxxx321317)(.例txtx 331331 / )(tdt

10、tt223131 dtt)(2313ctt 241314 .cxx 334133213121:简单无理函数的积分xxxd318.例66txxt32516tttdttdtt2216tdt21116cttarctan6.arctancxx666高等数学第四节有理函数的积分18xdxxx119.例txxtx1112tdtttt222121tdtt1222tdt11122cttt11212ln.lnlncttt112.lnlncxxxxxx111112高等数学第四节有理函数的积分19xdxxx1231102.例)(1xxu1uduuuu22112311!是很管用的倒代换有时)()(11412uducu21arcsincx211arcsin.arcsincxx21高等数学第四节有理函