高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率课件

1、高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率1第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率. )(,),(xfyyxF确定了一个隐函数方程0)(),(,xfyyxF解出即由方程将隐函数显化0,有时是不容易的隐函数显化就对隐函数求导往往不将,可进行,求导将方程两边同时关于 x)(xyy 时刻注意.的函数是 x隐函数的导数一102P高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率2)(.6344P1笛卡尔叶形线例0333yxayx. )(xyy 隐含:)(两边同时求导恒等式方程0133322)(yxyayyx.xayyaxy22,12323kaa的切线的斜率

2、过曲线上一点.,ayxaxay32323即切线为高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率3., )(sin.yyxy 求隐函数方程为例2:.求导方程两边关于解x)()()(cos11yyxy)(cos)(cos:yxyxy1解出.)(cos111yx211)(cos)()(sinyxyyxy 211111)(cos)(cos)(sinyxyxyx.)(cos)(sin31yxyx高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率4:)(求导式两边再关于或者在x1)()(cos)()(sinyyxyyxy 012)()()(cos11yyxy)(cos)()(sin

3、yxyyxy 112)(cos)(cos)(sinyxyxyx1112.)(cos)(sin31yxyx高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率5对数求导法:. 幂指函数1)()(ln)(ln:2xuxvy 取对数)(xyy 隐函数)()()()(ln)(:xuxuxvxuxvxdydy1两侧求导)()()()(ln)(xuxuxvxuxvyxdyd.lnuuvuvuv)()(xvxuy 105P高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率6:)(用对数求导法对函数xfy )(lnlnxfy ,)(lnxfyy1xxyyy)(ln或)(公式)(ln)()(x

4、fxfxf)(lnxfyy高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率7.,.arctansinyxeyxx求例3;cos.sinsinxeexx解xxzzz)ln(,arctan xxz 设.tanarclnxxxxzxdzd21.tanarclncostanarcsinxxxxxxeyxx21xxzlnarctan则高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率8其它场合.2.,cos.yxxxy 求例21421221121xxxxxyxdydcossin21121xxxxytan.tancos2211121xxxxxxxy2211121xxxxxxxtanc

5、os 2211121xxxxxxxytancos21yln:. 取对数解)ln(coslnln2121xxxxyyy)ln(由高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率9二 由参数方程所确定的函数的导数参数方程)()(1txx )()(2tyy ,)()(存在的反函数假设xtttxx则复合函数. )()()(xyyxtytyy函数就是参数方程所确定的那么且存在设定理,)(,)(, )(.01txtytx)()(txtyxdyd.tdxdtdydxdyd或还有存在进一步假设,)(),(tytx .)()()()()(322txtxtytxtyxdyd 106P高等数学第四节隐函

6、数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率10.证,)(0 tx,)()(存在的反函数xtttxx,)(txxdtd1且:根据复合求导法得xdtdtdydxdyd)()(txty1.)()(txtyxdtdtxtytddxdyd )()(22)()()()()()(txtxtxtytxty 12.)()()()()(3txtxtytxty ,进一步高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率11) )(:)(.8345P1的参数方程为旋轮线摆线例)sin(ttax)cos(tay1的圆轮向右滚半径为a.的一阶和二阶导数关于求xy.的轨迹动时轮周上一点 P.解, )cos()(t

7、atx1,sin)(tatx ,sin)(taty.cos)(taty ,)(,02txkt时当 )()(txtyxdyd)cos(sintata1222222tttsincossin.cot2t322)()()()()(txtxtytxtyxdyd 高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率123311)cos(sinsin)cos(costatatatata322)()()()()(txtxtytxtyxdyd 3221)cos(sincoscostattt.)cos(211ta或)cos(csctat112122)cos(sintat112212.)cos(211ta,

8、 )cos()(tatx1,sin)(tatx ,sin)(taty.cos)(taty )(txtddxdyd1222tcot高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率13三 相关变化率,),(相互关联通过方程和变量0yxFyxyx 和而,的函数又都是时间t也相互和的变化率和)()(tytxyx,关联.)()(之间的关系和我们可以求出tytx) .),(求导可以得到对通过方程tyxF0110P高等数学第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率14:求导得关于t0)()(tVPVtP)(tP变化率:代入数据05050)(.tVV中负050.( 100VtV)(,1000V开始时刻,)(10 tV.的速率增加时3cm10.解)()(,tVtP和体积压力在温度不变的条件下cVP:满足方程,.时当理想气体的体积为在储存容器内例3cm10005,/2cmkg5压力为压力以每小时如