直线的一般式方程

1、直线的一般式方程直线的一般式方程学习过的直线方程有哪几种形式？学习过的直线方程有哪几种形式？【复习回顾复习回顾】点斜式点斜式斜截式斜截式两点式两点式截距式截距式00()yyk xxykxb112121yyxxyyxx1xyab12xx12yy0a 0b k存在存在k存在存在直线名称直线名称 已知条件已知条件直线方程直线方程适用适用条件条件思考思考1: 这四种直线方程有什么共同点这四种直线方程有什么共同点? k斜率斜率222(,)P xy点点111( ,)P x y点点000(,)P xy点点k斜率斜率b截距截距a截距截距b截距截距垂直于坐标垂直于坐标轴的直线呢？轴的直线呢？平面直角坐标平面直角

2、坐标系中的任意一系中的任意一条直线都可以条直线都可以用一个关于用一个关于x,yx,y的二元一次方的二元一次方程表示程表示方程可化为方程可化为：显然它是直线方程的显然它是直线方程的斜截式，斜截式，表示斜率为表示斜率为BA, ,在在y y轴上轴上截距为截距为BC的一条直线。的一条直线。当当B=0B=0时，时，方程方程Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为不同时为0 0）可化为）可化为，表示过点表示过点)0 ,(AC且垂直且垂直x x轴的一条直线。轴的一条直线。思考思考2：任意一个二元一次方程任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零不同时为零） 能否表示一条直线？能否表示一条直

3、线？0B 当时， 0AxByCACyxBB CxA 由以上探究过程可知由以上探究过程可知,对于任意一个二元一次方程对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）,都表示一条直线都表示一条直线。 我们把关于我们把关于x, yx, y的二元一次方程的二元一次方程Ax+ By+ C=0 (A,BAx+ By+ C=0 (A,B不同时为零不同时为零) )叫做叫做直线的一直线的一般式方程般式方程, ,简称简称一般式一般式. .直线的一般式方程直线的一般式方程注注：对于直线的一般式方程，作如下对于直线的一般式方程，作如下约定：约定：1、一般按含、一般按含x项、含项、含y项、常数项顺序排列；

4、项、常数项顺序排列；2、x项的系数为正；项的系数为正；3、x，y的系数和常数项的系数和常数项一般不出现分数一般不出现分数;4、无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。 一般式方程一般式方程适用于任何适用于任何直线直线常化成常化成 3x-y-2=03x-y-2=0012321xy例如：方程 例例1 已知直线过点已知直线过点A(6,-4),斜率为斜率为 ,求直线的点斜式、斜截求直线的点斜式、斜截式、一般式和截距式方程式、一般式和截距式方程.34解：解：经过经过A(6,-4),并且斜率为并且斜率为 直线的点斜式方程为：直线的点斜式方程为：3

5、4)6(344xy化为斜截式，得到化为斜截式，得到:434xy化为一般式，得到化为一般式，得到:01234 yx化为截距式，得到化为截距式，得到:143yx点拨点拨: :求直线方程时求直线方程时, ,根据题设条件根据题设条件, ,先选择直线方先选择直线方程的四种特殊形式之程的四种特殊形式之一，一，再再将其化成一般式将其化成一般式. .132yx例例2 把直线把直线 的一般式方程的一般式方程 化成斜截式，求化成斜截式，求出直线出直线 的斜率和它在的斜率和它在 轴与轴与 轴上的截距，并画出图形轴上的截距，并画出图形.260 xyxyll因此因此,直线直线 的斜率，它在轴上的截距是的斜率，它在轴上的

6、截距是，l12k y3解：解：将原方程移项，得，将原方程移项，得，26yx2两边除以，得斜截式两边除以，得斜截式lx0y 6x 6令令 , 可得可得, 即直线即直线 在在 轴上的截距是轴上的截距是 .xyO63探究探究1：在方程在方程 中，中， 1.当当 时，方程表示的直线时，方程表示的直线与与x轴平行轴平行2.当当 时，方程表示的直线时，方程表示的直线与与y轴平行；轴平行；3.当当 时，方程表示的直线时，方程表示的直线与与x轴重合轴重合 ；4.当当 时，方程表示的直线时，方程表示的直线与与y轴重合轴重合 ；5.当当 时，方程表示的直线时，方程表示的直线过原点过原点.0AxByC000ABC，

7、000ABC，000ABC，0, ,0CA B不同时为B=0 , A0 , C0.1212121212121212AACCAACC=,且=,且BBBBBBBBl lllll121111121111222211122222221112221212121212121212探探究究3 3 如如果果直直线线 , , 的的方方程程为为 :A x+B y+C = 0,:A x+B y+C = 0,:A x+B y+C = 0(A B C:A x+B y+C = 0(A B C 0,A B C0,A B C 0),0),若若 / ,/ ,则则A ,A ,B ,BA ,A ,B ,B ，C C ，C C 满满

8、足足什什么么条条件件？探究探究2：12llP、当时1 12 22 2B B = = B B = = 0 0, ,1、当时1212B0,B0B0,B0要按有没有斜率进行分类讨论！要按有没有斜率进行分类讨论！例例3 已知直线已知直线l1 1：ax+(a+1)y-a=0ax+(a+1)y-a=0和和 l2 2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若，若l1 1/l2 2，求，求a a的值的值. .llll当时显当时无解综12121 12 2a+1=0,即a+1=0,即a = -1，a = -1，:x =1, :x = 4,然:x =1, :x = 4,然平平行行

9、. .aaaaaa-1，-1，:y = -x+,:y = -x+,a+1a+1a+1a+1a+24a+24:y = -x+,:y = -x+,2(a+1)2(a+1)2(a+1)2(a+1)aa+2aa+2-= -，-= -，a+12(a+1)a+12(a+1)由由得得. .a4a4. .a+a+解解：12(a+1)12(a+1)上上：a = -1.a = -1.l lllll12111112111122221112222222111222121212121212探探究究4 4 如如果果直直线线 , , 的的方方程程为为 :A x+B y+C = 0,:A x+B y+C = 0,:A x+B

10、 y+C = 0(A B C:A x+B y+C = 0(A B C 0,A B C0,A B C 0),0),若若 , ,则则A ,A ,B ,BA ,A ,B ,B 满满足足什什么么条条件件？12121212A A +B B =0.A A +B B =0.探究探究3：变式：变式：已知直线已知直线l1 1：ax+(a+1)y-a=0ax+(a+1)y-a=0和和 l2 2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若，若l1 1l2 2，求求a a的值的值. .212(2)2(1)0lla aaQ解：,2+620aa即，3-3+ 3-3- 333aa解得或例例

11、4 求满足下列条件的直线的方程求满足下列条件的直线的方程: 经过点经过点 , 且与直线且与直线 平行平行;(3,2)A420 xy 经过点经过点 , 且与直线且与直线 垂直垂直.(3,0)B250 xy点拨：点拨：先根据直线的一般式方程求出斜率，再由平行或垂直先根据直线的一般式方程求出斜率，再由平行或垂直的关系，确定待求直线的斜率，由点斜式写方程。的关系，确定待求直线的斜率，由点斜式写方程。思考：思考：还有别的方法吗？还有别的方法吗？结论：结论：-B x A y+ n = 0B x A y+ n = 01 1、与直线、与直线Ax+ By+ C=0Ax+ By+ C=0平行平行的直线方程可设为：

12、的直线方程可设为：Ax+ ByAx+ By+ m+ m=0(m C)=0(m C)2 2、与直线、与直线Ax+ By+ C=0Ax+ By+ C=0垂直垂直的直线方程可设为：的直线方程可设为：1.1.直线方程的一般式直线方程的一般式Ax+By+C=0Ax+By+C=0（A A，B B不同时为不同时为0 0）2.2.直线方程的直线方程的一般式与特殊式的互化一般式与特殊式的互化. .3.3.两条直线两条直线平行与垂直的判定平行与垂直的判定. .1.1.若直线若直线l在在x x轴上的截距为轴上的截距为-4-4，倾斜角的正切值为，倾斜角的正切值为1 1，则直线则直线l的点斜式方程是的点斜式方程是_._

13、.直线直线l的斜截式方程是的斜截式方程是_._.直线直线l的一般式方程是的一般式方程是_._.y-0=x+4y-0=x+4y=x+4y=x+4x-y+4=0 x-y+4=0解：解：(1)x+2y-4=0(1)x+2y-4=0. . 2.2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：根据下列条件，写出直线的一般式方程： 12121 11 1 经经过过点点A(8A(8， -2),-2),斜斜率率是是-.-.2 22 2 经经过过点点B(4B(4，2),2),平平行行于于x x轴轴. .3 33 3 在在x x轴轴，y y轴轴上上的的截截距距分分别别是是 ， -3.-3.2 24 4 经经过过点点P(3P

14、(3， -2),P(5-2),P(5， -4).-4).(2)y-2=0(2)y-2=0. . (3)2x-y-3=0 (3)2x-y-3=0. . (4)x+y-1=0.(4)x+y-1=0.(1)k = -3,b =5.(1)k = -3,b =5.3.3.求下列直线的斜率以及在求下列直线的斜率以及在y y轴上的截距。轴上的截距。xyxy(1)3x+y-5 = 0. (2) -=1.(1)3x+y-5 = 0. (2) -=1.4545(3)x+2y = 0. (4)7x-6y+4 = 0.(3)x+2y = 0. (4)7x-6y+4 = 0.5 5(2)k =,b = -5.(2)k =,b = -5.4 41 1(3)k = - ,b =0.(3)k = - ,b =0.2 27272(4)k =,b =.(4)k =,b =.63634.4.已知线段已知线段PQPQ两端点的坐标分别为两端点的坐标分别为P(-1P(-1，1)1)和和Q(2Q(2，2)2)，若直线，若直线l:x+my+m=0:x+my+m=0与线段与线段P