中职数学7 3向量的坐标表示及其运算

1、教案授课教师：课程名称数学课题名称7. 3向量的坐标表示及其运算授课班级授课日期教学时数2使用教材上海教育出版社 数学 第二册 2016年1月第1版教学目标知识、技能、态度目标：知识目标：1. 理解向量的坐标表示、位置向量的概念. 2. 理解并掌握平面上两点确定向量的坐标表示，并会求相应的模. 3. 已知两向量的坐标，会进行数乘、加减法运算. 4. 理解用向量的方法求两点所确定的线段的中点坐标. 5.进一步理解位置向量的意义，会求其单位向量.6.理解两个非零向量平行的概念，掌握=的含义.能力目标：1.通过具体问题的学习，坐标平面内点与向量的类比，培养学生类比的思维方式.2.通过对两平行向量坐标

2、运算的推导，培养学生的演译和归纳的能力. 态度目标：让学生在探索中体验探究问题的艰辛，体会成功的乐趣，培养学生锲而不舍的学习精神，以及团队合作的精神.教学重点与难点教学重点：平面上两点确定向量的坐标表示，并会求相应的模. 两点所确定的线段的中点坐标公式教学难点：已知向量的坐标，会相应的数乘、加减法运算. 两向量的平行教学场景设计引导式教学、任务引领相结合教学资源教材、计算机、投影仪教 学 活 动 流 程教学步骤与内容教学组织形式教学方法达成目标【双基讲解】1. 向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中，以原点为始点，点 P 为终点的向量 OP叫做点的位置向量. 在平面直角坐标系内，方向与 x 轴和

3、 y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 和j. 如图：设点P的坐标为x，y，它在x轴上的射影为M(x，0)，在y轴上的射影为N(0，y). OP=OM+ON ， OM=xi， ON=yj ， 所以，OP=xi+yj. 我们把有序实数对 x，y叫做向量 OP的坐标，记作 OP=x，y. 【示范例题】例。写出平面直角坐标系中下列各点的位置向量：（1） A(，) ；（2） B(，（3） C(，) . 【双基讲解】在平面直角坐标系内，设点P1x1，y1，P2x2，y2，则OP1=(x1，y1)，OP2=x2，y2. 向量P1P2如何用坐标来表示？如图： 由向量的减法，可得：P1

4、P2=OP2-OP1=(x2i+y2j)-(x1i+y1j)=(x2-x1)i+(y2-y1)j，即 P1P2=(x2-x1，y2-y1) .2. 向量P1P2的模：由于向量的模就是向量的大小，即点P1x1，y1，P2(x2，y2)之间的距离. 所以向量P1P2的模为P1P2=x2-x12+y2-y12 .若 = (，)， 则a=x2+y2. 【示范例题】例.平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为(，)，(，)，求向量PQ和QP的坐标及PQ的模. 解 PQ=3-2，6-3=1，9 . QP=2-3，-3-6=(-1，-9) . |PQ |=12+92=82 . 【双基讲解】向量的坐标运算：提问

5、：已知 =x1，y1，b=x2，y2，你能得出 a+b，a-b，ma 的坐标吗？如图 设a=(x1，y1)，b=x2，y2. 由于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，所以，a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=x1+x2i+y1+y2j. 即 a+b=x1+x2，y1+y2. 类似地 a-b=x1-x2，y1-y2. 这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 已知 a=(x，y) 和实数 m，那么ma=mx，y=(mx，my). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以原来向量的相应坐标. 【示范例题】例.已知向量a=-2，3，b=(1，-3)，求

6、向量a+2b和12a-3b的坐标【双基讲解】中点坐标公式： 如图，点P1，P2的坐标分别为x1，y1，(x2，y2)，点P(x，y)是线段P1P2的中点， 由P1P=PP2以及 P1P=x-x1，y-y1， PP2=(x2-x，y2-y) . 可得 x-x1=x2-x，y-y1=y2-y. 解得x=x1+x22，y=y1+y22. 由此可知，线段P1P2的中点P(x，y)的坐标为x=x1+x22， y=y1+y22. 【示范例题】例.在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点A(，)， B (，)，C (，)，边BC的中点为D. 求向量AD的坐标及AD的模. 解 设BC的中点D的坐标为x，y，

7、则 x=x1+x22，y=y1+y22， 即 x=52，y=3. 所以 D52，3 . 所以 AD=52-1，3-3=(72，0) ，AD=722+02=72. 巩固练习1.写出并作出平面直角坐标系中下列各点的位置向量： 1A-3，4； 2B(2，0). 2.平面直角坐标系中，已知点A，B两点的坐标，写出它们的位置向量OA，OB，并求向量BA的坐标及AB的模. 1A1，-2，B(4，2) 2A-3，0，B0，4. 3.已知向量a=-3，4，b=(4，-1)，求向量2a-3b和a+4b的坐标.【双基讲解】知识回顾1 点P的位置向量： 在平面直角坐标系中，以原点为始点，点 P 为终点的向量OP叫做

8、点的位置向量.设点P的坐标为x，y，则点P的位置向量 OP的坐标为： OP=x，y.知识回顾2 向量P1P2的坐标和模： 在平面直角坐标系内，设点P1x1，y1，P2x2，y2，则量P1P2的坐标为：P1P2=(x2-x1，y2-y1)， 向量P1P2的模为P1P2=x2-x12+y2-y12.知识回顾3 向量的坐标运算：a=x1，y1，b=(x2，y2).则 a+b=x1+x2，y1+y2，a-b=x1-x2，y1-y2.已知实数m与a=x，y，则ma=mx，my.知识回顾4 中点坐标公式：点P1，P2的坐标分别为x1，y1，(x2，y2)，点P(x，y)是线段P1P2的中点，则x=x1+x

9、22，y=y1+y22.知识回顾5 单位向量： 对于任意的非零向量a，与a同方向的单位向量叫做向量a的单位向量，记作a0，则a0=1aa.【示范例题】例.在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为(-2，4)，(1，8)，求PQ的单位向量a0.解 PQ=1-2，8-4=(3，4) ， PQ=32+42=5， a0=1PQPQ=153，4=35，45.例.已知向量2a+3b=-1，7，a-2b=(3，0) . 求向量，的坐标.解 2a+3b=-1，7， a-2b=3，0. 由-2，得 7b=-7，7. 所以 b=-1，1. 代入，得 a=1，2. 所以 a=1，2，b=-1，1.【双基讲解】已

10、知，为非零向量，且a=(x1，y1)与b=(x2，y2)平行，则根据实数与向量的乘积的概念，两个非零向量与平行，必有唯一的非零实数m，使得=.即 x1，y1=mx2，y2=(mx2，my2) .所以 x1=mx2， y1=my2.两式相乘，得 mx1y2=mx2y1.所以 x1y2=x2y1.这就是说，a，b为非零向量，若a/b，则x1y2=x2y1. 反之亦然.【示范例题】例.已知向量a=2m+2，4 与 b=8，m+1 平行，求实数m的值.解 因为a/b ，所以 2m+2m+1=48， 2m2+4 m+2=32， m2+2 m-15=0， 解得 m1=-5 ， m2=3 .【巩固练习】1.

11、平面直角坐标系中，已知点P，Q 的坐标分别为(2，-3)，(7，9)，求PQ的单位向量a0.2.平面直角坐标系中，已知点A，B两点的坐标分别为(-2，1)，(2，5)，且满足AC=2AB，求点C的坐标以及OC.3.已知:向量2a+3b=-1，7，a-2b=3，0 . 求向量a，b的坐标.4.已知:向量a=k+2，3与b=12，k+2 平行，求实数k 的值.课堂小结1. 点P的位置向量：以原点为始点，以点P为终点的向量. 若(，)，则点的位置向量OP=(，). 2. 向量的坐标表示：P1x1，y1，P2x2，y2，则P1P2=(x2-x1，y2-y1). 3. 向量的模： 若a=(x，y)，则a=x2+y2. 若P1P2=(x2-x1，y2-y1)，则P1P2=x2-x12+y2-y12 . 4. 线段的中点坐标公式：点P1，P2的坐标分别为x1，y1，(x2，y2)，点P(x，y)是线段P1P2的中点， 则 P(x，y)的坐标为x=x1+x22，