MPA联考数学导数与微分课件

1、1引例引例导数的定义导数的定义导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义可导与连续的关系可导与连续的关系求导举例求导举例小结小结 思考题思考题 作业作业第一节第一节 导数的概念导数的概念(derivative)第二章第二章 导数与微分导数与微分2例例1 1直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动,已知路程已知路程 s 与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).),()(00tsttss )( tv 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度在每个时刻的速度在每个时刻的速度.导数的概念导数的概念解解.ts 若运动是若运动是匀

2、速的匀速的, 平均速度就等于质点平均速度就等于质点一、一、引例引例).(tss 关系关系质点走过的路程质点走过的路程00,ttt从时刻3此式既是它的定义式此式既是它的定义式,又指明了它的计算又指明了它的计算它越近似的它越近似的定义为定义为 )(0tv,)()(lim000ttsttst并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.导数的概念导数的概念若运动是若运动是非匀速非匀速的的,)( tv 平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,t 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因

3、此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度注注方法方法,ts 0limt 4例例2 2割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?导数的概念导数的概念曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线),(xfy )(,(000 xfxM如何作过如何作过的切线呢的切线呢. 初等数学中并没有给出曲线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.过该点的切线过该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周即为圆周但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线. 如如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线与抛物线

4、有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.曲线上点曲线上点法国法国数学家费马在数学家费马在1629年提出了如下的定义和求年提出了如下的定义和求法法,P.de Fermat 1601-1665 从而圆满地解决了这个问题从而圆满地解决了这个问题.50 x处切线的斜率处切线的斜率.),(000yxM导数的概念导数的概念已知曲线的方程已知曲线的方程确定点确定点 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,极限位置即极限位置即, 0MNC在点在点M处的处的切线切线.如图如图,. 0 NMT),(xfy x TxyO)(xfy CN M6),(00yxM设设00tanxx

5、yy ,)()(00 xxxfxf N tan k导数的概念导数的概念00)()(xxxfxf ).,(yxN割线割线MN的斜率为的斜率为,0 xx 切线切线MT的斜率为的斜率为C沿曲线沿曲线,M0limxx0 xx TxyO)(xfy CN M7),(xfy 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量1. 在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数求求y关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2. 计算方法上计算方法上,(1) 当当y随随 x均匀变化时均匀变化时,用除法用除法.(2) 当变化是非均匀的时当变化

6、是非均匀的时,需作平均变化率的需作平均变化率的xyx 0lim 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问题题,其精确描述和计算都离不开此式所其精确描述和计算都离不开此式所规定的这一运算规定的这一运算.导数的概念导数的概念上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,xxfxxfx )()(lim000极限运算极限运算:8定义定义的的某某个个邻邻域域内内在在点点设设函函数数0)(xxfy xxfxxfxy )()(00的的称为称为)(xf导数的概念导数的概念,00时时变变到到当当自自变变量量从从xxx )()()(00 xfxxfyxfy 的增

7、量的增量函数函数之比之比变量的增量变量的增量 x 与自与自平均变化率平均变化率. .二、导数的定义二、导数的定义,有定义有定义9, 0 x如如处可导处可导在在并说并说0)(xxf,0 xxy )(0 xf 中的任何一个表示中的任何一个表示, )(0 xf导数的概念导数的概念xy 存在存在,如如平均变化率的极限平均变化率的极限:)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x.)(0处处的的导导数数在在xxf或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf xxfxxfx )()(lim000 函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率0 x(derivative)或有导数或有导数. 可用下

8、列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为10处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意要注意导数定义可以写成多种形式导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf 导数的概念导数的概念当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大,但这时但这时导数不存在导数不存在.)1()()(lim)(0000

9、xxfxxfxfx x x x hhhh h h 11 )(0 xf关于导数的说明关于导数的说明或或如果如果 x0= 0,可以写成可以写成)0(f 导数的概念导数的概念特别特别是是,xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xx 0,)()(lim000 xxxfxfxx .)0()(lim0 xfxfx 0 xx (1) 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可内的每点处都可导导,就称函数就称函数

10、f (x)在开区间在开区间 I 内可导内可导.12xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf导数的概念导数的概念,y 记作记作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即或或)(xf 0 xx (3) 对于任一对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的的一个确定的, Ix 导数值导数值.这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的导函数导函数.13导数的概念导数的概念例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可可导导在在设设解解xafxafx5)()3(lim)1

11、(0 )()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3 35).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知hxfhxfxfh)()(lim)(0000 解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 211 h 14右导数右导数4. 单侧导数单侧导数 左导数左导数 )(0 xf )(0 xf导数的概念导数的概念;)()(lim000 xxfxxfx .)()(lim000 xxfxxfx )0(0 xf)0(0 xf又分别可以解释为曲线又分别可以解释为曲线)(xfy )(,(00 xfx在

12、在 点的左切线的斜率与右切线的斜率点的左切线的斜率与右切线的斜率.000)()(lim0 xxxfxfxx 000)()(lim0 xxxfxfxx 从几何上从几何上(left derivative)(right derivative)15导数的概念导数的概念处的可导性处的可导性.)(af 且且)(bf 和和.,)(上可导上可导在闭区间在闭区间就说就说baxf处可导处可导在在0)(xxf,)()(00都都存存在在和和右右导导数数左左导导数数xfxf 且相等且相等此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在分段点分段点如果如果)(xf在开区间在开区间),(ba内可导内可导,都存在都存在,

13、16求增量求增量)1(算比值算比值)2(求极限求极限)3(例例.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 0lim h. 0 0)( C三、求导举例三、求导举例( (几个基本初等函数的导数几个基本初等函数的导数) ) 导数的概念导数的概念 步步 骤骤 );()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .lim0 xyyx 即即CC h 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念,也提供了计算方法也提供了计算方法.因而它也属于双重意因而它也属于双重意义的定义义的定义.0)( C17例例,sin)(xxf 设设函函数数解解

14、hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 4)(sin xx.22 导数的概念导数的概念.)(sin)(sin4 xxx 及及求求4cos xx即即同理可得同理可得.sin)(cosxx 自己练习自己练习18例例.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx1)( nnnxx更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x如如12121 xx21 )(1 x11)1( x21x 导数的概念导数的概念即即1

15、9例例.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( .)(xxee 导数的概念导数的概念即即20例例.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 exxaalog1)(log .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 导数的概念导数的概念即即21例例.0|)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解,|)0()0(hhhfhf hfhfh)0()0(li

16、m0 , 1 hfhfh)0()0(lim0 . 1 ),0()0( ff.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy导数的概念导数的概念即即hhh 0limhhh 0limxy xyO221.几何意义几何意义表表示示)(0 xf 特别地特别地:导数的概念导数的概念)( ,tan)(0为倾角为倾角 xf)(xfy 曲线曲线,)(,(00切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点xfxM即即四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义0 x xyO)(xfy CT M000(1)()0,( )(,();fxyf xxf xOx若则曲线在点的切线平行于轴23).)(000 xxxfyy .

17、0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在在点点则则曲曲线线 .轴轴的的切切线线垂垂直直于于Ox:)(,()(00处的切线方程为处的切线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy :)(,()(00的的法法线线方方程程为为在在点点曲曲线线xfxxfy 导数的概念导数的概念24例例,)2 ,21(1斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx.

18、01582 yx导数的概念导数的概念.方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线由由导数的几何意义导数的几何意义,即即即即)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 252.物理意义物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.路程对时间的导数为物体的瞬时速度路程对时间的导数为物体的瞬时速度;.ddlim)(0tststvt 电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度;.ddlim)(0tqtqtit 为物体的线为物体的线(面面,体体)密度密度.导数的概念导数的概念变速直线运动变速直线运动交流电路交流电路非均匀的物体非均匀的物体

19、质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导数的导数26该点必连续该点必连续. .证证,)(可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim0 xfxyx )(xfxyxxxfy )(0lim x0 .)(连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 导数的概念导数的概念定理定理如果函数如果函数则函数在则函数在五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系在点在点x处可导处可导, ,)(xf即即函数极限与无穷小的关系函数极限与无穷小的关系所以所以, ,lim0 x27如如, ,0处处不不可可导导但但在在 x该定理的逆定理不一定成立该定理的逆定理不一定成立.注注导数的概念导数的概念,0)(处处连连续续在在

20、 xxxf.)(0的的角角点点为为xfx 连续是可导的必要条件连续是可导的必要条件, ,不是可导的充分条件不是可导的充分条件. .xy xyO28例例.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf,0处处在在 x xy,1sinx ,0时时当当 x.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx导数的概念导数的概念.11之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在 xy xx01sin)0(x 029 .,)(002xxba

21、xxxxxf当当当当设设为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 导数的概念导数的概念解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故应有故应有.200 xbax 又因又因,20 x,0bax .20 x )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 02020limxxxxxx02x应如何选取应如何选取a,b ?30导数的概念导数的概念 )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 020)(lim0 xxxbaxxx 00)()(lim0 xxbaxbaxxx 200 xbax 000limxxa

22、xaxxxa从而从而,当当)(0 xf 02x ,20 xa f(x) 在在x0处可导处可导.,20 xb .,)(002xxbaxxxxxf当当当当设设应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 31导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导; 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否

23、存在且相等.导数的概念导数的概念六、小结六、小结;)()()(000axfxfaxf 32思考题思考题(是非题是非题)导数的概念导数的概念,)(. 10点点可可导导在在若若xxf,| )(|. 20点点可可导导在在若若xxf?| )(|0点点必必可可导导是是否否在在xxf?)(0点必可导点必可导在在是否是否xxf非非,)(xxf 如如处处在在0 x可导可导;但但| )(|xf处处在在0 x不可导不可导.非非，如如 0, 10, 1)(xxxf1| )(| xf处可导；处可导；在在0 x但但)(xf处处在在0 x不可导不可导.33函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则小

24、结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则第二章第二章 导数与微分导数与微分反函数的求导法则反函数的求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则34定理定理1,)(),(处处可可导导在在点点如如果果函函数数xxvxu )()()1(xvxu 并且并且则则它们的线性组合、积、商它们的线性组合、积、商在点在点 x处也可导处也可导,);()(xvxu )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )()()3(xvxu)()()()()(2xvxvxuxvxu 函数的求导法则函数的求导法则).0)( xv.,R 一

25、、函数的线性组合、积、商的求导法则一、函数的线性组合、积、商的求导法则35证证则由则由导数的定义导数的定义有有hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxuhxuh)()(lim0 hxvhxvh)()(lim0 ).()(xvxu 函数的求导法则函数的求导法则 )()()1(xvxu );()(xvxu .,R 0lim hh ( )( )( ),f xu xv x设 ()( )u xhu x0()() ( )( )limhu xhv xhu xv xh ()( )v xhv x36 )()(xvxu).0)()()()()()(2 xvxvxvxuxvxu,vuy 设设证证.yvu 则则

26、)()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu 由乘积的导数由乘积的导数: u得得故故vvyuy vvvuu )0(2 vvvuvuvy ,vy y 特别特别 )(1xv)()(2xvxv .2vvuvuvu 即即函数的求导法则函数的求导法则37推论推论,处均可导处均可导在点在点、若若xwvu wvu uvw,wvu 则则,处也可导处也可导在同一点在同一点x且且uvw vw wvuwuv 函数的求导法则函数的求导法则 u vwu38例例.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylnco

27、scos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 函数的求导法则函数的求导法则39例例.tan的的导导数数求求xy 解解)(tan xyx2cos xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx )(cot x同理可得同理可得 xxcossin即即.csc2x 2vvuvuvu 函数的求导法则函数的求导法则)(cossin xxxx cos)(sin 40例例.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin xxxco

28、tcsc)(csc 同理可得同理可得 )(1xv)()(2xvxv 即即xxxtansec)(sec 函数的求导法则函数的求导法则41.11的导数的导数求求 xxy解解 法一法一2)1()1)(1()1()1( xxxxxy2)1(2 x法二法二11 xxy121 x)12()1( xy2)1(2 x注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性.2)1(12x 函数的求导法则函数的求导法则 )(1xv)()(2xvxv 42函数的求导法则函数的求导法则用求导法则与用定义求导数时用求导法

29、则与用定义求导数时, 结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么? 如已知如已知).0(,sin)(3fxxxf 求求无意义无意义,解解.cossin31)(3132xxxxxf )0(f 所以所以,)0(f 不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出在注意问题出在)(0 xfx 处处不连续不连续.因此因此)(xf 可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,0时时当当 x )(xf,0时时当当 x, 0用定义用定义!,cossin31332xxxx 43)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 第一章第九节定理第一章第九节定理2

30、: 单调的连续函数必有单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续反函数. .定理定理2内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数yIyfx)( ,0)( yf且且在在那那末末它它的的反反函函数数)(1xfy ,内内也也可可导导对对应应区区间间xI且且可可导导函数的求导法则函数的求导法则二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给)()(11xfxxfy 连续连续,), 0(xIxxx , 0 .1yx xy , 0lim0 yx)(1xfy 故故从而从而有有0lim x0lim y.)(1yf )(1xf因因 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函

31、数的导数等于直接函数导数的倒数. .1yxxy44.112x 例例.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解yxsin yycos)(sin 且且内内有有在在)1 , 1( xI)(arcsin xycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx , 0 )(sin1 y)(arcsin x函数的求导法则函数的求导法则)(1 )(1yfxf 单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 ,2 2yI 在内45注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:,arcsin2arccos

32、xx ,11)(arccos2xx .11)cot(2xx arc,arctan2cotarcxx 也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式函数的求导法则函数的求导法则46例例.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且内内有有在在), 0( xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 函数的求导法则函数的求导法则47定理定理3 链导法则链导法则)(ufy 而而 xydd)(xg )(uf 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则可导可导, ,

33、且其导数为且其导数为或或 uyxydddd.ddxu因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .( ),ug xx如果函数在点 可导( ), ( )ug xyf g xx在点可导 则复合函数在点48证证,)(可导可导在点在点由由uufy )(lim0ufuyu )(ufuy故故uuufy )(则则xy xuufx0lim)(函数的求导法则函数的求导法则 xydd规定规定0 0lim xxuxuuf )( 0lim xxuxx 00limlim , 0,0 ux时时当当xxgfy在在点点则则

34、复复合合函函数数)( ,)(可导可导在点在点如果函数如果函数xxgu 可导可导, ,且其导数为且其导数为可导可导, ,定理定理3( )( )yf uug x而在点d( )( )dyf ug xx(lim0)0u 0,u 0,u 0limx 0lim0.u ( )f u( ).g x49推广推广),(ufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy 例例.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解,lnuy uyxydddd u1xxsincos xcot xydd),(vu ),(xv .sin xu xcos函数的求导法则函数的求导法则ddyudduvd.dvxddux50例例.

35、)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解 92)1(10 xy 92)1(10 x.)1(2092 xx例例.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解 )2(22xaxy2221xa 2221xa )0( ax2)arcsin2(2 axa22112 axa)1(2 x函数的求导法则函数的求导法则)(22 xa ax22122xax2222xax2222aax51例例.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxyxxy211212 )2(3112 xxx例例.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(s

36、in x xe1sin.1cos11sin2xexx )2(31 x xey1sin x1cos)1( x函数的求导法则函数的求导法则520 x,lnxex )()(ln xex 因为因为所以所以 xeln x)ln( x .1 xx1 函数的求导法则函数的求导法则的情形证明幂函数的导数公式的情形证明幂函数的导数公式1()xx 53xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(

37、 xxeexx1)(ln)( 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式函数的求导法则函数的求导法则211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 542. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则函数的求导法则函数的求导法则)(),(xvvxuu 设设都可导都可导, 则则3. 反函数的求导法则反函数的求导法则)(1 )(1yfxf 或或.dd1ddyxxy 内内单单调调、在在某某区区间间如如果果函函数数yIyfx)( ,0)( yf且且在在对对应应区区间间则则它它的的反反函函数数)(1xfy 且

38、且可可导导.,R (1) (),uvuv(2) ().u vu vuv2(3)(0).uu vuvvvv,xI 内也可导554. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则,)()()(),(都都可可导导及及且且而而设设xgufxguufy 初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注函数的求导法则函数的求导法则的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xgfy ).()()(ddddddxgufxyxuuyxy 或或 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.56例例.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解 y xxx21)211(211

39、(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx )( xxxxxx 21 1()(21 xxxx函数的求导法则函数的求导法则57例例.,可可导导其其中中函函数数的的导导数数求求g xgey1解解 xg1 xge1 2111xxgexg xgexxg121 y xge1 xg1 x1函数的求导法则函数的求导法则58例例).(000sin)(2xfxxxxxf 求求设设解解,0时时 x,0时时 xxxxx0sinlim20 220sinlimxxx 22sin2sinxxxx xxxf2sin)(0)0()(lim)0(0 xfxffx1 所以所以 010sin2sin)(22xxxxxx

40、xf函数的求导法则函数的求导法则59例例.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解 y)(sin1nnxn nxcos ).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn )(sin1nnnxnf )(sinnnxf )(sinnx 1 nnx函数的求导法则函数的求导法则60例例与两坐标轴的交点所与两坐标轴的交点所过曲线过曲线证明证明24: xxy, 0 x令令证证, 0 y令令);2 , 0(Ay轴的交点为轴的交点为曲线与曲线与),0 , 4(Bx轴轴的的交交点点为为曲曲线线与与. 2 y得得. 4 x得得 24xxy函数的求导法则函数

41、的求导法则,210 xy,214 xy由于斜率相等由于斜率相等,知二切线平行知二切线平行.(1) 求交点求交点,)2(22 x 221x分别为曲线在分别为曲线在A, B点点的切线斜率的切线斜率.(2) 求导数求导数作的曲线的切线彼此平行作的曲线的切线彼此平行.61xexeexxxx22sin)1(sin)1(cos 解解 21sin11xex 1sinxex y函数的求导法则函数的求导法则sinarctan.1xxye求函数的导数62解解),(ufy 设设 yxxf3cos)3(sin3 注注xu3sin uy )(ufx3cos3则则xu .的导数的导数对对不表示不表示xf函数的求导法则函数

42、的求导法则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,?sin3,.yfxf求的导数 其中函数可导(sin3 )fx(sin3 ) (sin3 )fxfx63.)(,)(的的导导数数求求是是可可导导函函数数设设xfxeefyf 解解函数的求导法则函数的求导法则 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.)()( xfxeefy )( )(xfxeef)(xfe )()()()(xfefeefexxxxf )(

43、)( xfxeefxxeef )()()(xfexf )(xef64.的的导导数数求求函函数数xaaaxaaaxy 答案答案 1aaaxay axaaxaa1lnxaxaaa 2ln函数的求导法则函数的求导法则解解axafxfafax )()(lim)(axxaxax 0)()(lim )(limxax )(a ( ),( )() ( ),xxaf xxax若在处连续( ).fa求65(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则函数的求导法则函数的求导法则五、小结五、小结 )()(xvxu )()(xvxu);()(xvxu .)()(xvxu 不能遗漏不能遗漏);(对于

44、对于复合函数复合函数,反函数的求导法则反函数的求导法则层的复合结构层的复合结构,注意一层注意一层函数的积、商求导法则函数的积、商求导法则注意注意记住基本初等函数的导数公式记住基本初等函数的导数公式66思考题思考题(是非题是非题).)(,0处不可导处不可导在在则则处不可导处不可导xxf )()(,)(000 xuufyxxu 在在处处可可导导在在若若非非例如例如2)(xxu 处处可导处处可导,|)(uufy 0)0(0 u在在处不可导处不可导,但复合函数但复合函数2)(xxfy 处处可导处处可导.函数的求导法则函数的求导法则67高阶导数的定义高阶导数的定义莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公

45、式小结小结 思考题思考题 作业作业第三节第三节 高阶导数高阶导数第二章第二章 导数与微分导数与微分几个基本初等函数的几个基本初等函数的n阶导数阶导数 68问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tss 设设)()(tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为是是加速度加速度a )(ta定义定义)()(xfxf 的的导导数数如如果果函函数数xxfxxfxfx )()(lim)(0高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义)(tv )(ts 的变化率的变化率对时间对时间速度速度tv一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义高

46、阶导数高阶导数处处的的在在点点为为函函数数则则称称xxfxf)() )( 存在存在,二阶导数二阶导数. .)( 即即处可导处可导在点在点,x记作记作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 69阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数1)( nxf.d)(ddd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf或或三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为;)(,称为零阶导数称为零阶导数相应地相应地xf.dd,),(33xyyxf 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为.dd,),(44)4()4(xyyxf高阶导数高阶导数.)(称为一阶导

47、数称为一阶导数xf 高阶导数高阶导数的的函数函数)(xf三阶导数三阶导数, ,四阶导数四阶导数, , n阶导数阶导数, , 记作记作一般地一般地,70例例解解211xy )11(2 xy22)1(2xx 22)1(2xxy322)1()13(2xx ; 0 . 2 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法而不需要新的方法.高阶导数高阶导数.,arctan00 xxyyxy求求设设0220)1(2 xxxxy03220)1()13(2 xxxxy71例例.),()(nyR

48、xy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n为自然数为自然数若若 )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 高阶导数高阶导数二、几个基本初等函数的二、几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则72高阶导数高阶导数例例.,)(nxyey求求设设 解解,xey ,xey ,xey .)()(xnxee 例例.),1( )1ln()(nyxxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn73例例.,si

49、n)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得即即)2sin()(sin)( nxxn高阶导数高阶导数74求求n阶导数时阶导数时, 关键要寻找规律关键要寻找规律, 注注另外在另外在的规律性的规律性,写出写出n 阶导数阶导数.高阶导数高阶导数便可看出规律便可看出规律;一般求至三阶一般求至三阶,求导过程中不要急于合并求导过程中不要急于合并, 分析结果分析结果75例例.,231)(2nyxxy求求 解解2312 xxy22)1(1)2(1 xxy 331)2)(1(2)2)(1( xxy22)1(1)1()2(1)1( xx