江苏省宿迁市高中数学 第二章 平面向量 2.1.2 平面向量基本定理与平面向量坐标表示课件 苏教版必修4

1、12向量共线定理：向量共线定理： 如果有一个实数如果有一个实数，使，使那么那么 是共线向量；反之，如果是共线向量；反之，如果 是共线向量，那么有且一个实数是共线向量，那么有且一个实数，使，使(0)ba a ba与ba与(0)a ba3 火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个速度.ij1xvi 2yvj vij与垂直,记作:i j单位向量:ij41ea2eOCON OM 1212aee存在唯一一对存在唯一一对1 、 2 使使:2eONMC1ea设 是平面内两个不共线的向量, 是这个平面内任意一个向量, 能否用 来表示呢？12,e e aa12, e e5平面向量的基本定理平

2、面向量的基本定理 如果如果 , 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线的向量不共线的向量，那么对于这一平面内，那么对于这一平面内的任意向量的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数、 ，使，使 1 1e e 2 2e ea1 12 2 1 11 12 22 2a a = =e e + +e e我们把不共线的向量我们把不共线的向量 ， 叫做叫做表示这一平面内所有向量的一组表示这一平面内所有向量的一组基底基底。 1 1e e 2 2e e6 一平面向量用一组基底一平面向量用一组基底 ，表示成表示成 的形式，的形式，我们称它为向量的分解我们称它为向量的分解.当互当互相垂直时，就称为向量的相

3、垂直时，就称为向量的正交分解正交分解. 1 1e e 2 2e e2,e 1 1e e1 122aee ll=+思考：思考：平面向量的基本定理与前面所学的平面向量的基本定理与前面所学的向量共线定理，在内容和表述形式上有什向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？么区别和联系？7练习练习 判断下列命题的是否真命题，并说明理由判断下列命题的是否真命题，并说明理由1、 、 是平面内的一组向量，则平面内任一向是平面内的一组向量，则平面内任一向量量 都可以表示为都可以表示为 ，其中，其中 、2、 、 是平面内的一组基底，若实数是平面内的一组基底，若实数 、 使使 ，则，则 1 1e e 2 2e

4、 e 1 11 12 22 2a a = =e e + +e e 1 11 12 22 2e e + +e e = = 0 01212 = = 0= 02 2R R1 1 1 1e e 2 2e e2 21 13、如果、如果 , 是同一平面内的两个不共线的向是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量量，那么对于这一平面内的任意向量 ，可能有无，可能有无数对实数数对实数 、 ，使，使a1 12 2 1 1e e 2 2e e 1 11 12 22 2a a = =e e + +e ea82.已知向量 不共线,实数x,y满足: ,则x=_,y=_,a b 2(3)(1 3 )xa

5、y by a xb3.若 是表示平面内所有向量的一组基底,且 不能作为基底,则k的值为_12,e e 121234 ,6aee beke 练习练习9例1.平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点M, ,试用基底 表示,ABa ADb ,ab,MC MA MBMD 和ABCDM例题例题10例：例：mf.如图，质量为 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面对物体的摩擦力为-ffPw11例3.设 是平面内的一组基底,如果 , ,求证:A,B,D三点共线.1232ABee 12,ee124BCee 1289CDee 练习:P72 1、2、3、412平面向量基本定理 我们把不共线的向量

6、我们把不共线的向量 叫做表示叫做表示这这一平面内所有向量的一组一平面内所有向量的一组基底基底。12,e e 如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不不共线共线向量，那么对于这一平面内的任向量，那么对于这一平面内的任12,e e 一向量 有且只有一对实数 使12, a1 122aee一个平面向量一个平面向量 用一组基底用一组基底 表示成表示成 的形式，称为向量的一个分解。的形式，称为向量的一个分解。当当 垂直时，称为向量的垂直时，称为向量的正交分解正交分解12,e e 1122aee12,ee a课堂小结课堂小结13作业作业: : 预习预习 P P72 74 72 74 向量的向量的 坐

7、标表示和运算坐标表示和运算143.若矩形ABCD的中心为O, ,(1)试以 为基底表示 (2)试以 为基底表示12,OAe OBe 3ABe 12,e e BC 13,e e BC OABCD练习15练习:1.已知 是平面内的一组基底,则正确的命题有_. 12,e e (1)若实数m,n使 , 则m=n=0120mene(2)空间任一向量 可以表示为a12amene(m,n是实数)(3)对平面内的某一个向量 ,存在唯一一对实数m,n使a12amene(4)向量 不能作为平面向量基底.121236eee与-2e16 我们知道，在平面直角坐标系，每一我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有

8、序实数（即它的坐标）个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的任意一个以原表示，对直角坐标平面内的任意一个以原点点O为起点的向量，如何表示？为起点的向量，如何表示？思考： 在平面上，如果选取互相垂直的在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。带来方便。问题1:什么是向量的正交分解?17平面向量的坐标表示xyM(4,3)OxyOA(X,Y)aaij(4,3)OM axiyj( , )ax y18练习练习 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。 a=(

9、2,3)同理同理 b=-2 i+3 j=(-2,3) c=-2 i-3 j=(-2,-3)d=2 i-3 j=(2,-3)解：由图可知解：由图可知a=AA1+AA2=2 i+3 j, yxOaA1AA2bcdij-4 -3-2 -11234-1-2-3-4-51234519例例1: 如图如图2-3-6,已知已知O是坐标原点是坐标原点,点点A在第一象限在第一象限,4 3OA ,XOA=60OxY24246A600求向量求向量 的坐标的坐标 OA 20已知已知 ， 你能得出你能得出 ， ，的坐标吗？的坐标吗？1 11 1a a = =( (x x , ,y y ) )2 22 2b b = =(

10、(x x , ,y y ) )a a + + b b-a ab ba a21 这就是说，两个向量和与差的坐标分这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。别等于这两个向量相应坐标的和与差。 a+b= (x1+x2, y1+y2) a - b=(x1-x2, y1-y2) 这就是说这就是说,实数与向量的积的坐标等实数与向量的积的坐标等于这个实数乘以这个向量的坐标于这个实数乘以这个向量的坐标.22结论：一个向量的坐标等于表示此向量的结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。yxOB(x2,y2)A(x1,y1)如图，已知如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则则AB= OB - OA = (x2, y2) - (x1, y1) = (x2 -x1 , y2 - y1)由两个向量的差的坐标知道由两个向量的差的坐标知道:23oADCBxy例2.已知A(-1,3),B(1,-3)C(4,1),D(3,4),求向量,OAOB AO CD 的坐标.24例3.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P是直线P1P2上一点,且 ,求点P的坐标.12(1)PPPP 解:设点