第三章 运动稳定性基础

1、高等动力学中国矿业大学力建学院力学系李毅2-1 目 录 第三章 运动稳定性基础 3-1 基本概念 3-2 相平面方法 3-3 李雅普诺夫直接方法 3-4 一次近似稳定性理论 3-5 机械系统的稳定性 2-23-1 基本概念2-3相轨迹相点或相空间维空间称为状态空间，建立抽象的以状态变量为基，称为系统的状态变量，：动力学方程一般可写作.,), 2 , 1(),(2121nyyynjtyyyYynnjj稳定：受扰运动与未扰运动相差不大。不稳定：受扰运动与未扰运动相差大。1. 扰动方程),(),(,),(n2121tYYYyyyTnTnyYyYy动力学方程可写作维列阵引入)()(),(),(0s0s

2、sttttsyyyYyyy其初始条件为动或稳态运动运动，我们称为未扰运此特解代表系统的一种满足设此方程的特解为件但对应于不同的初始条的解，同一动力学微分方程组与未扰运动显然受扰运动)()(sttyy为扰动称)()()()(ttttsxyyx),(),(),(),()(tttttssyYxyYxXxXx2. 李雅普诺夫稳定性定义稳定。（则称未扰运动，均有对于所有的动，只要其初扰动满足，对一切的受扰运存在正数，正数定义一：若给定任意小)(,)(00tttttsyxx内都将永远限制在内出发的任意一条相迹几何解释：SS渐近稳定。（则称未扰运动，时均有定，且当定义二：若未扰运动稳)0)(tttsyx为不

3、稳定。（则称未扰运动，满足存在时刻时当初扰动满足，存在受扰运动，对任意小正数定义三：若存在正数)(,)(),(1010ttttttsyxxy。都将渐近地向原点趋近内出发的任意一条相迹几何解释：S的边界。到内出发的相迹，最终达多小，总有一条几何解释：无论SSS李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性的定义基于以下条件：在同一微分方程支配下，受扰运动仅由初扰动引起，在初扰动后，系统不再受其他扰动，且受扰运动与未扰运动在 t无限时间内的同一时刻进行比较。轨道稳定性轨道稳定性只要求受扰运动轨道与未扰运动轨道充分接近，但同一时刻两者可能相距甚远。定从而振子的平衡位置稳代人上式，导出，将)1,1min(00020

4、10 xx3-2 相平面方法不显含时间 t 的系统称为自治系统。对单自由度自治系统，其运动过程可由相平面内的轨迹来描述。系统平衡对应相迹为奇点。根据李雅普诺夫稳定性的几何解释，可从奇点的不同类型，确定奇点附近的相迹走向，从而确定系统平衡状态的稳定性。这种直观的几何方法称为相平面方法。 )(,)(0)(22121xfxxxxxxxxfxfx 引入新变量称为“力”1. 保守系统的能量积分为“机械能”为“势能”，称称积分得相轨迹方程：ExVdxxfxVExVxxxfdxdxx)()()(,)(21)(1011122211212. 相轨迹特性每一条相迹代表系统的一种可能的运动状态。所有相迹代表所有可能

5、的运动状态，也包括平衡状态。考虑到初始条件的连续性，相轨迹一般来说可以充满相平面（整个或局部） 。获得相轨迹可由运动方程亦可由上述方程。显然，平衡状态的相迹为一个点，反之，相轨迹退化为一个点时（称为奇点），对应于一个平衡状态。研究平衡状态的稳定性，可由奇点的特征获得。因为根据李雅普诺夫稳定性定义，扰动引起的相迹改变在奇点的附近（邻域），称为（平衡）稳定。因此“中心”对应于稳定平衡状态“鞍点”对应于不稳定平衡状态奇点分类：（1）中心，指奇点周围的相迹为围绕奇点的类型（2）鞍点，指奇点周围的相迹有不围绕奇点的类型根据相迹方程（3.2.4），相迹奇点的类型可由势能函数V(x)获得。总结如下：稳定称为

6、“退化鞍点”，不右侧具有鞍点性，有中心性，在左侧具处，在势能拐点的定奇点为“鞍点”，不稳处，对应的势能取极大值的奇点为“中心”，稳定处，对应的势能取极小值的是相迹的奇点。的驻点对应势能交处，相轨迹与横坐标相的交点与势能相轨迹对横坐标对称3331211121132111)6()5()4(, 0, 0)()()3(,)()2() 1 (SSSxSxSxxxfxVzCCCxEzxVz 拉格朗日定理 若单自由度保守系统的势能在平衡位置处有孤立极小值，则平衡稳定，否则不稳定。该定理称为“拉格朗日-狄里克雷定理”，简称“拉格朗日定理”中心：对应于单摆下垂位置鞍点：对应于单摆倒立位置结论：单摆下垂位置稳定，

7、 单摆倒立位置不稳定4. 静态分岔之变化。参数的变化时，相迹随为：则势能，运动微分方程为：于某个参数设保守系统的力场依赖xdxxfxVVxfx0),(),(0),( 现象称为分岔。的临界值为分岔值。该为分岔参数，型产生突变，则称主要指奇点的个数和类突变，迹轨迹的拓扑性质产生经过某个临界值时，相若如图所示和分别对应于平面分割成两个区域，平面上确定的曲线将此该方程在）（由以下方程确定：相迹的奇点0),(0),(),(8.2.30),(sssssxfxfxxfx处为中心，平衡稳定。而也是鞍点。同样点。处取极大值，奇点为鞍在，表明势能即有从正值变为负值，因而时，变为大于由小于当确定。，的纵坐标的交点与

8、曲线可由直线，奇点的位置对于任意给定的参数2310001132100),(0),(, 0),(),(,2,310),(ssssssssssssxxxxxxxVxVxfxfxxxxxxxf 庞加莱方法:稳定。则奇点为鞍点，平衡不的下方，位于曲线如果区域定。则奇点为中心，平衡稳的上方，位于曲线如果区域0),(0),(0),(0),(ssssxfxfxfxf线对应不稳定图中实线对应稳定，虚就是相迹的分岔值。，类型都发生突变，因此个数或经过这些点时，奇点的当都具有临界性质，或取不定值的点3213210sdxd于非线性系统。因此，分岔现象只存在无重根，不存在分岔值的线性函数，为若0),(),(xfxxf

9、rgsrgssfrgffcr分岔值为虚线对应鞍点图中，实线对应中心，令3),arccos(2, 010),()cos(sin),(0),(22 5. 耗散系统cxxfxxxxxxxfxcx211221)(dd,0)(，有令：来说，其动力学方程为则称为耗散系统。一般性阻尼力，还有与速度成正比的粘设系统内除保守力外， 处。都是与有阻尼时的奇点一致显然，无阻尼时的奇点0)(xf为渐近稳定。此时平衡状态由稳定转普诺夫稳定定义，于中心奇点。根据李雅看出，相迹将不断趋近，可以）时，相迹斜率减少（当也一定是中心。因为，有阻尼时，此点衡位置，奇点为中心。对于无阻尼时的稳定平ccc00称奇点为稳定结点。往奇点的

10、射线，这时，点，成为直接通较大，相迹迅速接近奇当阻尼较强时，稳定焦点。旋线，这时，称奇点为形成一条趋近中心的螺轨迹的部分特征，较小，相迹仍保持封闭当阻尼较弱时，cc定结点。改称不稳定焦点或不稳变为不稳定。奇点类型状态迹不断向外扩展，平衡时，阻尼成为激励，相当0c3-3 李雅普诺夫直接方法不求解运动微分方程，而是根据扰动微分方程本身直接判断其零解的稳定性。1. 定号，半定号和不定号函数函数）。为半正定函数（半负定，称时，而对原点的邻域当且仅当定义二：）。统称为定号函数。为正定函数（负定函数，称时，而对原点的邻域当且仅当定义一：连续实函数。原点邻域内的单值维状态空间是设)()0(0000)()0(

11、0000),(n)(21xxxxxxxxVVVVVVVVxxxVn为不定号函数。正值也可取负值，称可取时，而对原点的邻域当且仅当定义三：)(000 xxxVVV2. 李雅普诺夫定理运动渐近稳定。为负定，则系统的未扰）解曲线计算的全导数（，使沿扰动方程可微正定函数定理二：若能构造一个的未扰运动稳定。统为半负定或为零，则系）解曲线计算的全导数（，使沿扰动方程可微正定函数定理一：若能构造一个为：维列向量，其扰动方程为维自治系统，讨论VVVVnn.3.13)(.3.13)(xxX(x)xx。系统的未扰运动不稳定为正定，则）解曲线计算的全导数使沿扰动方程（，定号函数可微正定、半正定或不定理三：若能构造一

12、个VV.3.13)(x上述定理的严格数学证明可参考有关文献。下面，我们从几何观点给出不严格但直观的证明。此封闭曲线的内切圆为相切的封闭曲线，选择是与投影在相平面的，交于与曲面的最低点作平面过曲线，交于作圆柱面与曲面。过的圆为中心在相平面上作半径相切。以原点为与平面。显然此曲面在原点处函数曲面三维空间内作正定。在设扰动变量为二维，SSSSSconstVSSSSxxVxxxx32211212121),(),(),(x运动稳定。普诺夫的定义一，未扰。根据李雅方程的相迹均不能越出内出发的每一条扰动下方，因此从的必局限在的运动不可能上行，而上的对应点在内出发的相点为半负定或为零，则从算的全导数）解曲线计

13、沿扰动方程（若SSSPPSVV2.3.13)(x。二，未扰运动渐近稳定普诺夫的定义向原点逼近。根据李雅必对应的点至最底点，在相平面上下降点的运动必沿为负定，则若PPV运动不稳定。三，未扰根据李雅普诺夫的定义边界。的地远离原点而达到指定点必相应上升。相平面内的的运动必沿的区域内出发的点为正定，在不定，而若SPPVVV 03. 拉格朗日定理在3-2中给出了单自由度保守系统稳定性的拉格朗日定理。利用李雅普诺夫直接方法，可以进一步证明，拉格朗日定理也适用于任意自由度的保守系统系统。取系统的哈密顿函数 H=T+V 为李雅普诺夫函数，其中动能为广义速度的正定二次齐次函数，将平衡位置作为势能的零点。若势能在

14、V平衡位置取孤立极小值，则 V为广义坐标的正定函数。因此 H=T+V为正定函数。由于保守系统存在能量积分，T+V均为常数，其沿扰动方程的解曲线的全导数必等于零。根据李雅普诺夫的定理一，平衡位置稳定。拉格朗日定理拉格朗日定理：若势能V在平衡位置取孤立极小值，则保守系 统的平衡稳定。切塔耶夫定理切塔耶夫定理：若势能V在平衡位置取孤立极大值，且V为广 义坐标的二次齐次函数，则保守系统的平衡不稳定。3-4 一次近似稳定性理论李雅普诺夫直接方法理论上适用于一切非线性系统，但由于缺乏普遍适用的构造李雅普诺夫函数的方法，因此，实际应用时存在不少困难。线性系统已经发展的十分完善。将非线性系统近似化为线性系统，

15、称为一次近似系统。能否用一次近似系统的稳定性分析代替非线性系统的稳定性分析，需要研究。本节首先研究线性系统的稳定性准则，然后给出李雅普诺夫一次近似理论。1. 线性系统的稳定性准则 )(, 2 , 1,()(,)3 . 4 . 3(0雅可比矩阵式中次近似方程统的一到线性方程组，即原系略去二次及以上项，得勒级数，述扰动方程右边展成泰当扰动足够小时，将上为：维列向量，其扰动方程为维自治系统，讨论njixXaannxjiijnnijAAxxX(x)xxnnnnnnnsssmnsssBemmmjst212121,0.34 . 3.34 . 3显然有：每个根的重数分别为个不同的特征值的特征值，设共有此方程

16、的根为的特征方程。次代数方程，即的展开后得到件是：有非零解的充分必要条（）得）为常值列阵，代入（式中）的解为：设（AAEAB0E)BABBx次多项式。的是则方程基本解为：重数为有重的特征值为有界函数。实部时，对应的基本解有零为临界情形，特征值对应的解无限增大。作的特征值正实部随时间推移趋于零。有有负实部时，对应的解特征值）的解为：个不同的单根，方程（有设1)(), 2 , 1()(,)2(), 2 , 1(.34 . 3) 1 (kktskkkkkkktsknttfnketfxnssssnkexnkkAA由于线性微分方程组的通解是由基本解的线性组合构成，因此方程组（3.4.3）的零解稳定性可根

17、据特征值的实部符号判定。归纳为以下定理。线性方程组稳定性准则 定理一：若所有特征值的实部为负，则线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若至少有一特征值的实部为正，则线性方程组的零解不稳定。具有正实部的特征值数目称为不稳定度。 定理三：若存在零实部的特征值，且为单根，其余根无正实部，则线性方程组的零解稳定，但不是渐近稳定。若为重 根， 则零解不稳定。2. 李雅普诺夫一次近似理论 以上三定理适用于线性系统，李雅普诺夫证明，在一定条件下，从一次近似方程的稳定性推断原方程的稳定性。归纳为以下定理。 定理一：若一次近似方程的所有特征值的实部为负，则原线性方程组的零解渐近稳定。 定理二：若一次近似方程至少有

18、一特征值的实部为正，则原方程组的零解不稳定。 定理三：若一次近似方程存在零实部的特征值，其余根无正实部，则不能判断原方程组的零解稳定性。 定理一和定理二与线性系统相同，定理三为临界情况，线性系统能判断稳定与否。但非线性系统不行，此时非线性系统的稳定性在很大程度上取决于略去的高次项。3. 劳斯-赫尔维茨判据 一次近似方程的全部特征值实部为负，是一次近似方程也是原方程的零解渐近稳定的充分条件。 1895年提出的劳斯-赫尔维茨判据是判断此条件是否满足的实用方法。设线性方程组的特征方程展开后的一般形式为：以后的元素为零。排列，向右的元素依次为：）自对角线元素（以后的元素为零；排列，向左的元素依次为：行

19、内，自对角线元素）任意（元素；，依次排列成主对角线，将阶方阵下规则构成。将此方程的系数按以规定002121210111032) 1 (:00aaaaaaaaaakaaanaasasasakkknnkkknnnnnDnkkknnkkknnnnnaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaakaaanaasasasa000000000000000032) 1 (:000123450123010021212101110以后的元素为零。排列，向右的元素依次为：）自对角线元素（以后的元素为零；排列，向左的元素依次为：行内，自对角线元素）任意（元素；，依次排列成主对角线，将阶方阵下规则构成。将此方程的系

20、数按以规定D，赫尔维茨行列式：称为特征多项式的个顺序主子行列式的34512301323012110), 2 , 1(aaaaaaaaaaaaaninDi), 2 , 1(04.4.13nkk行列式均大于零，即条件为所有的赫尔维茨的充分必要）的所有根均有负实部定理：代数特征方程（3-5 机械系统的稳定性 工程机械系统除受到重力和弹性恢复力等保守力以外，还受有阻尼力，有时对带有旋转部件的机械系统还有科氏惯性力引起的广义力陀螺力。 一般来说，机械系统通常包含保守力，阻尼力和陀螺力。为反对称矩阵为对称矩阵，和陀螺阵。阵，阻尼阵分别称为质量阵，刚度，阶方阵组可写为：机械系统的动力学方程GCKMGCKM0KxxG)(CxMf)4 . 5 . 3( 1. 线性化动力学方程的普遍形式线性化动力学方程的普遍形式2. 机械系统的稳定