随机变量的数字特征ppt课件

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征u数学期望数学期望u方差方差u* * 协方差与相关系数协方差与相关系数u大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理数学期望的引例数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如：某例如：某7人的高数成果为人的高数成果为90，85，85，80，80， 75，60，那么他们的平均成果为，那么他们的平均成果为9085 280 2756071221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 数学期望数学期望E(X)1 12 2( ) kkkkk

2、E Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定义定义 设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 u离散型随机变量离散型随机变量kkkp x 若若级级数数绝绝对对收收敛敛， 则则称称此此级级数数为为随机变量随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作EX，即，即 XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算知随机变量知随机变量X的分布律：的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求数学期望求数学期望EX 解解 111()4565424E

3、X 延续型随机变量的数学期望延续型随机变量的数学期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu延续型随机变量延续型随机变量定义定义设延续型随机变量设延续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f (x), 那么那么( ) 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为的数学期望的数学期望xf x dxX 即即 数学期望的计算数学期望的计算知随机变量知随机变量X的密度函数为的密度函数为例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求数学期望。求数学期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 数学期望的意义 实验次数较大时，实验次数

4、较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动x()xE X数学期望又可以称为期望值数学期望又可以称为期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均,是是X的的能够值以其相应概率的加权平均。能够值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(, )( (), ( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjj

5、jjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy() ( ) ( ,).YE Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)为二维延续型随机变量为二维延续型随机变量设设(X,Y)(X,Y)的结合密度为的结合密度为例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其其它它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的边缘密度的边缘密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (

6、1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 101124xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx ()( )YE Yyfy dy 10223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy 另解另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( , )E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 无需求无需求边缘分布密度函数边缘分布密度函数 随机变量的函数的数学期望随机变

7、量的函数的数学期望定理定理 1：一维情形：一维情形()Yg X 是随机变量是随机变量 X的函数的函数,1( ) ()()kkkE YE g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x概率密度为概率密度为X服从服从2 , 0sinYX上的均匀分布，求上的均匀分布，求的数学期望。的数学期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx由于由于 所以所以 例例 解解随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望 (,)(,)ijijijE g X Yg x

8、yp 定理定理 2：二维情形：二维情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y结合概率密度为结合概率密度为(,)Zg X Y 是随机变量是随机变量 X， Y的函数的函数,离散型离散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量X，Y的密度函数分别为的密度函数分别为 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求EXY解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052y

9、dxxyx edy12(5)052yx dxyedy4数学期望的性质数学期望的性质,X Y相互独立时相互独立时u当随机变量当随机变量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu.C C 为常数为常数 ()()E CXCE Xu.()()( )E XYE XE Yu.设设X,YX,Y在由在由4 4个点个点0 0，0 03 3，0 0，3 3，2),2),(0,2)(0,2)决议的矩形域内服从均匀分布，求决议的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(X2)E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).E(Y2),E(XY).3 30 02 26面积答案：答案：25(); ()3;2

10、E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的数学期望分布的数学期望X服从服从0-1分布，其概率分布为分布，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p假设假设X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布， 那么那么E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律数学期望数学期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二项分布的数学期望二项分布的数学期望分布律分布律X X服从二项分布，其概率分布为服从二项分布，其概率分布为数学期望数学期望n二项分布可表示为二项分布可表示为个分布的和个分布的

11、和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次试验中不发生， 在第 次试验中发生11()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 那么那么 泊松分布的数学期望泊松分布的数学期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分布律分布律数学期望数学期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的期望均匀分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2正态分布的期望正态分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf数学期望数学期望22()

12、2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指数分布的期望指数分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1数学期望在医学上的一个运用数学期望在医学上的一个运用An application of Expected Value in Medicine 思索用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每思索用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进展化验。假设个人的血液样本混合起来进展化验。假设结果为阴性，那么结果为阴性，那么

13、1010个人只需化验个人只需化验1 1次；假设结果为阳性，那次；假设结果为阳性，那么需对么需对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病次。假定人群中这种病的患病率是的患病率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，能否能减少化验分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，能否能减少化验次数？次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需求计算我们需求计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验

14、次数X的能够取值为的能够取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是阴性人都是阴性X=11)=“至少至少1人阳性人阳性结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数留意求留意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91(1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p对能否分组的影响对能否分组的影响问题的进一步讨论问题的进一步讨论假设假设p=0.2，那么，那么当当p0.2057时，时，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 21.86n 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才干保证，才干保证EX10.当当p=0.1时，为使时，为使 例例 独立地操作两台仪器，他们发生缺点的概率分别独立地操作两台仪器，他们发生