2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第2章《2.5.2 圆与圆的位置关系》(含解析)

1、25.2圆与圆的位置关系学习目标1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2| dr1r2d|r1r2|d0)，C2：x2y2D2xE2yF20(DE4F20)，联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知

2、两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切1如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()2如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()3从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()4若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2.()一、两圆位置关系的判断例1当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14xk0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；

3、圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2(k50)从而|C1C2|5.当15，k34时，两圆外切当|1|5，6，k14时，两圆内切当|r2r1|C1C2|r2r1，即14k34时，两圆相交当15或|1|5，即34k50或k14时，两圆相离反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系跟踪训练1(1)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离答案

4、B解析两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r2，R3，两圆的圆心距为，则Rr4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条二、两圆的公共弦问题例2已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，圆C1的圆心坐标为(1，5)，半径为r15，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径为r2.|C1C2|2，r1r25，|r1r2|5|，|r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在

5、的直线方程为x2y40.(3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，5)到直线x2y40的距离为d3，公共弦长为l222.方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或|AB|2.即公共弦长为2.反思感悟两圆的公共弦问题(1)若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解跟踪训练2(1)两圆x2y210x10

6、y0，x2y26x2y400的公共弦的长为()A5 B5 C10 D10答案D(2)圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长为_答案解析由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d，设圆C3的半径为r，由条件知，r2d2，所以弦长为2.圆系方程的应用典例(1)求圆心在直线xy40上，且过两圆x2y24x60和x2y24y60的交点的圆的方程解方法一设经过两圆交点的圆系方程为x2y24x6(x2y24y6)0(1)，即x2y2xy60，所以圆心

7、坐标为.又圆心在直线xy40上，所以40，即.所以所求圆的方程为x2y26x2y60.方法二由得两圆公共弦所在直线的方程为yx.由解得所以两圆x2y24x60和x2y24y60的交点坐标分别为A(1，1)，B(3,3)，线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y1(x1)由得即所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为4.所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216.(2)求过直线xy40与圆x2y24x2y40的交点且与直线yx相切的圆的方程解设所求圆的方程为x2y24x2y4(xy4)0.联立得x2(1)x2(1)0.因为所求圆与直线yx相切，所以0，即(1)28(1)0，解得3，故所求圆的方程为x2

8、y27xy80.素养提升(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0，然后用待定系数法求出即可(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交C外切 D内切答案B解析化为标准方程：圆O1：(x1)2y21，圆O2：x2(y2)24，则O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2|r1r2，又r2r10)的公共弦长为2，则a_.答案1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y，圆心(0,0)到直线的距离为d1，所以a1.

9、1知识清单：(1)两圆的位置关系(2)两圆的公共弦2方法归纳：几何法、代数法3常见误区：将两圆内切和外切相混1圆C1：x2y24x8y50与圆C2：x2y24x4y10的位置关系为()A相交 B外切C内切 D外离答案C解析由已知，得C1(2，4)，r15，C2(2，2)，r23，则d|C1C2|2，所以d|r1r2|，所以两圆内切2圆x2y21与圆x2y22x2y10的交点坐标为()A(1,0)和(0,1) B(1,0)和(0，1)C(1,0)和(0，1) D(1,0)和(0,1)答案C解析由解得或所以两圆的交点坐标为(1,0)和(0，1)3已知圆C1：x2y2m0，圆C2：x2y26x8y1

10、10，若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是()Am1 Bm121C1m121 D1m121答案C解析圆C1的方程可化为x2y2m(m0)，则圆心为C1(0,0)，半径r1；圆C2的方程可化为(x3)2(y4)236，则圆心为C2(3,4)，半径r26.圆C1与圆C2有公共点，|r1r2|C1C2|r1r2，即|6|6，解得1m121.4(多选)设r0，圆(x1)2(y3)2r2与圆x2y216的位置关系不可能是()A内切 B相交C外离 D外切答案CD解析两圆的圆心距为d，两圆的半径之和为r4，因为32解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.因为两圆外离

11、，所以1，即a2b232.7已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A，B两点，则直线AB的方程是_答案x3y0解析圆的方程(x1)2(y3)220可化为x2y22x6y10.又x2y210，两式相减得2x6y0，即x3y0.8经过直线xy10与圆x2y22的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_答案x2y2xy0解析由已知可设所求圆的方程为x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得，故所求圆的方程为x2y2xy0.9已知圆O1：x2(y1)24，圆O2的圆心O2(2,1)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|2，求圆O2的方程解设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r，因为圆

12、O1的方程为x2(y1)24，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x4yr80，作O1HAB，H为垂足，则AHAB，所以O1H.由圆心O1(0，1)到直线4x4yr80的距离为，得r4或r20，故圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.10已知两圆x2y22x6y10和x2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解两圆的标准方程分别为(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.(1)当两圆外切时，解得m2

13、510.(2)当两圆内切时5，解得m2510.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230，公共弦长为22.11已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)217或(x5)2(y7)215C(x5)2(y7)29D(x5)2(y7)225或(x5)2(y7)29答案D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则41，(x5)2(y7)225；若动圆与已知圆内切，则41，(x5)2(y7)29.12设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则

14、两圆心的距离|C1C2|等于()A4 B4 C8 D8答案C解析两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2，即a，b为方程(4x)2(1x)2x2的两个根，整理得x210x170，ab10，ab17.(ab)2(ab)24ab10041732，|C1C2|8.13如果圆(xa)2(y1)21上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是()A(2，0)(0,2) B(2，2)C(1,0)(0,1) D(1,1)答案A解析圆(xa)2(y1)21上总存在两个点到原点的距离为2，圆O：x2y24与圆C：(xa)2(y1)21相交|OC|，由21|OC|21，得13，0|a|2，2a0或0a0)，且圆Q与x轴相