高中数学全程学习方略配套课件：3322简单线性规划的应用(人教A版必修5)

1、【思考】【思考】【点拨】【点拨】 求最大值的实际应用问题求最大值的实际应用问题【名师指津】【名师指津】解答线性规划应用题的一般步骤解答线性规划应用题的一般步骤（1 1）审题）审题仔细阅读，对关键部分进行仔细阅读，对关键部分进行“精读精读”，准确理，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺关系，有时可借助表格来理顺. .（2 2）转化）转化设元设元. .写出约束条件和目标函数，从而将实际问写

2、出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题题转化为数学上的线性规划问题. .（3 3）求解）求解解这个纯数学的线性规划问题解这个纯数学的线性规划问题. .（4 4）作答）作答就应用题提出的问题作出回答就应用题提出的问题作出回答. .【特别提醒】【特别提醒】解线性规划应用题的关键是将实际问题转化为简解线性规划应用题的关键是将实际问题转化为简单的线性规划问题单的线性规划问题. .【例【例1 1】某公司计划】某公司计划20132013年在甲年在甲, ,乙两个电视台做总时间不超过乙两个电视台做总时间不超过300300分钟的广告分钟的广告, ,广告总费用不超过广告总费用不超过9 9万

3、元万元, ,甲甲, ,乙电视台的广告收乙电视台的广告收费标准分别为费标准分别为500500元元/ /分钟和分钟和200200元元/ /分钟分钟, ,已知甲已知甲, ,乙两个电视台为乙两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.30.3万元和万元和0.20.2万元万元. .问该公司如何分配在甲问该公司如何分配在甲, ,乙两个电视台的广告时间乙两个电视台的广告时间, ,才能才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元使公司的收益最大？最大收益是多少万元? ?【审题指导】【审题指导】解答本题的关键是设出分配给两个电视台的解答本题的关键是设出

4、分配给两个电视台的广告时间，根据时间和费用限制条件列出约束条件，建立广告时间，根据时间和费用限制条件列出约束条件，建立目标函数求解目标函数求解. .【规范解答】【规范解答】设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为别为x x分钟和分钟和y y分钟分钟, ,总收益为总收益为z z元元, ,由题意得由题意得 目标函数为目标函数为z=3 000 x+2 000y.z=3 000 x+2 000y.二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于xy300,500 x200y90 000,x0,y0,xy300,5x2y900,x0,y0.作出可行域作出可行域, ,如

5、图所示如图所示. .作直线作直线l:3 000 x+2 000y=0,:3 000 x+2 000y=0,即即3x+2y=0.3x+2y=0.平移直线平移直线l, ,从图中可知从图中可知, ,当直线当直线l过点过点M M时时, ,目标函数取得最大值目标函数取得最大值. .联立联立 解得解得点点M M的坐标为的坐标为(100,200).(100,200).zzmaxmax=3 000=3 000100+2 000100+2 000200=700 000(200=700 000(元元).).因此该公司在甲电视台做因此该公司在甲电视台做100100分钟广告分钟广告, ,在乙电视台做在乙电视台做200

6、200分分钟广告钟广告, ,公司的收益最大公司的收益最大, ,最大收益是最大收益是7070万元万元. .xy300,5x2y900,x100,y200.【变式训练】【变式训练】某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%100%和和50%50%，可能的最大亏损率分别为可能的最大亏损率分别为30%30%和和10%10%，投资人计划投资金额，投资人计划投资金额不超过不超过1010万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.81.8万元，万元，问投资人对

7、甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？的盈利最大？【解析】【解析】设投资人分别用设投资人分别用x x万元，万元，y y万元投资甲、乙两个项万元投资甲、乙两个项目，由题意知目，由题意知 目标函数目标函数z=x+0.5y.z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界），即可行域界），即可行域. .xy10,0.3x0.1y1.8,x0,y0.作直线作直线l0 0:x+0.5y=0.:x+0.5y=0.并作平行于并作平行于直线直线l0 0的一组直线的一组直线x+

8、0.5y=z,zRx+0.5y=z,zR，与可行域相交，从图中可知，直线与可行域相交，从图中可知，直线过点过点M M时，目标函数取最大值时，目标函数取最大值. .这里这里M M点是直线点是直线x+y=10 x+y=10和和0.3x+0.1y=1.80.3x+0.1y=1.8的交点的交点. .解方程组解方程组 得得x=4,y=6.x=4,y=6.此时此时z zmaxmax=1=14+0.54+0.56=76=7（万元）（万元）. .投资人用投资人用4 4万元投资甲项目，万元投资甲项目，6 6万元投资乙项目，才能在万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过确保亏损不超过1.81.8万元的前提下，使可能的

9、盈利最大万元的前提下，使可能的盈利最大. .xy100.3x0.1y1.8 求最小值的实际应用问题求最小值的实际应用问题【名师指津】【名师指津】解答线性规划应用题应注意的问题解答线性规划应用题应注意的问题（1 1）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因）在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；此认真审题非常重要；（2 2）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；）线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；（3 3）结合实际问题，分析未知数）结合实际问题，分析未知数x,yx,y等是否有限制，如等是否有限制，如x,yx,y为为正整数、非负数等；正整数、非负数

10、等；（4 4）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般）分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；是不等式，而线性目标函数却是一个等式；（5 5）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是）图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范范. .但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以需将几个有可能是最优点的坐标

11、都求出来，然后逐一检查，以确定最优解确定最优解. .【特别提醒】【特别提醒】解答实际应用题时一定不要忽视了解答实际应用题时一定不要忽视了x x，y y的实际意的实际意义，特别当义，特别当x,yNx,yN时时. .【例【例2 2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐. .甲种甲种原料每原料每10 g10 g含含5 5单位蛋白质和单位蛋白质和1010单位铁质，售价单位铁质，售价3 3元；乙种原料元；乙种原料每每10 g10 g含含7 7单位蛋白质和单位蛋白质和4 4单位铁质，售价单位铁质，售价2 2元元. .若病人每餐至少若病人每餐至少需要需要35

12、35单位蛋白质和单位蛋白质和4040单位铁质单位铁质. .试问：应如何使用甲、乙原料，试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？才能既满足营养，又使费用最省？【审题指导】【审题指导】审题时可将已知数据列成下表，题意就清楚了审题时可将已知数据列成下表，题意就清楚了. .【规范解答】【规范解答】设甲、乙两种原料分别用设甲、乙两种原料分别用10 x g10 x g和和10y g10y g，总，总费用为费用为z,z,那么那么目标函数为目标函数为z=3x+2y,z=3x+2y,作出可行域如图作出可行域如图. .5x7y35,10 x4y40,x0,y0,把把z=3x+2yz=3x+2y变

13、形为变形为y= y= 得到斜率为得到斜率为 在在y y轴上的截轴上的截距为距为 随随z z变化的一组平行直线变化的一组平行直线. .由图可知，当直线由图可知，当直线y= y= 经过可行域上的点经过可行域上的点A A时，截距时，截距 最小，即最小，即z z最小最小. .由由 得得A A（ 3 3），），zzminmin=3=3 +2 +23=14.4,3=14.4,当使用甲种原料当使用甲种原料 10=2810=28（g g），），乙种原料乙种原料3 310=3010=30（g g）时，费用最省）时，费用最省. .3zx22，32 ，z,23zx22z210 x4y405x7y35，145，145

14、145【变式训练】【变式训练】某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为4545个与个与5555个，所用原料为个，所用原料为A A，B B两种规格金属板，每张面积分别为两种规格金属板，每张面积分别为2 m2 m2 2与与3 m3 m2 2. .用用A A种规格金属板可造甲种产品种规格金属板可造甲种产品3 3个，乙种产品个，乙种产品5 5个；用个；用B B种种规格金属板可造甲、乙两种产品各规格金属板可造甲、乙两种产品各6 6个个. .问问A A，B B两种规格金属板各两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？取多少张，才能完成计划，并使总的用

15、料面积最省？【解析】【解析】设设A A，B B两种金属板分别取两种金属板分别取x x张，张，y y张，用料面积为张，用料面积为z z，则约束条件为，则约束条件为目标函数目标函数z=2x+3y.z=2x+3y.作出以上不等式组表示的可行域，如图所示作出以上不等式组表示的可行域，如图所示. .3x6y455x6y55x0,xNy0,yN作直线作直线l:2x+3y=0:2x+3y=0，把直线向右上方平移，把直线向右上方平移，当直线经过可行域上的点当直线经过可行域上的点M M时，时，此时此时z=2x+3yz=2x+3y取得最小值，取得最小值，由由 得得M M点坐标为（点坐标为（5 5，5 5）. .因

16、因M M为整点，为整点，故故z zminmin=2=25+35+35=25.5=25.答：两种金属板各取答：两种金属板各取5 5张时，用料面积最省张时，用料面积最省. .5x6y553x6y45 简单线性规划整数解问题简单线性规划整数解问题【名师指津】【名师指津】求线性规划问题的最优整数解的调整方法求线性规划问题的最优整数解的调整方法. .（1 1）局部微调法）局部微调法（2 2）小范围搜索法）小范围搜索法平移交点法平移换元法【例】热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都【例】热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款要为山区小学捐款. .今年打算用今年打算用2 00

17、02 000元购买单价为元购买单价为5050元的桌元的桌子和子和2020元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.51.5倍倍. .问桌子、椅子各问桌子、椅子各买多少才合适？买多少才合适？【审题指导】【审题指导】由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：投入总费用投入总费用2 0002 000元；元；桌子桌子5050元元/ /张，椅子张，椅子2020元元/ /把；把；桌子数桌子数椅子数椅子数桌子数的桌子数的1.51.5倍倍. .解答本题可转化为线性规划问题求解解答本题

18、可转化为线性规划问题求解. .【规范解答】【规范解答】设桌子、椅子分别买设桌子、椅子分别买x x张和张和y y把，把，则所买桌椅的总数为则所买桌椅的总数为z=x+y.z=x+y.依题意得不等式组依题意得不等式组 其中其中x,yNx,yN* *. .由由 解得解得由由xy,y1.5x,50 x20y2 000,yx,50 x20y2 000200 x,7200y.7x25,y1.5x,7550 x20y2 000,y.2解得设点设点A A的坐标为的坐标为( )( )，点，点B B的坐标为的坐标为(25, ),(25, ),则前面的不等式组所表示的平面区域是以则前面的不等式组所表示的平面区域是以A

19、( ), A( ), B(25, ),O(0,0)B(25, ),O(0,0)为顶点的为顶点的AOBAOB的边界及其内部（如图中阴的边界及其内部（如图中阴影所示）影所示）. .200 200,77752200 200,77752令令z=0,z=0,得得x+y=0,x+y=0,即即y=-x,y=-x,作直线作直线l0 0 :y=-x. :y=-x.由图形可知，把直线由图形可知，把直线l0 0平移至过点平移至过点B(25, )B(25, )时，亦即时，亦即x=25,x=25, y= y= 时，时，z z取最大值取最大值. .因为因为x,yNx,yN* *，所以，所以x=25,y=37x=25,y=

20、37时，时，z z取最大值取最大值. .故买桌子故买桌子2525张，椅子张，椅子3737把较为合适把较为合适. .752752【变式备选】【变式备选】某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过金工和装配两个车间加工，有关数据如表所示：装配两个车间加工，有关数据如表所示：试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获利最大？试问加工这两种产品各多少件，才能使工厂获利最大？【解析】【解析】设加工甲、乙两种产品分别为设加工甲、乙两种产品分别为x x件、件、y y件，工厂获利件，工厂获利为为z z元，则元，则z=300 x+520yz=300 x+520y，由题意得，由题意得

21、作出可行域如图所示作出可行域如图所示. .4x3y480,2x5y500,x0,xN,y0,yN.考虑考虑z=300 x+520yz=300 x+520y，将它变形为，将它变形为y= y= 这是斜率为这是斜率为 且随且随z z变化的一组平行直线变化的一组平行直线. . 是直线在是直线在y y轴上的截轴上的截距，当直线截距最大时，距，当直线截距最大时，z z的值最大的值最大. .由图可知，当直线由图可知，当直线z=300 x+520yz=300 x+520y经过可行域上的点经过可行域上的点M M时，截距最大，即时，截距最大，即z z最大最大. .由由 得得M M的坐标为（的坐标为（ ），不满足）

22、，不满足xN,yN.xN,yN.平移直线并验证知点（平移直线并验证知点（6464，7474）是最优可行解）是最优可行解. .故加工甲产品故加工甲产品6464件，乙产品件，乙产品7474件，才能使工厂获利最大件，才能使工厂获利最大. .151xz,2652015261z5204x3y4802x5y50022647477，【典例】（【典例】（1212分）有一批钢管，长度都是分）有一批钢管，长度都是4 000 mm,4 000 mm,要截成要截成长为长为500 mm500 mm和和600 mm600 mm的两种钢管，且这两种钢管的数量之的两种钢管，且这两种钢管的数量之比按大于比按大于 配套，怎样截合

23、理？配套，怎样截合理？【审题指导】【审题指导】根据题意可以列出约束条件和目标函数，但解根据题意可以列出约束条件和目标函数，但解题时要注意最优解有时不止一个题时要注意最优解有时不止一个. .13【规范解答】【规范解答】设每根截设每根截500 mm500 mm的的x x根和根和600 mm600 mm的的y y根，则根，则 2 2分分500 x600y4 0005x6y40 x1y3xy3x0 x0y0y0 x,yN*x,yN*，即作出可行域如图所示作出可行域如图所示. . 4 4分分目标函数为目标函数为z=x+y,z=x+y,作一组平行直线作一组平行直线x+y=t,x+y=t,经过可行域中的点且

24、经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过和原点距离最远的直线为过B B（8 8，0 0）点的直线，）点的直线，6 6分分这时这时x+y=8,x+y=8,由由x,yNx,yN* *知（知（8 8，0 0）不是最优解，）不是最优解，8 8分分因此，在可行域内找整点，得到点（因此，在可行域内找整点，得到点（2 2，5 5），（），（3 3，4 4），），（4 4，3 3），（），（5 5，2 2），（），（6 6，1 1）均为最优解，）均为最优解， 此时此时x+y=7. x+y=7. 1010分分按照每根钢管来截，按照每根钢管来截，截截500 mm500 mm的的2 2根、根、600 mm600

25、mm的的5 5根根或截或截500 mm500 mm的的3 3根、根、600 mm600 mm的的4 4根根或截或截500 mm500 mm的的4 4根、根、600 mm600 mm的的3 3根根或截或截500 mm500 mm的的5 5根、根、600 mm600 mm的的2 2根根或截或截500 mm500 mm的的6 6根、根、600 mm600 mm的的1 1根根. . 1212分分【误区警示】【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】【即时训练】两类药片有效成分如表：两类药片有效成分如表：若要求至少提供若要求至少提供12 mg12 m

26、g阿司匹林、阿司匹林、70 mg70 mg小苏打、小苏打、28 mg28 mg可卡可卡因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？【解析】【解析】设需用设需用A A和和B B两种药品分别为两种药品分别为x x片和片和y y片，药品总数片，药品总数为为z z片，价格为片，价格为L L元元. .由题意，得约束条件由题意，得约束条件线性目标函数为：药品总数线性目标函数为：药品总数z=x+y.z=x+y.2xy12,5x7y70,x6y28,x0,y0,x,yN*.价格价格L=0.1x+0.2y.L=0.1x+0.2y.由不等式组作可行域如图所示由不

27、等式组作可行域如图所示. .作直线作直线l0 0:x+y=0,:x+y=0,平移直线平移直线l0 0到到l位置，位置，l经过点经过点A A时时z z有最小值有最小值. .由由 解得点解得点A A坐标为（坐标为（ ）. .而点而点A A不是整数点，故不能作为最优解不是整数点，故不能作为最优解. .此时，过点此时，过点A A的直线为的直线为lA A:x+y= :x+y= 可行域内与直线可行域内与直线lA A距离最距离最近的整点有（近的整点有（1 1，1010），（），（2 2，9 9），（），（3 3，8 8），使），使z zminmin=11=11，即药品总数为即药品总数为1111片，而相应价格

28、为片，而相应价格为L L1 1=0.1=0.11+0.21+0.210=2.1,L10=2.1,L2 2=0.1=0.12+0.22+0.29=2.0,9=2.0,L L3 3=0.1=0.13+0.23+0.28=1.9,8=1.9,其中的其中的L L3 3最小，所以最小，所以L Lminmin=1.9=1.9元元. .所以药品最小总数为所以药品最小总数为1111片，其中片，其中3 3片片A A种药、种药、8 8片片B B种药搭配种药搭配的价格最低的价格最低. .2xy 1205x7y70014 8099，949，1.1.车间有男工车间有男工2525人，女工人，女工2020人，要组织甲、乙两

29、种工作小人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有组，甲组有5 5名男工，名男工，3 3名女工，乙组有名女工，乙组有4 4名男工，名男工，5 5名女工，名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1 1，则各自，则各自最多组成的工作小组数为（最多组成的工作小组数为（ ）(A)(A)甲甲4 4组，乙组，乙2 2组组 (B)(B)甲甲2 2组，乙组，乙4 4组组(C)(C)甲、乙各甲、乙各3 3组组 (D)(D)甲甲3 3组，乙组，乙2 2组组【解析】【解析】选选D.D.解答选择题可用排除法解答选择题可用排除法. .设甲种组数为设甲种组数为x,x,乙种组数

30、为乙种组数为y y，则，则将选项将选项A A，B B，C C，D D代入检验可得答案为代入检验可得答案为D.D.5x4y253x5y20yxy1x,yN*2.2.实验室需购某种化工原料实验室需购某种化工原料106106千克，现在市场上该原料有千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋两种包装，一种是每袋3535千克，价格为千克，价格为140140元；另一种是每元；另一种是每袋袋2424千克，价格为千克，价格为120120元，在满足需要的条件下，最少要花元，在满足需要的条件下，最少要花费（费（ ）(A)400(A)400元元 (B)500(B)500元元 (C)600(C)600元元 (D)8

31、00(D)800元元【解析】【解析】选选B.B.设需要每袋设需要每袋3535千克的原料为千克的原料为x x袋，每袋袋，每袋2424千克千克的原料为的原料为y y袋，由题意得袋，由题意得 求求z=140 x+120yz=140 x+120y的最的最小值小值, ,把实际问题转化为数学问题，在可行域内求出把实际问题转化为数学问题，在可行域内求出z zminmin=500=500，即当，即当x=1,y=3x=1,y=3时，花费最少时，花费最少. .故选故选B.B.35x24y106x0,xN,y0,yN3.3.某厂生产甲产品每千克需用原料某厂生产甲产品每千克需用原料A A和原料和原料B B分别为分别为

32、a a1 1 kg kg，b b1 1 kg, kg,生产乙产品每千克需用原料生产乙产品每千克需用原料A A和原料和原料B B分别为分别为a a2 2 kg, kg,b b2 2 kg kg，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d d1 1元，元，d d2 2元，元，月初一次性购进原料月初一次性购进原料A A，B B各各c c1 1 kg,c kg,c2 2 kg kg，本月要生产甲产，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为个问题中，设全月生产甲

33、、乙两种产品分别为x kg,y kg,x kg,y kg,月利润总额为月利润总额为z z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（中，约束条件为（ ）(A) (B) (A) (B) (C) (C) (D)(D)111222a xb yca xb ycx0y0111222a xb yca xb ycx0y0121122a xa ycb xb ycx0y0121122a xa ycb xb ycx0y0【解析】【解析】选选C.C.由题设条件列表如下，约束条件应为由题设条件列表如下，约束条件应为C.C.4.4.某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投

34、资是由每份金某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资融投资2020万元，房地产投资万元，房地产投资3030万元组成；进取型组合投资是由万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资每份金融投资4040万元，房地产投资万元，房地产投资3030万元组成万元组成. .已知每份稳健型已知每份稳健型组合投资每年可获利组合投资每年可获利1010万元，每份进取型组合投资每年可获利万元，每份进取型组合投资每年可获利1515万元万元. .若可作投资用的资金中，金融投资不超过若可作投资用的资金中，金融投资不超过160160万元，房万元，房地产投资不超过地产投资不超过180180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入取型组合投资应分别注入_份、份、_份份. .【解析】【解析】设稳健型组合投资注入设稳健型组合投资注入x x份，进取型组合投资注入份，进取型组合投资注入y y份，则获利总额为份，则获利总额为z=10 x+15y,z=10 x+15y,依题意依题意 作出可行域，如