基本不等式与最大值最小值课时PPT学习教案

1、会计学1基本不等式与最大值最小值课时基本不等式与最大值最小值课时对于任意实数对于任意实数x, ,y,(,(x- -y) )2 200总是成立的总是成立的, ,即即x2 2 -2xy+y2 2 00所以所以 , ,当且仅当当且仅当x=y 时等号成立时等号成立 2 22 2x x+ + y y x x y y2 2如果如果a, ,b都是正数，那么都是正数，那么 , ,当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立.a+ba+b abab2 2,xa yb设设 则由这个不等式可得出以则由这个不等式可得出以下结论下结论:一一.基本不等式基本不等式第1页/共30页注意：1这个定理适用的范围：aR 2语言表

2、述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。上述不等式称为基本不等式,其中 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.2abab第2页/共30页以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DEAB,则 从而,abCBCACD2abCD 而半径2abAOCDab当且仅当C与O重合,即a=b时等号成立ADBEOCab第3页/共30页其中正确的推导为()A BC D例例1第4页/共30页例例2 已知x、y都是正数，求证：(1)yxxy(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.2；第5页/共30页1不等式不等式m212m中等号成立的条件是中等号成立的条件是()Am1 Bm1Cm

3、1 Dm02已知已知a，bR，且，且ab2，则，则()Aab4 Bab4Cab1 Dab1练习练习第6页/共30页第7页/共30页第8页/共30页 已知两个正数已知两个正数x，y，求，求x+y与积与积xy的的最值最值. 2p214s(1)xy为定值为定值p，那么当，那么当xy时，时，x+y有最小值有最小值 _ ； (2)x+y为定值为定值s，那么当，那么当xy时，时， 积积xy有最大值有最大值 _ . 积定和小积定和小和定积大和定积大二二.基本不等式的最大值与最小值基本不等式的最大值与最小值第9页/共30页xxxy0sin4sin103loglog3xxyx4yxx2x-xyee例例3.下列函

4、数中，最小值为下列函数中，最小值为2的有的有那些那些? (1) (2)(3)(4) (5) (6)224yxxtan240yxxtanx第10页/共30页变式变式. 已知已知 证明：证明： 例例4. 设设x, y为正实数，且为正实数，且2x+5y=20，求，求 的最大值的最大值.912P（课本例 ）lglguxy91P（课本例3）1 1y = x+ (xy = x+ (x0),0),x x|y|y| 2.2.想一想想一想:错在哪里？错在哪里？例例5.已知函数已知函数 ，求函数的最，求函数的最小值和此时小值和此时x的取值的取值1( )(0)f xxxx111:( )2212.f xxxxxxxx

5、 解当且仅当即时函数取到最小值运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件第11页/共30页1已知函数，求函已知函数，求函数的最小值数的最小值)2(23)(xxxxf233( )2322236xf xxxxxxxx解：当且仅当即时，函数的最小值是 。大大家家把x = 2+3代把x = 2+3代入入看看一一看看，会，会有什有什么么发现？用什用什么么方方法求法求该函函数数的最的最小小值？用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这个条件这个条件练习练习第12页/共30页的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小

6、值为解：4, 4sin4sin2sin4siny 用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值，那则不能取到该最值，那么用什么方法求最小值么用什么方法求最小值第13页/共30页正：正：两项必须都是正数；两项必须都是正数； 定：定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。求两项积的最大值，它们的和应为定值。等等 ： 等号成立的条件必须存在等号成立的条件必须存在. 注意注意:在使用在使用“和为常数，积有最大值和为常数，积有最大值”和

7、和“积为常数，和有最小值积为常数，和有最小值”这两个结论时，应这两个结论时，应把握三点：把握三点：“一正、二定、三相等一正、二定、三相等、四最值四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件当条件不完全具备时，应创造条件. 第14页/共30页211abab注：变换形式再证第15页/共30页以a+b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DDAB,过C作CEOD于E,则在RtOCD中,由射影定理可知, 即 A BDD Cab2DCDE OD22112DCabDEabODab由DCDE,得当且仅当C与O重合,即a=b时,等号成立OE211abab第16页/共30页例例5 5：设a,b均为正数,证明不等

8、式: 2222abab对这一不等式的几何解释:课本p89思考交流注：注：1.采用放缩法证明，证明思想很重要。采用放缩法证明，证明思想很重要。 2.在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足在放缩时不能过度放缩，也不能放缩不足第17页/共30页2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222abab2ababab三三.基本不等式链基本不等式链调和平均调和平均数数几何平均几何平均数数算术平均算术平均数数 加权平均加权平均数或平数或平方平均方平均数数第18页/共30页(1)已知已知:x0,y0.且且2x+5y=20,求求

9、xy的最大值的最大值.方法方法1:基本不等式法基本不等式法2252510.1040 xyxyxy20252 2 5 ,10.xyx yxy方法方法2:减元构造函数减元构造函数构造法构造法下面请大家来研究下列几个问题下面请大家来研究下列几个问题:第19页/共30页 (3)y=2x ,(0 x1), 求求y的最大值的最大值22b21b21 x(4)已知已知a、b是正数是正数 ，且，且a2+ =1，求求a 的最大值的最大值.(2)已知已知a、b是实数，且是实数，且a+b=4, 求求2a+2b的最小值的最小值当且仅当当且仅当a=b=2时时,2a+2b取得最小值取得最小值8.22222222111222

10、13222224babababa2222212212122xxyxxx当且仅当第20页/共30页1 1变形变形: :函数函数 的最小值的最小值 是是2614(1)1xxyxx 10(4) 已知，则函数已知，则函数 的最大值是的最大值是54x 14245yxx 第21页/共30页22122xxyxx练习练习:求函数求函数 的最大值；的最大值；第22页/共30页+ +例例 6 6、 已已 知知 a a、 b b R R ， 且且 a a + + 2 2b b = = 1 1，1 11 1求求+ +的的 最最 小小 值 . .a ab b+ +练习：已：已知x、y知x、yR R ，且，且lgx+lgy =1lgx+lgy =1，2525求求+ +的最的最小小值. .xyxy用代换法构造基本不等式用代换法构造基本不等式第23页/共30页+ +例例7 7、已、已知a、b知a、bR R ，且，且a+b+3 = aba+b+3 = ab，求求abab的最的最小小值. .2,23abababab.解不等式可得。231330,0.1.1