D幂级数汉魅HanMei课程讲义PPT学习教案

1、会计学1D幂级数汉魅幂级数汉魅HanMei课程讲义课程讲义, )(xS为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共28页它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如, 级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散 ;所以级数的收敛域仅为. 1x

2、,)1,1(时当x有和函数 ,1时收敛当x,10时但当 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共28页ox发 散发 散收 敛收敛 发散若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx

3、 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式证证: 设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛,则必有),2, 1(0nMxann于是存在常数 M 0, 使阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共28页当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 ,则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,nnnnnnx

4、xxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共28页幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散;在(R , R ) 称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共28页xaa

5、xaxannnnnnnn111limlim0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,.0R对任意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明: :据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页对端

6、点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为 limn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、 第10页/共28页nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即)1(2nxnx2故直接由机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共28页12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2l

8、im12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共28页定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共28页两个幂级数

9、相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同: 注注: 逐项积分时,

10、 运算前后端点处的敛散性不变.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数 .因此得设机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,机动 目录 上页

11、 下页 返回 结束 第17页/共28页01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页.2) 1(122的和求数

12、项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对

13、非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 .故收敛半径为.0 xR 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页2. 在幂级数n

14、nnnx02) 1(2中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数,23n 为偶数能否确定它的收敛半径不存在 ?因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当2x时级数收敛 ,2x时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页P215 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P257 7 (1), (4) 8 (1), (3) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了