《数字滤波器》 (2)ppt课件

1、第第 3 章章 数字滤波器数字滤波器3.1 数字滤波器概述数字滤波器概述3.2 数字滤波器分析数字滤波器分析3.3 数字滤波器设计数字滤波器设计3.1 数字滤波器概述数字滤波器概述 数字滤波器是数字信号处置的重要根底，在对信数字滤波器是数字信号处置的重要根底，在对信号过滤、检测、参数估计等处置中，有着广泛的运用。号过滤、检测、参数估计等处置中，有着广泛的运用。 数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时数字滤波器是一个用有限精度算法实现的线性时不变离散系统，它本质就是一个运算过程，可以实现不变离散系统，它本质就是一个运算过程，可以实现各种变换和处置。它将输入的数字信号各种变换和处置。它将输入的

2、数字信号 (序列序列) 经过特经过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线定的运算转变为输出的数字序列，因此，任何一个线性时不变系统都可以看作是数字滤波器。性时不变系统都可以看作是数字滤波器。 传统数字滤波器传统数字滤波器 运用：对模拟滤波器的功能进展模拟。运用：对模拟滤波器的功能进展模拟。 功能：频率选择。功能：频率选择。 可用频域特性表示：可用频域特性表示： Y(ej)=H(ej)X(ej) 只需按照输入信号频谱的特点和处置信号的目的，只需按照输入信号频谱的特点和处置信号的目的，适中选择适中选择 H(ej)，使滤波后的结果，使滤波后的结果 H(ej)X(ej)符合符合人们的要求，即

3、到达了滤波的目的。这就是传统数字人们的要求，即到达了滤波的目的。这就是传统数字滤波器的根本滤波原理，又称传统滤波思想。滤波器的根本滤波原理，又称传统滤波思想。H ( e j)X(ej)Y(ej) 现代数字滤波器现代数字滤波器 数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使数字滤波器越来越多地在计算机上实现，促使数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器数字滤波算法不断推新利用计算机实现数字滤波器时，既可以在频域中进展时，既可以在频域中进展 (如频率选择如频率选择) ，也可以在，也可以在时域中进展。这使得许多非频域滤波算法产生，将时域中进展。这使得许多非频域滤波算法产生，将滤波的概念从狭义的频率选择

4、与处置功能扩展为任滤波的概念从狭义的频率选择与处置功能扩展为任何可实现的变换与处置，也因此产生了现代数字滤何可实现的变换与处置，也因此产生了现代数字滤波器。波器。3.1.1 数字滤波器分类数字滤波器分类 1. 按频率呼应幅度特性分类按频率呼应幅度特性分类 按传统的滤波概念，数字滤波器也像按传统的滤波概念，数字滤波器也像模拟滤波器一样，根据其频率呼应振幅的模拟滤波器一样，根据其频率呼应振幅的通带特性，分为低通、高通、带通、带阻通带特性，分为低通、高通、带通、带阻4种类型。种类型。()()()jjjH eH ee图图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性理想低通、高通、带通、带阻滤

5、波器幅度特性)(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通0高通0带通0带阻22222222 显然，数字滤波器的频带限于显然，数字滤波器的频带限于|即即|f|1/(2T)的范围，幅频特性从通带到止带的范围，幅频特性从通带到止带(阻带阻带)的交界点是其重要的交界点是其重要参数。参数。 由于各种要素及误差的存在，实践的滤波器特性不由于各种要素及误差的存在，实践的滤波器特性不能够到达理想化的要求，具有误差容限。能够到达理想化的要求，具有误差容限。 通带：通带： 0p 阻带：阻带： s 过渡带：过渡带： p极点数目时，递推极点数目时，递推公式中必然出现输入的超前时辰值，从而导致实时不公式中必然出现输入

6、的超前时辰值，从而导致实时不可实现性。可实现性。(3) h(n)的求解可利用的求解可利用4种方法实现：种方法实现： a. 对对H(z)求求Z反变换得反变换得h(n)； b. 将将H(z)展开成展开成z-1多项式，利用多项式，利用Z变换定义，变换定义，(z-1)i项项系数即为系数即为h(i)； c. 利用冲激呼应利用冲激呼应h(n)的概念，即令的概念，即令x(n)=(n)，利用递，利用递推公式求出推公式求出y(n)，那么，那么h(n)=y(n)； d. 递推公式与卷积递推公式与卷积y(n)=h(n)*x(n)均是对滤波器输入均是对滤波器输入输出关系的描画，用非递归递推公式与卷积表示式做输出关系的

7、描画，用非递归递推公式与卷积表示式做比较确定出比较确定出h(n)。 假设求解出假设求解出h(n)，滤波器的输出就可以用卷积实现，滤波器的输出就可以用卷积实现(用用FFT实现快速卷积实现快速卷积)，这是滤波器实现的一种途径。，这是滤波器实现的一种途径。 y(n)=x(n+1)+x(n)=h(n)*x(n)=h(-1)x(n+1)+h(0)x(n) 由于由于h(n)中含有中含有n0的序列值，所以该系统的序列值，所以该系统(滤波器滤波器)是是非因果的，同样也阐明其具有不可实现性。非因果的，同样也阐明其具有不可实现性。 添加添加(零点数零点数-极点数极点数)个原点上的极点，可将系统个原点上的极点，可将

8、系统的不可实现转化为可实现，且坚持系统的幅频特性不的不可实现转化为可实现，且坚持系统的幅频特性不变，即变，即 其它， 00 -1n 1)(nh) 1()()(11)(1nxnxnyzzzzH(4) 软件可按递推公式实现，硬件可按构造图实现。软件可按递推公式实现，硬件可按构造图实现。Z-1y(n)x(n-1)x(n)x(n)x(n-1)y(n)z-1例例2：将例：将例1系统函数改为系统函数改为解：解：(1)该滤波器为高通滤波器。该滤波器为高通滤波器。有有z=1处的零点，使高通性能得到改善处的零点，使高通性能得到改善(利用零、极点作用利用零、极点作用)。zzzH1)(略小于略小于1)图图2(a)

9、Z平面零、极点构造图平面零、极点构造图2)(jeH2/(1-)图图2(b) 幅频特性曲线幅频特性曲线(2) 为递归滤波器。递归实现有累计误差。为递归滤波器。递归实现有累计误差。(3) 将将H(z)展开为展开为z-1多项式，即多项式，即 为为IIR滤波器。滤波器。) 1()() 1()(1)()()(nxnxnynyzzzXzYzH0 01 )1 () 1(0 1)( )1 ()1 ()1 (1 )(1( 1) 1()nnnhzzzzzzzzzzzHnn 也可将该递归滤波器转化为非递归方式，即也可将该递归滤波器转化为非递归方式，即 用非递归构造实现该滤波器时，必然出现截

10、断误差，用非递归构造实现该滤波器时，必然出现截断误差，且所需求的存储量与计算量远大于递归型滤波器。且所需求的存储量与计算量远大于递归型滤波器。 用用Z平面中非原点上的极点等效非递归构造中的诸多平面中非原点上的极点等效非递归构造中的诸多零点，使非递归滤波器可以转化为递归方式。零点，使非递归滤波器可以转化为递归方式。(4) 3()1 ()2()1 () 1()1 ()()(2nxnxnxnxny11111)(zzzzzHZ-1y(n)x(n-1)x(n)Z-1-1-x(n)y(n)z-1-1-例例3：写出有：写出有10个等冲激呼应系数的滑动平均滤波器的非递个等冲激呼应系数的滑动平均滤波器的非递归与

11、递归递推公式，并且归与递归递推公式，并且(1)画出它的阶跃呼应，确定滤波器输出的过渡过程时间画出它的阶跃呼应，确定滤波器输出的过渡过程时间(启启动瞬变宽度动瞬变宽度)；(2)画出它在画出它在 0f0)，那么阶跃呼，那么阶跃呼应为应为1)10()11(1)0()10(101)9()10(1) 1()9(101)8()9(103)8()2(101) 1 ()2(102)9() 1 (101)0() 1 (101)10()0(101) 1()0(yyxxyyxxyyxxyyxxyyxxyyx(n)n11 2 3 4y(n)n1/101 2 91(2) 平滑滤波器本质为低通滤波器，属于平滑滤波器本质为

12、低通滤波器，属于FIR，可以用递，可以用递归型构造实现，也可以用非递归滤波器实现。归型构造实现，也可以用非递归滤波器实现。 (a) 零、 极点分布图 (b) 幅频特性曲线ImzRez(a)0H(e j)050.30.4(b)2 /10 /2例例4：系统函数为：系统函数为 式中式中r=0.990，0=100(弧度弧度/s)，T是采样间隔。是采样间隔。 对频率分布于对频率分布于 -400400 (弧度弧度/s)范围内的信号以范围内的信号以500(样本样本/秒秒)采样后，用该滤波器对信号进展滤波，试求：采样后，用该滤波器对信号进展滤波，试求：(1)零、极点构造图及零、极点构造图

13、及0/T范围内的幅频特性曲线；范围内的幅频特性曲线；(2)滤波器作用；滤波器作用；(3)包含一个复共轭极点对有什么益处？包含一个复共轭极点对有什么益处？(4) 递推公式。递推公式。)()()(0000TjTjTjTjrezrezezezzHImzRez(a) /5解：解：(1) T=1/500(s)=2ms 0T=100/500=/5(弧度弧度) ()=0(2)该滤波器称为陷波器，它可以对某个特定频率分量进展该滤波器称为陷波器，它可以对某个特定频率分量进展滤除。本系统滤除的频率分量为滤除。本系统滤除的频率分量为50Hz为电源干扰为电源干扰(工频干扰工频干扰)，所以该滤波器可以滤除电源，所以该滤

14、波器可以滤除电源干扰。干扰。(3)极点作用：改善性能。极点作用：改善性能。(4)为递归构造。为递归构造。)(502100200Hzf) 2() 1()(cos2)() 2() 1()(cos2)()(cos21)(cos2)(02020202nxnxTnxnyrnyTrnyrzTrzzTzzH100/T)(TjeH无极点情况无极点情况3.3 数字滤波器设计数字滤波器设计 传统数字滤波器的设计根据是频率呼应。从频率域传统数字滤波器的设计根据是频率呼应。从频率域设计一个数字滤波器的普通方法是：设计一个数字滤波器的普通方法是： (1) 在在Z平面内根据滤波器性能目的适当地选择一平面内根据滤波器性能目

15、的适当地选择一组零、极点，构成组零、极点，构成H(z)； (2) 根据根据H(z)确定其频率呼应特性确定其频率呼应特性H(ej)，分析，分析H(ej)与设计目的与设计目的Hd(ej)的逼近程度；的逼近程度； (3) 假设假设H(ej)与与Hd(ej)的误差在容限范围内，的误差在容限范围内，那么那么H(z)即为所设计系统，否那么调整零、极点数目即为所设计系统，否那么调整零、极点数目及位置，反复上述操作。及位置，反复上述操作。 显然，在此设计中有效地选择一组零、极点非常显然，在此设计中有效地选择一组零、极点非常重要，它可以使我们尽快获得所需滤波器。但这项任重要，它可以使我们尽快获得所需滤波器。但这

16、项任务的完成却较为困难，它需求许多先验知识或阅历，务的完成却较为困难，它需求许多先验知识或阅历，才干使我们做到有的放矢。才干使我们做到有的放矢。 为了有效地设计滤波器，已研讨出针对为了有效地设计滤波器，已研讨出针对IIR或或FIR滤波器的设计方法。滤波器的设计方法。3.3.1 IIR 滤波器设计滤波器设计3.3.2 FIR 滤波器设计滤波器设计3.3.3 最正确滤波器设计最正确滤波器设计3.3.1 IIR 滤波器设计滤波器设计 设计设计IIR滤波器最常用的方法是将满足设计目的要求滤波器最常用的方法是将满足设计目的要求的模拟滤波器数字化。这样做有以下缘由：的模拟滤波器数字化。这样做有以下缘由：

17、(1) 模拟滤波器设计技巧成熟，有用的成果多，有些模拟滤波器设计技巧成熟，有用的成果多，有些方法有较简单的现成设计公式，因此，容易利用模拟滤方法有较简单的现成设计公式，因此，容易利用模拟滤波器研讨出数字滤波器的设计方法，且容易获得简单的波器研讨出数字滤波器的设计方法，且容易获得简单的实现方法；实现方法； (2) 许多运用需求用数字滤波器模拟一个模拟滤波器。许多运用需求用数字滤波器模拟一个模拟滤波器。 一些经典的模拟滤波器有：巴特沃斯一些经典的模拟滤波器有：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、贝塞尔滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器、切比雪夫滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤滤波器

18、、考尔波器、考尔(Cauer)滤波器、椭圆滤波器、椭圆(Elliptic)滤波器等。滤波器等。 在模拟滤波器数字化过程中，从延续空间在模拟滤波器数字化过程中，从延续空间S平面映射平面映射到离散空间到离散空间Z平面，应满足平面，应满足2个性质：个性质： (1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的，即左半因果稳定的，即左半S平面的点平面的点(Res0)应映射到应映射到Z平面平面单位圆内单位圆内(|z|1)。假设所设计滤波器要求。假设所设计滤波器要求是最小相位的，那么对于单位圆外的零点可以采用同是最小相位的，那么对于单位圆外的零点可以采用同样

19、的方法重新确定零点位置。样的方法重新确定零点位置。 用新确定的零、极点再按上述方法重新设计，最用新确定的零、极点再按上述方法重新设计，最终找出逼近设计目的的终找出逼近设计目的的H(z)。 图图 6.6.2 例例 6.6.2 图图(a)要求的幅度特性要求的幅度特性 (b) k=1,2时的幅度特性时的幅度特性例例6.6.2 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图设计低通数字滤波器，其幅度特性如图6.6.2(a) 所所示，截止频率示，截止频率s=0.1rad。假设运用的误差函数为假设运用的误差函数为(6.6.12)那么称为最小那么称为最小p误差准那么。使误差准那么。使Ep最小，即可获得所需最小，即可获得

20、所需H(z)。 3. 幅值平方函数设计法幅值平方函数设计法 数字滤波器幅值平方函数表示为数字滤波器幅值平方函数表示为假设假设H(z)H(z-1)可以因式分解确定出零、极点，那么可以因式分解确定出零、极点，那么Z平平面单位圆内的极点及对称零点的一半即构成了面单位圆内的极点及对称零点的一半即构成了H(z)。 由于因式分解并非总是可行，因此这种方法遭到很大由于因式分解并非总是可行，因此这种方法遭到很大限制。限制。1()()()iiiNpjjjPdiEW eH eHe|)pjezjzHzHeH)()()(123.3.2 FIR 滤波器设计滤波器设计 IIR数字滤波器设计方法可以较好地保管模拟滤数字滤波

21、器设计方法可以较好地保管模拟滤波器的优良特性，因此得到广泛运用。但这一特性波器的优良特性，因此得到广泛运用。但这一特性的获得是以相位的非线性为代价的。的获得是以相位的非线性为代价的。 在许多运用中，如数据传输等波形传送系统中在许多运用中，如数据传输等波形传送系统中所需的滤波器，既要求有称心的幅频特性，又要具所需的滤波器，既要求有称心的幅频特性，又要具有线性相位特性。有线性相位特性。FIR即具有此独特的优点，它在设即具有此独特的优点，它在设计出恣意幅频特性的同时，可以保证准确、严厉的计出恣意幅频特性的同时，可以保证准确、严厉的线性相位特性。线性相位特性。 FIR数字滤波器的线性相位

22、特性数字滤波器的线性相位特性 窗函数法窗函数法 频率采样法频率采样法 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 FIR数字滤波器的线性相位特性数字滤波器的线性相位特性 1. 线性相位条件线性相位条件 FIR数字滤波器的单位冲激呼应数字滤波器的单位冲激呼应h(n)为实序列且有为实序列且有限长限长(0nN-1) ，其频率呼应为，其频率呼应为(7.1.1) (7.1.2) 10()()( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe 假设假设h(n)满足偶对称条件，即满足偶对称条件，即 h(n) = h(N-n-1) 0nN

23、-1 (7.1.5) 那么它具有严厉线性相位特性那么它具有严厉线性相位特性(称为第一类线性相位滤称为第一类线性相位滤波器波器)，其相位特性为，其相位特性为 () = -, 为常数为常数 (7.1.3) = (N-1)/2 此时有此时有p=q=常数，其中常数，其中 相延迟相延迟 群延迟群延迟 群延迟是滤波器平均时延的度量，为频率函数。群延迟是滤波器平均时延的度量，为频率函数。ddqp)()( 假设假设h(n)满足奇对称条件，即满足奇对称条件，即 h(n) = -h(N-n-1) (7.1.6) 那么它具有线性相位特性那么它具有线性相位特性(称为第二类线性相位滤波器称为第二类线性相位滤波器)，其相

24、位特性为其相位特性为 () =0 -, 0是初始相位是初始相位 (7.1.4) 0 = /2 = (N-1)/2 此时相位为分段线性函数，滤波器具有恒定群延迟。此时相位为分段线性函数，滤波器具有恒定群延迟。阐明信号经过该滤波器不仅有阐明信号经过该滤波器不仅有(N-1)/2个采样周期的群个采样周期的群延迟，而且有延迟，而且有/2的相移。的相移。证明：证明：(1) 第一类线性相位条件第一类线性相位条件1010( )( )( )(1)NnnNnnH zh n zH zh Nnz将将(7.1.5)式代入上式得式代入上式得令令m=N-n-1，那么有，那么有11(1)(1)00(1)1( )( )( )(

25、 )()NNN mNmmmNH zh m zzh m zH zzH z(7.1.7) 按照上式可以将按照上式可以将H(z)表示为表示为1(1)1(1)01111()222011( )( )()( )221( ) 2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz 将将z=e j代入上式，得到：代入上式，得到： 11()20101()( )cos() 21( )( )cos() 21( )(1)2NNjjnNgnNH eeh nnNHh nnN 按照按照(7.1.2)式，幅度函数式，幅度函数Hg()和相位函数分别为和相位函数分别为(7.1.8) (7.1.9) (2) 第

26、二类线性相位条件第二类线性相位条件110011(1)(1)00(1)1( )( )(1)( )( )( )( )()NNnnnnNNN mNmnnNH zh n zh NnzH zh m zzh m zH zzH z (7.1.10) 令令m=N-n-1,那么那么有有 同样可以表示为同样可以表示为1(1)1(1)01111222011( )( )()( )221( )2NNnNnnNNNNnnnH zH zzH zh n zzzzh nzz n - 1120112201()( )( )sin ()21( )sin ()2jNNjjz enNNjjnNH eH zjeh nnNeh nn 因此，

27、幅度函数和相位函数分别为因此，幅度函数和相位函数分别为101()( )sin()21()()22NgnNHh nnNQ (7.1.11) (7.1.12) 2. 线性相位线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特点的特点 1) h(n) = h(N-n-1)，N=奇数奇数 101( )( )cos() 2NgnNHh nnHg()以以(N-1)/2为中心，且偶对称，故幅度函数表示为为中心，且偶对称，故幅度函数表示为令令m=(N-1)/2-n,那么有那么有(7.1.13) 1(0)()211( )2 (),1,2,3,22NahNNa nhn n(7.1.14) 式中式中 由于由于(

28、7.1.13)式中式中cos(n)项对项对=0,2皆为偶对称，因此皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对幅度特性的特点是对=0,2偶对称。偶对称。(3)/20(1)/20(1)/2011( )()2 ( )cos() 2211( )()2 ()cos22( )( )cosNgnNgnNgnNNHhh nnNNHhhmnHa nnmm=12) h(n) = h(N-n-1),N=偶数偶数 Hg()中相等的项合并成中相等的项合并成N/2项，即项，即 101201()( )cos()212 ( )cos()2NgnNnNHh nnNh nn令令m=N/2-n,那么有那么有(7.1.15) (7.1.16

29、)/ 21/ 211()2 ()cos()221()( )cos()2( )2 (),1,2,)22NgmNgnNHhmmHb nnNNb nhnn 幅度特性的特点是对幅度特性的特点是对=奇对称，且奇对称，且=处零点使处零点使Hg()=0 。3) h(n) = -h(N-n-1)，N=奇数奇数 101( )( )sin ()2NgnNHh nn 令令m=(N-1)/2-n，那么有，那么有(1)/21( )( )sin11( )2 (),1,2,22NgnHc nnNNc nhn n(7.1.17) (7.1.18) 幅度特性幅度特性Hg()在在=0,2处为零，即处为零，即z=1处是零点，处是零

30、点，且且Hg() 对对= 0,2呈奇对称。呈奇对称。4) h(n) = -h(N-n-1)，N=偶数偶数 令令m=N/2-n,那么有那么有/21/211( )2 ()sin ()221( )( )sin ()2( )2 (),1,2,3 ,22NgmNgnNHhmmHd nnNNd nhn n(7.1.19) (7.1.20)1120011( )( )sin ()2 ( )sin)22NNgnnNNHh nnh nn( 幅度特性幅度特性Hg()在在=0, 2处为零，即处为零，即z=1处是零点，且处是零点，且Hg() 对对= 0, 2呈奇对称，对呈奇对称，对=呈偶对称。呈偶对称。奇对称奇对称 h

31、(n)=-h(N-n-1) 3. 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布特点滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和式和(7.1.10)式，综合起来表示为：式，综合起来表示为：(1)1( )()NH zzH z (7.1.21) 图图7.1.1 线性相位线性相位FIR滤波器零点分布滤波器零点分布 零点必需是互零点必需是互为倒数的共轭对，为倒数的共轭对，确定其一，另外确定其一，另外3(或或1)个随之确定。个随之确定。4. 线性相位线性相位FIR滤波器网络构造滤波器网络构造 设设N为偶数，那么有为偶数，那么有1112002

32、1122(1)00( )( )( )( )( )( )(1)( )(1)NNNnnnNnmnNNnNmnmH zh n zh n zh n zH zh n zh Nmzh nh Nn 令令m=N-n-1,那么有那么有(7.1.22)假设假设N为奇数，那么将中间项为奇数，那么将中间项h(N-1)/2单独列出，单独列出， (7.1.23) 12(1)0(1) 121(1)20( )( )( )( )(1)2NnNnnNNnNnnH zh nzzNH zh nzzhz 21N21N21N图图7.1.2 第一类线性相位网络构造第一类线性相位网络构造x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h

33、(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数图图7.1.3 第二类线性相位网络构造第二类线性相位网络构造x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数111111111 结论：结论： FIR线性相位特性阐明，只需将线性相位特性阐明，只需将h(n)设计成有限长设计成有限长对称构造，那么由对称构造，那么由h(n)确定的滤波器必然具有线性相确定的滤波器必然具有线性相位特性。位特性。 从设计角

34、度来看，线性相位特性的最大益处就是从设计角度来看，线性相位特性的最大益处就是可以简化可以简化FIR滤波器的设计。由于此时滤波器对输入滤波器的设计。由于此时滤波器对输入信号的一切频率分量呈现一样的纯时间延迟信号的一切频率分量呈现一样的纯时间延迟(该延迟等该延迟等于相频特性的斜率，即时常数于相频特性的斜率，即时常数)，所以设计该类滤波器，所以设计该类滤波器时只需逼近期望的幅频特性即可。时只需逼近期望的幅频特性即可。 5. FIR滤波器特点滤波器特点 由于由于h(n)有限，有限，FIR滤波器系统函数和递推公式表示为滤波器系统函数和递推公式表示为 系统函数由系统函数由(N-1)个零点及个零点及(N-1

35、)个原点上的极点构成，故滤个原点上的极点构成，故滤波器特性完全由零点确定。滤波器输出只取决于输入，故波器特性完全由零点确定。滤波器输出只取决于输入，故构造为横向、非递归构造。可利用构造为横向、非递归构造。可利用FFT经过快速卷积确定滤经过快速卷积确定滤波器输出，有时也可用递归构造实现波器输出，有时也可用递归构造实现FIR滤波器滤波器(更经济更经济)。 由于零点对系统稳定性没有影响，所以由于零点对系统稳定性没有影响，所以FIR滤波器总是滤波器总是稳定的；又由于稳定的；又由于h(n)全部定义在正时间轴上，所以全部定义在正时间轴上，所以FIR滤波滤波器也总是因果的。器也总是因果的。10010)()(

36、)()()()()(NiNnnnnNnninxihnyznhznhznhzH 窗函数法窗函数法 1. 设计思想设计思想 设计设计FIR滤波器最直接最简单的方法就是将无限时宽冲滤波器最直接最简单的方法就是将无限时宽冲激呼应截短得到有限长度冲激呼应。激呼应截短得到有限长度冲激呼应。 窗函数法的设计根据是滤波器的理想频率呼应窗函数法的设计根据是滤波器的理想频率呼应Hd(ej)，由此可确定出与其对应的单位脉冲呼应由此可确定出与其对应的单位脉冲呼应hd(n)，即，即 由于由于Hd(ej)普通为分段恒定，且在通带与阻带边境上普通为分段恒定，且在通带与阻带边境上有突跳点，故有突跳点，故hd(n

37、)普通具有无限时宽。普通具有无限时宽。 ()( )1( )()2jjddnjjnddHehn ehnHeedn 为了构造长度为为了构造长度为N的线性相位滤波器，用的线性相位滤波器，用RN(n)(矩形窗序列矩形窗序列)截取截取hd(n) ，得，得 h ( n ) = h d ( n ) R N ( n ) (7.2.3) 再使再使h(n)对对(N-1)/2对称，这样即获得了数字滤波器，对称，这样即获得了数字滤波器，其系统函数为其系统函数为H(z) 这就是用窗函数法设计这就是用窗函数法设计FIR滤波器的根本思想。滤波器的根本思想。10( )( )NnnH zh n z图图7.2.1 理想低通的单位

38、脉冲呼应及矩形窗理想低通的单位脉冲呼应及矩形窗2. 窗函数的影响窗函数的影响研讨结果阐明，这种加窗处置方法会产生研讨结果阐明，这种加窗处置方法会产生Gibbs景景象象(振荡振荡)。对对(7.2.3)式进展傅里叶变换，根据复卷积定理，得式进展傅里叶变换，根据复卷积定理，得式中式中Hd(ej)和和RN(ej)分别是分别是hd(n)和和RN(n)的傅里的傅里叶变换，即叶变换，即RN()称为矩形窗的幅度函数。称为矩形窗的幅度函数。(7.2.5) (1()()()2jjjdNH eHeRed )(111(1)200sin(/2()( )( )sin(/2)NNjNjj nj njaNNNnnNReRn

39、eeeRe)sin(/21( ),sin(/2)2NNNR)将将Hd(ej)写成写成()( )jj addHeHeHd()为理想数字滤波器的幅度特性，将为理想数字滤波器的幅度特性，将Hd(ej)和和RN(ej)代入代入(7.2.4)式，得式，得()1()( )()21( )()2jj ajadNj adNH eHeRedeHRd 将将H(ej)也写成也写成()( )1( )( )()2jj adNH eHeHHRd(7.2.6)图图7.2.2 矩形窗对理想低通矩形窗对理想低通 幅度特性的影响幅度特性的影响 由上述分析可知，对由上述分析可知，对hd(n)加矩形窗后，加矩形窗后，H()和理和理想想

40、Hd()有以下差别：有以下差别： (1)在理想特性不延续点在理想特性不延续点=c附近构成过渡带。过附近构成过渡带。过渡带的宽度，近似等于渡带的宽度，近似等于RN()主瓣宽度，即主瓣宽度，即4/N。 (2)窗函数的旁瓣使通带内添加了动摇，最大的峰窗函数的旁瓣使通带内添加了动摇，最大的峰值在值在c-2/N处；阻带内产生了余振，最大的负峰在处；阻带内产生了余振，最大的负峰在c+2/N处。动摇幅度取决于旁瓣与主瓣相对幅度，处。动摇幅度取决于旁瓣与主瓣相对幅度，动摇数目取决于旁瓣数目。动摇数目取决于旁瓣数目。 (3)添加窗函数的长度添加窗函数的长度N，只能减少其主瓣宽度，只能减少其主瓣宽度，而不能改动旁

41、瓣与主瓣幅度的相对值，该值主要取决而不能改动旁瓣与主瓣幅度的相对值，该值主要取决于窗函数的外形。于窗函数的外形。 为了使为了使H(ej)尽能够逼近尽能够逼近Hd(ej)，需求从窗函数，需求从窗函数的长度、外形加以适中选择。窗函数选择的普通原那么的长度、外形加以适中选择。窗函数选择的普通原那么为：为： (1)具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度；具有较低的旁瓣幅度，尤其是第一旁瓣幅度； (2)旁瓣幅度下降速率要大，以利于添加阻带衰减；旁瓣幅度下降速率要大，以利于添加阻带衰减； (3)主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带。主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带。 选择平滑窗函数可以降低旁瓣幅度，减轻吉布斯

42、景选择平滑窗函数可以降低旁瓣幅度，减轻吉布斯景象，但付出的代价是加宽了主瓣，从而加宽了滤波器的象，但付出的代价是加宽了主瓣，从而加宽了滤波器的过渡带。过渡带。3. 常用的窗函数常用的窗函数 设设 h(n)=hd(n)w(n) 式中式中w(n)表示窗函数。下面引见几种常用的窗表示窗函数。下面引见几种常用的窗函数。函数。 (1) 矩形窗矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其频率呼应为其频率呼应为 主瓣宽度主瓣宽度4/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低13dB。1(1)2sin(/2)()sin(/2)jNjRNWee(2) 三角形窗三角形窗(Bartle

43、tt Window)(7.2.8) 其频率呼应为其频率呼应为主瓣宽度主瓣宽度8/N，第一旁瓣幅度比主瓣低，第一旁瓣幅度比主瓣低26dB。 1()22sin()4()2 sin(/2)NjjBrNNWee(7.2.9) 21,0(1)12( )212,(1)112BrnnNNnnNnNNBrw(3) 汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNN当当 时，时，N-1N， 1N能量更集中于主瓣，代价为主瓣宽度能量更集中于主瓣，代价为主瓣宽度8/N。1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.2

44、5()12()( )1HnNNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeNw图图7.2.3 汉宁窗的幅度特性汉宁窗的幅度特性(4) 哈明哈明(Hamming)窗窗改良的升余弦窗改良的升余弦窗(7.2.11)其频域函数其频域函数WHm(ej)为为22()()11()0.54()0.23()0.23()22( )0.54()0.23()0.23()11jjjjNNHmRRRjHmRRRWeWeWeWeWWeWWNN其幅度函数其幅度函数WHm()为为当当N1时，可近似表示为时，可近似表示为22( )0.54( )0.23()0.23()BlRRRn

45、WWWNNW2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnNw 主瓣能量约占主瓣能量约占99.96%，宽度，宽度8/N，第一旁瓣幅度比主，第一旁瓣幅度比主瓣低瓣低40dB。(5) 布莱克曼布莱克曼(Blackman)窗窗(7.2.13) 其频域函数为其频域函数为其幅度函数为其幅度函数为(7.2.14) 24( )0.420.5cos0.08cos( )11BlNnnnRnNNw22()()11R22()()11()0.42()0.25()()0.04()()jjjjNNBlRRjjNNRRWeWeWeWeWeWe4422( )0.42( )0.25()()11440.04()()11

46、BlRRRRRWWWWNNWWNN)12(NWR旁瓣进一步抵消，阻带衰减进一步添加，过渡带是矩形窗的旁瓣进一步抵消，阻带衰减进一步添加，过渡带是矩形窗的3倍。倍。图图7.2.4 常用窗函数常用窗函数 图图7.2.5 常用窗函数的幅度特性常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗；(d)哈明窗；哈明窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗 图图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5) (a)矩形窗；矩形窗；(b)巴特利特窗巴特利特窗(三角形窗三角形窗)；(c)汉宁窗；汉宁窗； (d)哈明窗；哈明

47、窗；(e)布莱克曼窗布莱克曼窗 (6) 凯塞凯塞贝塞尔窗贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 002201()( ),01()21(1)11( )1() )! 2kkkInnNInNxIxk式中式中 I0(x)是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算：是零阶第一类修正贝塞尔函数，可用下面级数计算： 普通普通I0(x)取取1525项。项。控制窗外形，控制窗外形，加大，主瓣加宽，加大，主瓣加宽，旁瓣减小，典型值为旁瓣减小，典型值为49。当。当=5.44时，窗函数接近时，窗函数接近哈明窗；哈明窗；=7.865时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗时，窗函数接近布莱克曼窗。凯塞窗的幅度函数

48、为的幅度函数为(1)/21( )(0)2( )cosNkkknWnn(7.2.16) 表表7.2.1 凯塞窗参数对滤波器的性能影响凯塞窗参数对滤波器的性能影响 表表7.2.2 六种窗函数的根本参数六种窗函数的根本参数 窗函数法设计窗函数法设计FIR滤波器的步骤：滤波器的步骤：(1) Hd(ej) hd(n) 假设给出待求滤波器的频响为假设给出待求滤波器的频响为Hd(ej)，那么，那么 或用或用Hd(ej)的的M个采样点计算个采样点计算22101( )()MjkjknMMMdkhnHeeM(7.2.17) (7.2.18) 根据频率采样定理，根据频率采样定理，hM(n)与与hd(n)应满足如下关

49、系：应满足如下关系：( )()Mdrhnh nrM1( )()2jjddhnHee ddenj(2)选择选择w(n) 根据对过渡带根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的方及阻带衰减的要求，选择窗函数的方式、窗口长度式、窗口长度N。待求滤波器过渡带。待求滤波器过渡带近似等于窗函近似等于窗函数主瓣宽度，数主瓣宽度，NA/，A选择见选择见7.2.2表。表。 (3) hd(n) hN(n) 由于由于Hd(ej)通常以通常以=0偶对称，使得偶对称，使得hd(n)以以n=0为对为对称轴，为了获得对称的称轴，为了获得对称的hN(n)(线性相位条件线性相位条件)，将，将w(n)定义在定义在-N/2，N/2

50、-1区间上，得区间上，得 hN(n)=hd(n)w(n) -N/2nN/2-1(4) hN(n) 因果序列因果序列h(n) hN(n)为非因果序列，经过移位可将其转变为因果序列为非因果序列，经过移位可将其转变为因果序列h(n)，即，即 N为奇数：为奇数： N为偶数：为偶数：(5)滤波器分析滤波器分析 设计出的滤波器频率呼应为：设计出的滤波器频率呼应为： 检验技术目的能否满足要求，假设满足目的，设计终检验技术目的能否满足要求，假设满足目的，设计终了；否那么重新选择了；否那么重新选择w(n)，反复步骤，反复步骤(2)(5)。实现：利用计算机并采用试探法为可行途径。实现：利用计算机并采用试探法为可行

51、途径。10()( )Njj nnH eh n e)2()()21()(NnhnhNnhnhNN 窗函数法是一种很吸引人的技术，但有窗函数法是一种很吸引人的技术，但有3个问题个问题经常妨碍它的实践运用：一是利用积分求解经常妨碍它的实践运用：一是利用积分求解h(n)能够能够存在一定困难存在一定困难(如得不到闭合解，求解过于复杂等如得不到闭合解，求解过于复杂等)，用采样值求解能够会引入误差；二是缺乏设计的灵敏用采样值求解能够会引入误差；二是缺乏设计的灵敏性，设计中只能改动窗函数；三是设计出的滤波器难性，设计中只能改动窗函数；三是设计出的滤波器难于确定边境频率，这是由于窗孔于确定边境频率，这是由于窗孔

52、“涂抹掉了滤波器涂抹掉了滤波器频域中的不延续点，使其变为了过渡带。频域中的不延续点，使其变为了过渡带。优点：能用最少的计算量比较直接地获得滤波器的冲激优点：能用最少的计算量比较直接地获得滤波器的冲激呼应。呼应。缺陷：得到的缺陷：得到的FIR滤波器不满足知的任何最优准那么。滤波器不满足知的任何最优准那么。例例7.2.1 用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤低通滤波器，设波器，设N=11,c=0.2rad。解：用理想低通作为逼近滤波器，按照解：用理想低通作为逼近滤波器，按照(7.2.2)式，有式，有显然显然h(n)=h(N-1-n)，所以该滤波器具有线性相位

53、特性。，所以该滤波器具有线性相位特性。sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn用汉宁窗设计：用汉宁窗设计：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10dHnHnh nh nnnnn用布莱克曼窗设计：用布莱克曼窗设计： 11( )( )( )22( )(0.420.5cos0.08cos)( )1010dBlBlh nh nnnnnRn图图7.2.7 例例7.2.1的低通幅度特性的低通幅度特性例：采用矩形窗，设计具有理想高通特性的例：采用矩形窗，设计具有理想高通特性的FIR线性相位线性相位滤波器。滤波器。N为奇

54、数，截止频率为为奇数，截止频率为c。解：解：1, 1 , 0 21 )21()21(sin(21 1 )21()21(sin()21()21(sin( 2121)()21()21(NnNnNnNnNnNnNnNnNndedenhcccNnjNnjcc)()21()21(sin()211()211(sin()1(nhNnNnNnNNnNnNhcc 频率采样法频率采样法 1. 设计思想设计思想 2. 设计实现设计实现 设待设计的滤波器的频率呼应函数为设待设计的滤波器的频率呼应函数为Hd(ej)，对它在，对它在=0到到2之间等间隔采样之间等间隔采样N点，点，得到得到Hd(k)再对再对N

55、点点Hd(k)进展进展IDFT，得到，得到h(n)(7.3.1) (7.3.2) )()()()(2zHnhkHeHZFIDFTdkNjd 2210( )(),0,1,2,11( )( ),0,1,2,1jddkDNjknNdkHkHekNh nHk ekNNN)()(11)(11)(11)(1)(1)()(1)(1)()(10110121010121210121010210zHzHNzWkHNzzekHNzzezekHNzekHNzekHNznhzHIFNkkNdNNkkNjdNNkNkkNjNkNjdNnnkNjdNnnNknkNjdNnn (7.3.2)式确定的式确定的h(n)就是所设计

56、滤波器的冲激呼应，其系就是所设计滤波器的冲激呼应，其系统函数统函数H(z)为为(7.3.3)(7.3.4) (1) 频率采样构造 (7.3.4)式阐明，由H(z)确定的系统构造是FIR子系统和IIR子系统的串联。将(7.3.4)式写成下式： 1011( )( )( )( )1( )( )1NckkNckkNH zHzHzNHzzH kHzWz (5.4.2) 式中式中 Hc(z)是是FIR滤波器，称为梳状滤波器滤波器，称为梳状滤波器(参考第八章参考第八章)，其，其零点为零点为Hk(z)是单极点是单极点IIR滤波器，称为谐振器，谐振频率为滤波器，称为谐振器，谐振频率为2,0,1,2,1jkkNk

57、NzeWkN），（极点kNjkNkkeWzkN22图图5.4.3 FIR滤波器频率采样构造滤波器频率采样构造 H(k)=Hd(k) x(n)y(n)z1z1 z NH(0)H(1)H(N 1)0NW1NW1NNWz1N1频率采样构造特点频率采样构造特点 优点：优点： (1)在频率采样点在频率采样点k，Hd(ejk)=H(k)，只需调整，只需调整H(k)(即一阶网络即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数中乘法器的系数H(k)，就可以有效，就可以有效地调整频响特性，使调整方便可行。地调整频响特性，使调整方便可行。 (2)只需只需h(n)长度长度N一样，对于任何频响外形，其梳状一样，对于任何频响外形，其

58、梳状滤波器部分和滤波器部分和N个一阶网络部分构造完全一样，只是各支个一阶网络部分构造完全一样，只是各支路增益路增益H(k)不同。这样，一样部分便于规范化、模块化。不同。这样，一样部分便于规范化、模块化。 缺陷：缺陷： (1)系统稳定是靠单位圆上的系统稳定是靠单位圆上的N个零极点对消来保证的，个零极点对消来保证的，假设由于误差等缘由呵斥零极点无法对消，会使系统不稳假设由于误差等缘由呵斥零极点无法对消，会使系统不稳定。定。 (2)构造中，构造中，H(k)和和WN-k普通为复数，要求乘法器完成普通为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。修正构

59、造：首先，将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半修正构造：首先，将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为径为r的圆上，取的圆上，取r1且且r1。此时。此时H(z)为为1101( )( )(1)1NNNrkkNHkH zr zNrWz(5.4.3) 其次，利用其次，利用DFT的共轭对称性。假设的共轭对称性。假设h(n)是实数序列，是实数序列，那么其离散傅里叶变换那么其离散傅里叶变换H(k)关于关于N/2点共轭对称，即点共轭对称，即 H(k)=H*(N-k)，且，且WN-k=WN-(N-k) 将将Hk(z)和和HN-k(z)合并为一个二阶网络，并记为合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，那，那么么1

60、()111101122( )()( )11( )( )11()212 cos()kkNkNNkkNNkkH kH NkHzrWzrWzH kHkrWzr Wzaa zrk zr zN 显然，二阶网络显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其构造如图的系数都为实数，其构造如图5.4.4(a)所示。当所示。当N为偶数时，为偶数时，H(z)可表示为可表示为式中式中 012Re( )2Re( )kkkNaH karH k W 1,2,3,12Nk 11201111221()1(0)2( )(1)21112cos()NNNkkkNHHaa zH zr zNrzrzk zr zN(5.4.4) 式中式中H