信号与系统第二章连续时间系统的时域

1、第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 第第 2 2 章章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 主讲教师：卢亚玲主讲教师：卢亚玲第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 系统分析的任务系统分析的任务:在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析:是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间涉及的函数自变量均为连续时间t t的一种分析方法。的一种

2、分析方法。 系统时域分析法包含两方面内容：系统时域分析法包含两方面内容：微分方程求解；利用单位冲激响应求系统输出零状态响应微分方程求解；利用单位冲激响应求系统输出零状态响应 。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.1系统的数学模型及系统响应的时域求解系统的数学模型及系统响应的时域求解(微分方程建立、复习解法、重点说明微分方程建立、复习解法、重点说明解的物理含义解的物理含义)2.2冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应冲激响应的物理含义冲激响应的物理含义2.3卷积及其性质卷积及其性质2.4 用算子符号表示微分方程用算子符号表示微分方程 第第 2 2 章章 连续信

3、号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.1系统数学模型的建立和微分方程求解系统数学模型的建立和微分方程求解2.1.1、R.L.C上的上的e(t)i(t)1.电阻电阻数学模型数学模型)()()(1)(tRiteteRti第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.电感电感数学模型数学模型deLtidttdiLtet)(1)()()(第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 3.电容电容数学模型数学模型diCtedttdeCtit)(1)()()(第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 12y tftf

4、t4、求和、求和第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 5、分支、分支 123ftftft第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.1.2 LTI连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型一、电路微分方程的导出：一、电路微分方程的导出： 列方程的基本依据：列方程的基本依据： 1 1、元件特性约束：方程。、元件特性约束：方程。 2 2、网络拓扑约束：、网络拓扑约束：KCLKCL、KVLKVL方程。方程。 列方程的基本方法：列方程的基本方法： 节点分析法和回路分析法。节点分析法和回路分析法。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析

5、连续信号与系统的时域分析 例例2-1、图、图2-1所示为所示为RLC并联电路，求并联电路并联电路，求并联电路的端电压的端电压 与激励源与激励源 间的关系间的关系)(tv)(tis)(tis)(tvRRiLiCiLC图图2-1)(1)(tvRtiRdvLtitL)(1)(dttdvCtiC)()(第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 对整个电路，根据基尔霍夫电流定律有对整个电路，根据基尔霍夫电流定律有)()()()(titititiSCLR代入它们的数学表达式并化简得到代入它们的数学表达式并化简得到)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS

6、电路的数学模型是常电路的数学模型是常系数的微分方程系数的微分方程结论：结论：LTI系统可以用常系数的微分方程来描述系统可以用常系数的微分方程来描述第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 二、二、 LTI系统的输入系统的输入-输出方程的一般形式输出方程的一般形式tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn0111101111. 式中式中a an-1n-1，a a1 1，a a0 0和和b bm m，b bm-1m-1，b b1 1，b b0 0均为常数。均为常数。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析

7、连续信号与系统的时域分析 什么是起始状态、什么是起始状态、初始条件初始条件响应区间：激励信号加入之后系统状态变响应区间：激励信号加入之后系统状态变化的区间化的区间。一般把激励加入的时刻定为一般把激励加入的时刻定为t=0t=0所以系统的响应区间为所以系统的响应区间为t0注意：这就是系统响应注意：这就是系统响应r(t)的定义域的定义域第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 起始状态：系统在激励信号加入之前瞬起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态间有一组状态)0(),.,0()0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk、称为系统的起始状态（称为系统的起始状态（

8、0-状态）状态）注意：时刻点是注意：时刻点是0-0-包含系统的全部过去信息包含系统的全部过去信息第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 初始条件：系统在激励信号加入后瞬间初始条件：系统在激励信号加入后瞬间有一组状态有一组状态)0(),.,0()0()0(11)(rdtdrdtdrrnnk、称为系统的初始条件（称为系统的初始条件（0+状态）状态）注意：时刻点是注意：时刻点是0+0+，它是系统响，它是系统响应区间内的一组状态，所以用它应区间内的一组状态，所以用它来确定完全响应中的常数来确定完全响应中的常数第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域

9、分析 三三 微分方程的解微分方程的解（一）、经典法：（经典法：（P4547）全解分解：全解分解： 全解全解=齐次解齐次解+特解特解方法：方法：Step1: 由特征方程求特征根得齐次解通式；由特征方程求特征根得齐次解通式；Step2: 由输入定特解；由输入定特解；Step3: 由初始条件定通解的常数由初始条件定通解的常数,求出全解。求出全解。)()()(trtrtrph第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 step1.齐次解齐次解 齐次解满足齐次微分方程齐次解满足齐次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等数

10、学经典理论知，由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的该齐次微分方程的特征方程为特征方程为n+an-1n-1+a1+a0=0得到得到n个根个根1，2，n第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 (1)(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同( (即即无重根无重根) )，则微分方程的齐次解则微分方程的齐次解(2) (2) 特征根有特征根有重根重根。若。若1 1是特征方程的是特征方程的重根，即有重根，即有1 1=2 2=3 3= =，而其余，而其余(n-)(n-)个根个根+1+1，+2+2，n n都是单根，则微分方程的齐次解都

11、是单根，则微分方程的齐次解1( )inthiiy tce(211)(212) n n阶微分方程的齐次解的系数阶微分方程的齐次解的系数n n个系数由初始条件确定个系数由初始条件确定 nitiitiihiecetcty111)(第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例22 22 求微分方程的齐次解。求微分方程的齐次解。y(t)+3yy(t)+3y(t)+2y(t)=f(t) (t)+2y(t)=f(t) 解：由特征方程：解：由特征方程：2 2+3+2=0+3+2=0 解得特征根解得特征根1 1=-1=-1，2 2=-2=-2。 因此该方程的齐次解因此该方程的齐次解

12、y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2e e-2t-2t 例例2323求微分方程求微分方程y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)的的齐次解。齐次解。 解解 由特征方程由特征方程2 2+2+1=0+2+1=0解得二重根解得二重根1 1=2 2=-1=-1，因此该方程的齐次解因此该方程的齐次解 y yh h(t)=c(t)=c1 1e e-t-t+c+c2 2tete-t-t 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 Step2:特解特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。特解的函数形式与激励函数的

13、形式有关。 表表2121列出了几种类型的激励函数列出了几种类型的激励函数f(t)f(t)及其所对应的及其所对应的特征解特征解y yp(p(t)t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数出其待定系数P Pi i，就可得出特解，就可得出特解，具体步骤如下具体步骤如下：(1)(1)由激励查表由激励查表2-1(2-1(书上书上P46P46表表2-2)2-2)试选特解试选特解 (2)(2)将激励代入原方程右边，整理得自由项；并将将激励代入原方程右边，整理得自由项；并将试选特解代入原方程左边试选特解代入原方程左边(3)(3)根据方程两端对应幂次的系数应相等

14、，即可解根据方程两端对应幂次的系数应相等，即可解出中待定系数出中待定系数PiPi 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 表表21 激励函数及所对应的解激励函数及所对应的解 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例2424若输入激励若输入激励f(t)=ef(t)=e-t-t，试求微分方程，试求微分方程y(t)+3y (t)+2y(t)= f(t)y(t)+3y (t)+2y(t)= f(t)的特解。的特解。 解解: :查表查表2121，因为，因为f(t)=ef(t)=e-t-t，=-1=-1与一个与一个特征根特征根1 1=-1=-

15、1相同，因此该方程的特解相同，因此该方程的特解1021010102( )()3()2()ttptttttttytPtePeddPtePePtePePtePeedtdt将特解将特解y yp p(t)(t)代入微分方程，有代入微分方程，有第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 Step3:求出完全解求出完全解 完全解是齐次解与特解之和完全解是齐次解与特解之和 （1 1）如果微分方程的特征根全为单根，则微分）如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为方程的全解为1( )( )intipiy tceyt(215)（2） 当特征根中当特征根中1 1为为重根，而其余重根

16、，而其余(n-)(n-)个个根均为单根时，方程的全解为根均为单根时，方程的全解为111( )( )inttiipijy tctece jyt (216) 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 如果微分方程的特征根都是单根，则方程的如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为式完全解为式(215)(215)，将给定的初始条件分别代，将给定的初始条件分别代入到式入到式(215)(215)及其各阶导数，可得方程组及其各阶导数，可得方程组 y(0)=c1+c2+cn+yp(0)y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=1n-1 c1+2n-1

17、c2+nn-1 cn+y(n-1)p(0)解方程组，解方程组，由此可求出要求的待定常数由此可求出要求的待定常数 c ci i(i=1,2(i=1,2n)n)第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例225225求微分方程求微分方程r(t)+r(t)+3r (t)+2 r(t)=f(t)+2 r(t)=f(t)的齐的齐次解次解, ,若输入激励若输入激励f(t)=ef(t)=e-t-t , ,试求微分方程的特解。设试求微分方程的特解。设 求系统的全解求系统的全解解解 ：由特征方程：由特征方程解得特征根解得特征根因此该方程的齐次解因此该方程的齐次解02322, 121

18、ttheAeAtr221)(0)0()0(rr第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 查表查表22（P46），因为），因为f(t)=e-t中中=-1，与一个，与一个特征根特征根1=-1相同，因此该方程的特解相同，因此该方程的特解tptetr)(所以系统的全响应为所以系统的全响应为)()()()()(221tuteeAeAtrtrtrtttph第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 用初始条件确定常系数：用初始条件确定常系数：由初始条件得到一组方程组由初始条件得到一组方程组0)0()0(rr01200)()0( 0)0(21210221

19、0221AAAAteeAeAdtdrteeAeArtttttttt即解得：解得：1121AA全解：全解：)()()(2tuteeetrttt第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 经典法解的意义：经典法解的意义：)()()(trtrtrph)()(1tutreApnitii系统的自由响应系统的自由响应系统的强迫响应系统的强迫响应特征根称为系统的固有频率或自特征根称为系统的固有频率或自由频率、自然频率，它决定了自由频率、自然频率，它决定了自由响应的全部形式由响应的全部形式只与激励函数的形式只与激励函数的形式有关有关表示解区表示解区间间第第 2 2 章章 连续信号与系

20、统的时域分析连续信号与系统的时域分析 由起始状态由起始状态(0-状态状态)求初始条件求初始条件(0+状态状态)方法一：方法一： 根据根据元件特性约束元件特性约束和和网络拓扑约束网络拓扑约束与与换路定换路定理理求初始条件求初始条件P P5757 例例2-2-6 6第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 方法二：冲激函数匹配法方法二：冲激函数匹配法 当系统当系统已有微分方程已有微分方程时使用该法。时使用该法。 冲激匹配法是指冲激匹配法是指为为保持保持系统对应的系统对应的动态动态方程式的方程式的恒等恒等，方程式两边所具有的，方程式两边所具有的冲激信冲激信号函数及其各阶导

21、数号函数及其各阶导数必须必须相等相等。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例2-6 2-6 已知系统微分方程式为已知系统微分方程式为)( 3)(3)( ttrtr给定给定0-0-状态起始值状态起始值r(0-),r(0-),确定它的确定它的0+0+状态状态r(0+)r(0+)解：由于动态方程式右侧存在冲激信号解：由于动态方程式右侧存在冲激信号(t)(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧r r(t)(t)也必须含有也必须含有(t)(t)。所以设。所以设)()()( )( tuctbtatr第第 2 2 章章 连续信

22、号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 将将r (t)代入方程得到代入方程得到)( 3)(3)(3)()()( ttubtatuctbta解得：解得：a=3,b=-9,c=27所以所以)()0()0(tubrr有：)0(9)(9)0()0(rturr有：第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 该方法要注意两个问题：该方法要注意两个问题：第一，注意第一，注意u(t)u(t)的意义的意义1.1.时刻为时刻为0-0-到到0+0+时刻；时刻；2.2.在这段时间具有单位阶跃信号的函数特点，在这段时间具有单位阶跃信号的函数特点，所以其微分是单位冲激信号，而其积分所以其微分

23、是单位冲激信号，而其积分第二，冲激函数匹配法的第二，冲激函数匹配法的关键关键是设出响应最高是设出响应最高阶的表达式：响应的最高阶阶的表达式：响应的最高阶= =方程右端最高阶及方程右端最高阶及其依次积分项的线性叠加。其依次积分项的线性叠加。冲激函数匹配法也是对微分方程右端含有冲激冲激函数匹配法也是对微分方程右端含有冲激函数或其各阶导数的方程求解的方法。函数或其各阶导数的方程求解的方法。 0)(1)()(00tdtdtu第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 （二）零输入响应和零状态响应（二）零输入响应和零状态响应)()()(trtrtrzszi系统的全解分解成系统的

24、全解分解成：零输入响应：零输入响应： （zeroinput response）没有没有外加激励信号的作用下，只有外加激励信号的作用下，只有起始状态起始状态（起（起始时刻系统储能）所产生的响应。始时刻系统储能）所产生的响应。The zeroinput response is the response that exists due to initial condition (or initial state) alone with the input e(t)=0.第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 零输入响应的解零输入响应的解的形式：的形式：nitziizii

25、eAtr1)(它是齐次解的一部分，其常系数由起始状态确定它是齐次解的一部分，其常系数由起始状态确定0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCzinzinzinnzinn零输入响应零输入响应满足满足方程方程及及起始状态起始状态的解的解。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 零状态响应：零状态响应：不考虑不考虑起始时刻系统储能的作用下（起起始时刻系统储能的作用下（起始状态为零），由系统始状态为零），由系统外加激励信号外加激励信号所产生的响应。所产生的响应。The zero-state response component due to s

26、ources or inputs.零状态响应满足方程零状态响应满足方程)()()()()()()()(1111011110teEtedtdEtedtdEtedtdEtrCtrdtdCtrdtdCtrdtdCmmmmmmzsnzsnzsnnzsnn及起始状态及起始状态1, 1 , 0, 0)0(nkrk 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 零状态响应的解的形式：零状态响应的解的形式：)()(1tBeAtrnjtzsjzsj它含有齐次解的一部分及强迫响应。它含有齐次解的一部分及强迫响应。零状态响应的求解：时域解法同经典法解方程；零状态响应的求解：时域解法同经典法解

27、方程； 卷积法卷积法第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 系统全解为系统全解为：)()()(11tutBeAeAtrnjtzsjnitziiji第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 （三）瞬态响应和稳态响应（三）瞬态响应和稳态响应tDefinition: 当当时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应，时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应，保留下来的那部分分量称为稳态响应。保留下来的那部分分量称为稳态响应。)()()(2tuteeetrttt例例2-2中中全部都是瞬态分量，稳态分量为全部都是瞬态分量，稳态分量为0第第 2 2

28、 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 总结：总结： 由于由于研究方法研究方法和和目的目的的的不同不同可以有不同的解可以有不同的解的分解形式的分解形式。 全解零输入响应零状态响应全解零输入响应零状态响应 暂态响应稳态响应暂态响应稳态响应 (transient response)+ (steady-state response) 自然响应强迫响应自然响应强迫响应 (natural response)+ (force response) 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应1、冲

29、激响应定义：冲激响应定义： Impulse response , denoted h(t), of a fixed, linear system assumed initially unexcited, is the response of the system to a unit impulse applied at time t=0. 冲激响应是系统对冲激响应是系统对单位冲激信号输入单位冲激信号输入时的时的零状态零状态响应响应。记为：记为：)(th第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 可见，冲激响应满足：可见，冲激响应满足：（1）微分方程：）微分方程：)()

30、()()()()()()(1111011110tEtdtdEtdtdEtdtdEthCthdtdCthdtdCthdtdCmmmmmmnnnnnn（2）起始条件：）起始条件：1, 1 ,0,0)0(nkhk第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2、冲激响应的时域求解：、冲激响应的时域求解：将将 冲激响应分解成：冲激响应分解成：方程右边在方程右边在 时都等于零时都等于零 解特征方程，注意：解特征方程，注意：当当 时，与齐次解的形式相同时，与齐次解的形式相同当当 时，由特征方程解的特征根得的是齐次解时，由特征方程解的特征根得的是齐次解 。其中还应含有冲激响应及其相应

31、的各阶导数。其中还应含有冲激响应及其相应的各阶导数。 )()()(thththph 0tmn mn n求得的求得的 中还有待定系数中还有待定系数 ，待定系数由，待定系数由 1, 1 , 0, 0)0(nkhk确定确定 )(th第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 二二.阶跃响应阶跃响应1 1、阶跃响应的、阶跃响应的定义定义： Step response is a Step response is a zero state zero state responseresponse of a fixed ,linear system to of a fixed ,li

32、near system to a a unit step functionunit step function applied at time applied at time t=0.t=0. 阶跃响应是系统对阶跃响应是系统对单位阶跃信号单位阶跃信号输入时输入时的的零状态响应零状态响应。阶跃响应记作阶跃响应记作g(t)g(t)。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 dttdgthdhtgt2、阶跃响应和冲激响应的关系：、阶跃响应和冲激响应的关系：3 3、阶跃响应的求解、阶跃响应的求解方法一：用求解零状态响应的方法。方法一：用求解零状态响应的方法。方法二：利用方法

33、二：利用 与与 的关系求解。的关系求解。)(tg)(th第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 )(t三、冲激响应的重要意义三、冲激响应的重要意义1 1、任意信号都可以用冲激信号的组合表示、任意信号都可以用冲激信号的组合表示dtete)()()(2 2、线性时不变系统的、线性时不变系统的输入输入与其与其相应零状态响应相应零状态响应之之间的间的关系关系 （1 1）设系统变换为）设系统变换为T T ，系统输入为，系统输入为 ，则，则系统的零状态响应系统的零状态响应 为：为：)(th)()(tTth第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 )

34、()(thtTdtete)()()()()()()()()()()()()()(txthtrdthedtTedteTteTtrzszs（2）设系统变换为）设系统变换为T ，系统输入为，系统输入为 ，则系统的零，则系统的零状态响应状态响应 为：为：系统变换的变系统变换的变量是量是 t系统是线性时不变系统所系统是线性时不变系统所以有以有)(te)(trzs称为卷积称为卷积第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 )(th)(te)(trzs系统的系统的单位冲激响应单位冲激响应可以表示可以表示系统特性系统特性，单位冲激单位冲激响应的性质响应的性质可以表示系统的可以表示系统

35、的因果性和稳定性因果性和稳定性，它是，它是分析分析LTILTI系统的重要手段。系统的重要手段。)()()(thtetrzs第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.3 卷积积分卷积积分 2.3.1 卷积的定义卷积的定义 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的两个连续时间信号，区间上的两个连续时间信号，我们将积分我们将积分 dtff)()(21定义为定义为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积 (Convolution)， 简记为简记为 )()(21tftf第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 即即 dtfftf

36、tf)()()()(2121 式中，式中，为虚设积分变量，为虚设积分变量， 积分的结果为积分的结果为另一另一个新的个新的时间信号。时间信号。 积分限根据积分限根据f1(t)和和f2(t)的作用时间范围而变化的作用时间范围而变化第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.3.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 信号信号f1(t)与与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第一步，画出第一步，画出f1(t)与与f2(t)波形，将波形图中的波形，将波形图中的t轴改换成轴改换成轴，轴，分别得到分别得到f1()和和f2()的波形。的

37、波形。 第二步，将第二步，将f2()波形反褶，得到波形反褶，得到f2(-)波形。波形。 第三步，第三步，给定给定一个一个t值，将值，将f2(-)波形沿波形沿轴平移轴平移|t|。在。在t00时，波形往时，波形往右右移移。这样就得到了。这样就得到了f2(t-)的波的波形。形。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 第四步，将第四步，将f1()和和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积相乘，得到卷积积分式中的被积函数函数f1()f2(t-)。 第五步，计算乘积信号第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与波形与轴之间包含的轴之间包含的净面积净面积，便，便是是式式

38、(2.2 - 1)卷积在卷积在t t时刻的值时刻的值。 第六步，令变量第六步，令变量t在在(-，)范围内变化，范围内变化，重复重复第三、四、第三、四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 1 给定信号给定信号 )()() 3()()(21tuetftututft求求y(t)=f1(t)*f2(t)。 图图 2.2 1 f1(t)和和f2(t)波形波形 01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析

39、图图 2.2 2 卷积的图解表示卷积的图解表示 01234f1()1o1f1()1f2( )t0t310t3f2( )t(c) t0(d) 0 t 310t3t03y(t)y(3)(e) t3(f )f2( )(a)(b)f1()f1()f2( )t当当t0时，对任一时，对任一，乘积，乘积f1()f2(t-)恒为零，故恒为零，故y(t)=0。当当0t33时，时，f f2 2( (t t-)-)波形如图波形如图2.2-2(e)2.2-2(e)所示，所示，此时，仅在此时，仅在0303范围内，乘积范围内，乘积f f1 1( () )f f2 2( (t t- -) ) 不为零，故有不为零，故有第第

40、2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 当当t0时，时，f2(t-)波形如图波形如图2.2-2(c)所示，对任一所示，对任一，乘积，乘积f1()f2(t-)恒为零，故恒为零，故y(t)=0。 当当0t3时，时，f2(t-)波形如图波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在所示，此时，仅在03范围内，乘积范围内，乘积f1()f2(t-) 不为零，故有不为零，故有 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2.3.3 卷积的性质卷积的性质(一一)时移性质和卷积代数时移性质和卷积代数 1. 时移时移 f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-

41、t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0) =f1(t-t0-t1)*f2(t) =f1(t)*f2(t-t0-t1) (2.3-7) 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 令令-t0=x， 代入上式，代入上式， 得得)()()()()()(102112011201tttftfdttftfttfttf 同理可证式同理可证式(2.5-7)的其它形式。的其它形式。 当当f1(t)、 f2(t)、 f3(t)分别满足可积条件时，分别满足可积条件时， 一些代一些代数性质也适合卷积运算。数性质也适合卷积运算。 dttftfttfttf)()()()(12011201证证第

42、第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2. 交换律交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) (2.3-8) h(t)f (t)y (t)f (t)h(t)y (t)图图 2.3-3 交换律的实用定义交换律的实用定义 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 3. 分配律分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t) (2.3-9) 式式(2.3-9)实际应用意义如图实际应用意义如图2.3-4所示。所示。 f2(t) f3(t)f1(t)y (t)f2(t)f3(t)f1(t)y

43、(t)图图 2.3-4 分配律的实用定义分配律的实用定义第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 图图 2.3-5 结合律的实用定义结合律的实用定义f2(t)f3(t)f1(t)y (t)f2(t) f3(t)f1(t)y (t)*4. 结合律结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t) (2.3-10)实用定义实用定义第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 （二）（二） 任意函数与任意函数与(t)、 u(t)卷积卷积 1 f(t)*(t)=f(t) (2.3-11) 证证 )()()()()()()(

44、tfdttfdtfttf第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 2 f(t)*(t-t1)=f(t-t1) (2.3-12)证证 )()()()()()()(11111ttfdttttfdttftttf第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 由式由式(2.3-12)可知，任意函数与可知，任意函数与(t-t1)卷积，相当卷积，相当于该信号通过一个延时（移位）器，如图于该信号通过一个延时（移位）器，如图2.3-6所示。所示。 图图 2.3-6 (t t1)f (t)f (tt1)延时 t1f (t)f (tt1)第第 2 2 章章 连续信

45、号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 3 dftutft)()()(2.3-13) 由式由式(2.3-13)可知，可知， 任意函数与任意函数与u(t)卷积，卷积， 相当于信号通相当于信号通过一个积分器，过一个积分器， 如图如图2.3-7所示。所示。 图图 2.3-7 u(t)f (t)y (t)f (t)y (t)第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 推广到一般情况推广到一般情况)()()()()()(0)(0)()()(ttftttftfttfkkkkk取正整数时表示导数阶次，取正整数时表示导数阶次， k取负整数时表取负整数时表示重积分的次数示重积分的次

46、数第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 (三三) 卷积的微分、卷积的微分、 积分性质积分性质与信号的运算相似，卷积也有微分、与信号的运算相似，卷积也有微分、 积分性质，积分性质， 但与信号但与信号的微分、的微分、 积分运算有所区别积分运算有所区别。1 微分微分对两个函数的卷积函数对两个函数的卷积函数微分微分， 等于对其中一个等于对其中一个被被积积函数函数微分后微分后再卷积。再卷积。)()()()()()(212121tfdtdtftftfdtdtftfdtd(2.3-14) 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 证证 )()()(

47、)()()(212121tfdtdtfdtfdtdfdtffdtd由卷积的第二种形式，由卷积的第二种形式， 同理可证同理可证)()()()(2121tftfdtdtftfdtd第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 dftfdftfdffttt)()()()()()(122121 (2.3-15) 2. 积分积分对两个函数的卷积函数对两个函数的卷积函数积分积分， 等于对其中一个等于对其中一个被被积函数积分积函数积分后后再再卷积。卷积。第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 证证 dftfddffddffdfftttt)()()()()

48、()()()(21212121由卷积的第二种形式同理可证由卷积的第二种形式同理可证 dftfdfftt)()()()(1221第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 应用类似的推导，应用类似的推导， 可导出卷积的可导出卷积的高阶导数高阶导数和和多重积分多重积分的运算规律。的运算规律。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 3 微、微、 积分性。积分性。 若若 y(t)=f1(t)*f2(t) 则则 y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t) (2.3-16) 其中其中, , i、j取正整数时为导数的阶次；取正整数时为导数

49、的阶次； i、 j取取负整数时为重积分的阶次。负整数时为重积分的阶次。 特别地特别地, , dfdttdfdfdttdftftftytt)()()()()()()(122121 (2.3-17) 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 证证 )()()()()( )()()()()(2121212121tftftffdfdtdfdffdtddfdttdfttt第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 利用式利用式(2.3-16)的结果，的结果， 可由可由f(t)与与h(t)的卷积公的卷积公式，式， 推出推出f(t)与阶跃响应与阶跃响应g

50、(t)的卷积公式，的卷积公式， 即即)()()()()()()(tgtfdhtfthtftyt(2.3-18) 式中，式中， g(t)是系统对单位阶跃信号的零状态是系统对单位阶跃信号的零状态响应，也简称单位阶跃响应。响应，也简称单位阶跃响应。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 2 计算常数计算常数K与信号与信号f(t)的卷积积分。的卷积积分。 解解 直接按卷积定义，直接按卷积定义， 可得可得 )()()()(波形的净面积tfKdKfKtftfK常数常数K与任意信号与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的的卷积值等于该信号波形净面积值的

51、K倍。倍。 如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致 dfKdtdtfKt)()(第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 3 图图2.3 - 5(a)所示为门函数，在电子技术中常称所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为表示，其幅度为1，宽度为，宽度为，求卷积，求卷积积分积分g(t)*g(t)。 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 例例 2.3 3 图图2.3 - 5(a)所示为门函数，在电子技术中常称所示为门函数，在电子技术中常

52、称矩形脉冲，用符号矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为表示，其幅度为1，宽度为，宽度为，求卷积，求卷积积分积分g(t)*g(t)。 解解 方法一方法一 图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，时，门函数左边沿位于门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于位置，右边沿位于x=/2位置，如图位置，如图2.3 - 5(b)所示。在任一所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置，位置， 右边沿则位于右边沿则位于x=t+

53、/2位置，如图位置，如图2.3 - 5(c)所示。按照图所示。按照图2.2- 5中中卷积过程的图解表示，可计算求得：卷积过程的图解表示，可计算求得： 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 图图 2.3 5 例例2.3 - 3方法一图方法一图 22ot1g (t)22ox1g ( x) g (x)22ox1 12t2tg (t x)(t 0)g (t x)(t 0)(b) t 0(c) t 0 , t 022to12t2ox1tg (t)g (t)*(d) t 0(e) 0 t(f )ox(a)tt积分区间积分区间0t,2t积分区间积分区间 t02,t卷积结果：三角脉冲卷积结果：三角脉冲方法一：图解法方法一：图解法第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 第第 2 2 章章 连续信号与系统的时域分析连续信号与系统的时域分析 方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质，应用卷积运算的微积分和时移性质， 可得可得 )(22)(22)()()()()1()1()1