一元函数积分学习题

1、定定积积分分二、定积分的性质二、定积分的性质一、定义一、定义(分割、取点、求和、取分割、取点、求和、取极限极限)，可积的条件，几何意义，可积的条件，几何意义三、变限积分三、变限积分四、计算方法四、计算方法六、定积分的应用六、定积分的应用五、广义积分五、广义积分一、定义一、定义01( )lim()nbiiaif x dxfx 二、几何意义二、几何意义, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值( )f x可正可负可正可负( )baf x dx 曲边梯形面积的代数和曲边梯形面积的代数和性质性质1 1 (

2、 )( )( )( )bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx性质性质2 2( )( )bbaakf x dxkf x dx 性质性质3 3( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx 二、定积分的性质二、定积分的性质1、变限积分定义、变限积分定义( )( )xaxf t dt atxb 三、变限积分三、变限积分2、变限积分公式、变限积分公式( )( )xadf t dtf xdx 公式公式1：( )( )bxdf t dtf xdx 公式公式2：公式公式3：()()( ) ( )( ) ( )( )v xu xdf t dtf v xv xf u xu x

3、dx 例如：例如：20cosxdt dtdx 21txde dtdx 题型：题型：填空题，选择题填空题，选择题特例：特例：()( ) ( )( )v xadf t dtf v xv xdx ( )u xa ( )v xb ( )( ) ( )( )bu xdf t dtf u xu xdx 22sincosxtxde dtdx 3 3、牛顿、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式( )baf x dx ( )baF x( )( )F bF a例如：例如：10(21)xedx 21201xdtx 题型：题型：填空题，选择题，计算题填空题，选择题，计算题四、计算方法四、计算方法1、定义、定义01( )lim

4、()nbiiaif x dxfx 2 2、几何意义、几何意义( )baf x dx 图形面积的代数和；图形面积的代数和；曲线与曲线与 轴及轴及 所围成所围成x,xa xb 3 3、牛顿、牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式( )baf x dx( )baF x4、换元积分法、换元积分法( )dbaf xx ( )( )dttft 令令( )xt ( ), ( )ab 5、分部积分法、分部积分法baudv bbaauvvdu6、 ( )()f xfx( )0aaf x dx7、( )()f xfx0( )2( )aaaf x dxf x dx是以是以 为周期的连续函数，为周期的连续函数，8. 8. 设设

5、( )f xl0( )( )a llaf x dxf x dx 例如：例如：1lnexdxx 2202x dt 411dxx 0cosxxdx 题型：题型：计算题计算题4sinxxdx ( )lim( )taatf x dxf x dx ( )lim( )bbttf x dxf x dx ( )( )( )ccf x dxf x dxf x dx1、无限区间上的积分、无限区间上的积分例如：例如：12tedt 20 x dx 211dxx 题型：题型：填空题填空题五、广义积分五、广义积分2、无界函数的广义积分、无界函数的广义积分若若 为瑕点为瑕点, , 则则b( )dlim( )dbtaatbf

6、 xxf xx ( )dlim( )dbbattaf xxf xx 若若 为瑕点为瑕点, , 则则a(lim( )xbf x (lim( )xaf x ( )dlim( )dlim( )dbtbaattctcf xxf xxf xx 则则( , ),ca b 若瑕点若瑕点(lim( )xcf x 例如：例如：1201xdtx 101dxx 2201(1)dxx 题型：题型：填空题填空题六、定积分的应用六、定积分的应用 微元法求平面图形的面积微元法求平面图形的面积面积元素面积元素 dQfx dx 求平面图形面积的步骤：求平面图形面积的步骤：1) 根据题意，画出草图，确定所求区域；根据题意，画出草

7、图，确定所求区域；2) 确定积分变量，以及确定它的变化区间；确定积分变量，以及确定它的变化区间；3) 利用微元法求出它的面积；利用微元法求出它的面积； dQy dy ( )baQf x dx (1)( )0,f x ( )dcQy dy cdxyo?Q ( )xy (a)( )0,y abxyo?Q ( )dQf x dx ( )dQy dy ( )baQf x dx ( )0,f x (2)ab xyo)(xfy ?Q ( )dcQy dy cdxyo?Q ( )xy (b)( )0,y ( )dQf x dx ( )dQy dy ( )( )baQf xg x dx ( )yf x ( )y