数列通项公式求法专题

1、l观察各项的特点，关键是找出各项与项观察各项的特点，关键是找出各项与项数数n n的关系的关系1.观察法观察法l当已知数列为当已知数列为等差或等比等差或等比数数l列时，可直接利用等差或等列时，可直接利用等差或等l比数列的通项公式，只需求比数列的通项公式，只需求l得首项及公差公比。得首项及公差公比。2.2.公式法公式法例例.an的前项和的前项和Sn=2n21，求通项，求通项an 利用利用an与与Sn的关系的关系 an=S1 (n=1) SnSn1(n2)解：当解：当n2时，时，an=SnSn1=(2n21) 2(n1)21 =4n2不要遗漏不要遗漏n=1的情形哦！的情形哦！当当n=1时时, a1=

2、1不满足上式不满足上式 因此因此 an=1 (n=1)4n 2(n2, )*nN3.3.由由S Sn n求求a an n(1)(1)若若f(n)f(n)为常数为常数, ,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为此时数列为等差数列，则等差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d一般地，对于型如一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的递推公式，只的递推公式，只要要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解能进行求和，则宜采用此方法求解通项通项。4. 4. 叠加法叠加法112211() ()()nnnnnaaaaaaaa ( (也称累加法）也称累加法） （

3、2）当）当f(n)为为n的函数时的函数时,用累加法用累加法.例例.已知已知an中中, an+1=an+ n (nN*),a1=1,求通项求通项an解解:由由an+1=an+ n (nN*) 得得a2 a1 = 1a3 a2 = 2a4 a3 = 3anan1 = n 1an=( anan1)+(an1an2)+ + (a2 a1)+ a1 =(n 1)+(n 2)+ 2)+ +2+1+1n个等式相加得a1 = 1已知已知an中中, a1=1, an= 3n1+an1(n2),求通项求通项an 练练 一一 练练an+1 an= n (nN*)2212) 12nnnn（ an+1=an+f(n)若

4、若f(n)f(n)是关于是关于n n的的一次函数一次函数，累加后可转化为，累加后可转化为等差数列求和等差数列求和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的的二次函数二次函数，累加后可分组求，累加后可分组求和和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的的指数函数指数函数，累加后可转化为，累加后可转化为等比数列求和等比数列求和; ;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的的分式函数分式函数，累加后可裂项求，累加后可裂项求和。和。备备 注注：（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数, ,即：即： （其中（其中q q不为不为0 0）, ,此时此时, ,数列为等比数列，数列为等比数列，a a

5、n n=a=a1 1qqn-1n-1. .5.5.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)a=f(n)an n 类的类的递推递推公式，当公式，当f(1)f(2)f(n)f(1)f(2)f(n)的值可以求得时，宜采用此方法的值可以求得时，宜采用此方法求求通项通项。1nnaqa ( (也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法） （2）当）当f(n)为为n的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.121121nnnnnaaaaaaaa 11 ,1,1.nnnnanaaana 例例 已已知知数数列列中中求求数数列列的的通通项项公公式式1321221122 1113 2nnnnnaaaann

6、aaaaannn 22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana 例例设设是是首首项项为为 的的正正数数项项数数列列 且且求求的的通通项项公公式式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan 由由（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列 an 为等差数列为等差数列; ;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列 an 为等比数列为等比数列; ;（3 3）若）若cc1 1且且dd0 0时，数列时，数列aan n 为线性递推数列，为线性递推数列，6.6.辅助数列法辅助数列法 主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=ca=can n+d(c+d(c0)0)的已

7、知递推关系式的已知递推关系式求通项公式。求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）., 232, 1.11nnnnaaanaa求求有有时时，当当中中，在在数数列列例例22323322323(322332)23(323233322221）【方方法法一一】迭迭代代法法：nnnnnnaaaaaa. 132131323223232331113211nnnnnna. 132,3) 1(1) 1(31, 1, 23,23),(3)(1111111nnnnnnnnnnnnaaaaamaamaamama即于是，得对比则设转化为等比数列【方法二】待定系数法说明说明l其通项可通过构造辅助数列来求其通

8、项可通过构造辅助数列来求.待定系数法待定系数法l 设设an+1+m=c( an+m),得得an+1=can+(c-1)m, l与题设与题设an+1=can+d,比较系数得比较系数得: (c-1)m=d,l所以有：所以有：m=d/(c-1) l因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，为首项，以以c为公比的等比数列，为公比的等比数列，1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：)2232311naaaannnn（由递推关系，得：数列【方法三】转化为等比. 132,3423,3)(),( 311112111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa

9、a所以即将上述两式相减，得：22323322233( 32322332)23( 323, 23, 1, 2323234223211）得：由与证明【方法四】归纳、猜想aaaaaaaann. 132) 1333(231321nnnnna猜想：形如 构造辅助数列例：已知数列例：已知数列 满足满足 ， 求数列求数列 的通项公式的通项公式na1232nnnaana21a1123 ,6nnnaaa变式：已知数列变式：已知数列 满足满足 ， 求数列求数列 的通项公式的通项公式nana注意：若注意：若p=q,则化为等差数列求通项则化为等差数列求通项 若若 ，则要构造等比数列求通项，则要构造等比数列求通项qp形

10、如 构造辅助数列均均不不为为零零）rqprqapaannn,(1.,12, 1111nnnnnaaaaaa求求通通项项满满足足例例、已已知知数数列列.,32, 1111nnnnnaaaaaa求求通通项项满满足足变变式式、已已知知数数列列倒数法：若倒数法：若p=r,则化为等差数列求通项则化为等差数列求通项 若若 ，则要构造等比数列求通项，则要构造等比数列求通项rp111122(2)1112nnnnnnnnnassssssnss （）是是首首项项为为公公差差为为- -的的等等差差数数列列111,32ns类类型型)(nnafS 例已知数列的首项通项与前 项和 之例已知数列的首项通项与前 项和 之间满足求数列的通项公式间满足求数列的通项公式11.3,2(2).nnnnnnnaaansassna 前前n项和项和Sn 例例中中是是它它的的前前 和和 并并且且设设求求证证是是等等比比数数列列设设求求证