第5章刚体定轴转动01

1、 第五章第五章 刚体的转动刚体的转动1 1 刚体刚体 刚体的运动刚体的运动 一一. 刚体刚体 二二. 刚体的平动和转动刚体的平动和转动 三三. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 2 2 刚体定轴转动的角动量及转动动能刚体定轴转动的角动量及转动动能 转动惯量转动惯量 一一. 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 二二. 刚体定轴转动的转动动能刚体定轴转动的转动动能 三三. 转动惯量转动惯量 3 3 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 一一. 转动定律转动定律 二二. 转动定律的应用转动定律的应用作业：作业：5.2， 5.4 ， 5.6 ， 5.11， 5.12前面学习了质点力学，所谓前

2、面学习了质点力学，所谓质点质点就是就是当物体的大小和形状对研究物体的运动状态当物体的大小和形状对研究物体的运动状态没有影响或影响可以忽略时，没有影响或影响可以忽略时，可以把物体抽象为一个有质量的点，可以把物体抽象为一个有质量的点，这种理想化模型方法给研究物体的运动带来很大方便这种理想化模型方法给研究物体的运动带来很大方便但是并不是所有运动物体都可以抽象为但是并不是所有运动物体都可以抽象为质点质点，有些物体的运动和物体的形状、大小有很大关系。有些物体的运动和物体的形状、大小有很大关系。例如，例如，门绕门轴转动，门的不同部位的运动情况是不同的；门绕门轴转动，门的不同部位的运动情况是不同的； 地球自

3、转。地球自转。当研究门轴转动和地球自转时当研究门轴转动和地球自转时就不能把门和地球抽象为质点。就不能把门和地球抽象为质点。发现发现 无论是门还是地球，无论是门还是地球，它们在运动过程中，虽然各个部位的运动情况不同，它们在运动过程中，虽然各个部位的运动情况不同，但是在运动过程中，它们的但是在运动过程中，它们的体积体积和和形状形状没有发生变化没有发生变化或者说各个部位的或者说各个部位的相对位置相对位置没有发生改变没有发生改变这类研究对象这类研究对象刚体刚体1 1 刚体刚体 刚体的运动刚体的运动 一一. 刚体刚体 定义定义把在受力时不改变形状和体积的物体；把在受力时不改变形状和体积的物体；或者物体在

4、运动过程中各部分之间不发生或者物体在运动过程中各部分之间不发生相对运动相对运动刚体刚体第五章第五章 刚体的转动刚体的转动地球的自身在不断地发生变化，地球的自身在不断地发生变化，大陆漂移，陆地下沉，山脉增高。大陆漂移，陆地下沉，山脉增高。说明：说明：v 刚体也是理想化模型刚体也是理想化模型事实上，当物体受力或运动时，事实上，当物体受力或运动时，它们的形状和体积总是要发生变化，它们的形状和体积总是要发生变化，只是对于刚体来说这种变化很小，只是对于刚体来说这种变化很小，对于刚体的运动的影响可以忽略对于刚体的运动的影响可以忽略v 刚体可以看成是由许多质点组成，刚体可以看成是由许多质点组成， 每个质点称

5、作刚体的每个质点称作刚体的质元质元把刚体分成许多小部分，当每部分的体积足够小时把刚体分成许多小部分，当每部分的体积足够小时每一部分的大小和形状对其运动的影响可以忽略，每一部分的大小和形状对其运动的影响可以忽略， 这一个个小部分就可以看作质点这一个个小部分就可以看作质点 v 在外力作用下，各在外力作用下，各质元质元之间的相对位置保持不变之间的相对位置保持不变所以刚体实际是一所以刚体实际是一质元相对位置固定质元相对位置固定的特殊质点系。的特殊质点系。质点系力学的结论可直接应用于刚体质点系力学的结论可直接应用于刚体二二. 刚体的平动和转动刚体的平动和转动v 平动平动如果刚体在运动过程中，连接刚体内任

6、意两点的如果刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线在空间的指向保持平行，这样的运动叫直线在空间的指向保持平行，这样的运动叫平动平动特征：特征：在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样， 而且在同一时刻质元的速度和加速度都相同而且在同一时刻质元的速度和加速度都相同因此描述刚体平动时，因此描述刚体平动时， 就可以用就可以用 刚体上任一点的运动来代表，刚体上任一点的运动来代表， 通常就用刚体通常就用刚体质心质心的运动来代表的运动来代表 整个刚体的整个刚体的平动平动，研究方法就是前面讲的质点力学研究方法就是前面讲的质点力学v 转动转动如果刚体在运动过程中，连接

7、刚体内任意两点的如果刚体在运动过程中，连接刚体内任意两点的直线在空间的指向不平行，这样的运动叫直线在空间的指向不平行，这样的运动叫转动转动定轴转动：定轴转动：刚体绕一固定在空间的轴转动。刚体绕一固定在空间的轴转动。 门，刚体转动实验仪门，刚体转动实验仪绕心转动：绕心转动：下落的粉笔下落的粉笔1v三三. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 刚体定轴转动的特征刚体定轴转动的特征如图，如图，一刚体绕固定轴一刚体绕固定轴 转动转动oo v 各质元在垂直轴的平面内各质元在垂直轴的平面内作以轴上点为圆心的圆周运动作以轴上点为圆心的圆周运动v 各质元的线速度、线加速度一般是不同的，各质元的线速度、线加速度一般是不

8、同的，但描述各质元作圆周运动的角量但描述各质元作圆周运动的角量如角位移、角速度、角加速度都是一样的。如角位移、角速度、角加速度都是一样的。oo 2v1m2m 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述oo im角位移角位移质元作圆周运动的角位移质元作圆周运动的角位移称作刚体定轴转动的称作刚体定轴转动的角位移角位移角速度角速度dtd 质元作圆周运动的角速度质元作圆周运动的角速度称作刚体定轴转动的称作刚体定轴转动的角速度角速度大小：大小：方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则oo im方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则伸出右手，伸出右手，弯曲四指表示刚体转动方向弯曲四指表示刚体转动方向大拇指指向为大拇指

9、指向为角速度角速度的方向的方向平行固定轴，平行固定轴， 只有两个方向只有两个方向表示刚体：表示刚体： 要么绕轴要么绕轴顺时针顺时针转动，转动， 要么绕轴要么绕轴逆时针逆时针转动转动iv对任一质元对任一质元 ，相对，相对轴上圆心的矢径为轴上圆心的矢径为 imiriirv 角加速度角加速度dtd 角速度角速度oo imiriv匀加速转动匀加速转动t 0常常数数 2021tt 质元作圆周运动线速度质元作圆周运动线速度与与角速度角速度之间的关系为之间的关系为oo iv2 2 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 转动惯量转动惯量一一. 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量在刚体上任取一质元在刚

10、体上任取一质元 im质元在垂直轴的平面内质元在垂直轴的平面内作圆周运动，圆心记作作圆周运动，圆心记作 ioiiivmrLiz 则质元对点则质元对点 的角动量记作的角动量记作izLio质元质元 对轴的角动量对轴的角动量imirim质元对点质元对点 矢径记作矢径记作 ，质元动量为，质元动量为iriivmioioiiivmrLiz 质元质元 对轴的角动量对轴的角动量im把所有把所有质元对轴的角动量质元对轴的角动量的的矢量和矢量和就定义为就定义为刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量cbabcacba)()()( iiivmrLLiz iirv )(iiirrmLoo ivirimimioiiiii

11、irrrrrr)()()( 2iirmL0 iirr)( ir2iiirrr )(oo ivirimio )(2iirmL )(iiirrmL质点运动时有动能，质点运动时有动能，同样刚体绕定轴转动时也具有动能同样刚体绕定轴转动时也具有动能上节指出刚体是由若干个相对位置固定的质元上节指出刚体是由若干个相对位置固定的质元组成的特殊质点系组成的特殊质点系所以刚体的动能就等于所有质元的动能的代数和所以刚体的动能就等于所有质元的动能的代数和设刚体中第设刚体中第 i 个质元的动能为个质元的动能为221iiiKvmE im为第为第 i 个质元的质量个质元的质量iv为第为第 i 个质元的个质元的线速度的大小线

12、速度的大小oo ivirim则则刚体的动能刚体的动能记作记作KE 221iiiKKvmEE二二. 刚体定轴转动的转动动能刚体定轴转动的转动动能 221iiiKKvmEEoo ivirimiirv 2221 iiKrmE2221)( iiKrmE此动能是刚体因转动而具有的动能，此动能是刚体因转动而具有的动能，称作称作刚体的转动动能刚体的转动动能。oo ivirim )(2iirmL2221)( iiKrmE221mvEKvmP与质点比较与质点比较刚体刚体 2iirmJ刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 2iirmJ三三. 转动惯量转动惯量v 物理意义：物理意义：质点只作平动，质点只作平动，质量

13、质量是质点作平动时物体惯性的量度是质点作平动时物体惯性的量度转动惯量转动惯量是刚体作定轴转动时，转动惯性大小的量度是刚体作定轴转动时，转动惯性大小的量度vmP oo ivirim)(2iirmL22)(21iiKrmE221JJ 2iirmJJL v 与刚体运动无关与刚体运动无关JJ只与刚体质量、质量分布、只与刚体质量、质量分布、以及固定轴的选择有关以及固定轴的选择有关v 是质元到固定轴的垂直距离是质元到固定轴的垂直距离iroo ivirimimiov 的计算的计算J刚体的质量离散分布刚体的质量离散分布刚体的质量连续分布刚体的质量连续分布 2iirmJ dmrJ2关于关于 计算的规律计算的规律

14、 J 对同一轴对同一轴 具有可叠加性具有可叠加性JdmrJ22212dmrdmr21JJ 证明：（略）证明：（略）Cdoimirir 平行轴定理平行轴定理刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J 等于等于对通过质心与之平行的轴的转动惯量对通过质心与之平行的轴的转动惯量JC 加上刚体质量加上刚体质量m 乘以两平行轴间距离乘以两平行轴间距离d 的平方的平方2mdJJC 例例1.刚体是由刚体是由4 个质量为个质量为m 的小球组成，的小球组成，小球之间用轻质杆连接成边长为小球之间用轻质杆连接成边长为a 正方形，正方形，如图。求：刚体对轴如图。求：刚体对轴1 的转动惯量的转动惯量1ma解：解：

15、 2iirmJ224)(amJ 2ma 当当a 不变时，刚体质量分布一定，不变时，刚体质量分布一定， m 越大越大 越大越大J当当m 不变时，刚体质量大小一定，不变时，刚体质量大小一定， a 越大，质量分布离轴越远越大，质量分布离轴越远 越大越大J21ma2maJ 求：刚体对轴求：刚体对轴2 的转动惯量的转动惯量 2iirmJ22maJ 这说明对不同的固定轴这说明对不同的固定轴转动惯量一般是不同的。转动惯量一般是不同的。例例2.一质量为一质量为m ，半径为，半径为R 的均质圆环，的均质圆环，求：圆环对中心轴的转动惯量求：圆环对中心轴的转动惯量R dmrJ2解：解： dmRJ22mR 思考：思考

16、：圆环对过直径的轴的转动惯量圆环对过直径的轴的转动惯量例例3.一质量为一质量为m ，半径为，半径为R 的均质圆盘，的均质圆盘，求：圆盘对中心轴的转动惯量求：圆盘对中心轴的转动惯量 dJJ解：解：设圆盘的质量面密度为设圆盘的质量面密度为取一与圆盘同心的圆环带半径为取一与圆盘同心的圆环带半径为rrdrdm2 rdrdr宽度为宽度为圆环带的质量圆环带的质量2Rm 圆环对中心轴的转动惯量为圆环对中心轴的转动惯量为2dmrdJ Rdrr032421R 221mR 思考：思考：半径相同、质量相同的圆环和均质圆盘半径相同、质量相同的圆环和均质圆盘 对过中心轴的转动惯量谁大谁小？对过中心轴的转动惯量谁大谁小？

17、221mRJ RR2mRJ 例例4.一根长为一根长为L，质量为，质量为m ，的均质细棒，的均质细棒，求：棒对垂直棒方向的中垂线的转动惯量求：棒对垂直棒方向的中垂线的转动惯量 dJJ解：解：设细棒的质量线密度为设细棒的质量线密度为drdm 其质量其质量Lm 对轴的转动惯量为对轴的转动惯量为2dmrdJ 222LLdrr8323L 2121mL Lrdr距轴距轴 处取一线元处取一线元drr求：棒对过棒一端垂直棒方向的轴的转动惯量求：棒对过棒一端垂直棒方向的轴的转动惯量2121mLJ L222314121mLLmmLJ 过质心轴的转动惯量过质心轴的转动惯量根据平行轴定理根据平行轴定理求：求： T 型

18、尺对过型尺对过o点垂直点垂直T 型尺平面的轴的转动惯量型尺平面的轴的转动惯量例例 5. 如图有如图有 T 型尺，由两根长均为型尺，由两根长均为L，质量均为质量均为m 的均质细棒组成，的均质细棒组成，LLo解：解：将将T 型尺分成两部分型尺分成两部分1221121mLJ 2231mLJ 221125mLJJJ3 3 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 在质点力学中，在质点力学中，质点角动量随时间变化率决定于质点所受合外力矩，质点角动量随时间变化率决定于质点所受合外力矩，即即dtLdM 刚体作定轴转动，刚体作定轴转动，其角动量随时间变化率决定于什么呢？其角动量随时间变化率决定于什么呢？?

19、 dtLdizLLoo ivirimio如图如图dtLddtLdzi由质点角动量定理由质点角动量定理zziiMdtLd izM是第是第 个质点所受个质点所受合力合力对对 点的力矩点的力矩iio)(iiiifFrMz 称作称作对轴的力矩对轴的力矩质元质元 对点对点 的角动量的角动量ioimoo ivirimio dtLddtLdzizziiMdtLd )(iiiifFrMz if是内力合力是内力合力iF是外力合力是外力合力称作称作对轴的力矩对轴的力矩 iiiifrFrdtLd可以证明可以证明0 iifroo ivirimio iiFrdtLd各质元所受外力的合力各质元所受外力的合力对轴的力矩的矢

20、量和对轴的力矩的矢量和称作称作刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩 iiFrMMdtLd 表明：表明：刚体定轴转动的角动量随时间变化率刚体定轴转动的角动量随时间变化率决定于决定于刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩MdtLd JL MdtdJ dtd JM 刚体定轴转动的刚体定轴转动的转动定律转动定律上式表明：上式表明：刚体在合外力矩的作用下，刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，所获得的角加速度与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量成反比。并与转动惯量成反比。一一. 转动定律转动定律JM 讨论讨论v 它是描述刚体作定轴转动的动力学方程，它是描述刚体作定轴转动的动力学方程， 它

21、的地位与描述质点运动的牛顿第二定律相当。它的地位与描述质点运动的牛顿第二定律相当。v 上式清楚地表明，上式清楚地表明， 转动惯量是量度刚体转动惯性的物理量。转动惯量是量度刚体转动惯性的物理量。JM 一定时，一定时， 愈大，愈大， 就愈小，愈难改变刚体的就愈小，愈难改变刚体的角速度，或者说刚体愈能保持其原来的转动状态。角速度，或者说刚体愈能保持其原来的转动状态。JM 一定时，一定时， 愈小，愈小， 就愈大，愈容易改变刚体就愈大，愈容易改变刚体的角速度，或者说刚体愈易改变其原来的转动状态的角速度，或者说刚体愈易改变其原来的转动状态JM oo ivirimiov 转动定律的标量形式转动定律的标量形式

22、dtd 对于刚体定轴转动，对于刚体定轴转动， 方向平行固定轴，方向平行固定轴， 只有两个可能方向只有两个可能方向的方向，的方向，平行固定轴平行固定轴，M要么使刚体绕轴要么使刚体绕轴顺时针顺时针转动，转动，要么使刚体绕轴要么使刚体绕轴逆时针逆时针转动转动M规定一个转动绕向（规定一个转动绕向（顺时针顺时针或或逆时针逆时针）为正方向，）为正方向，上述矢量式就可以化为标量式上述矢量式就可以化为标量式JM JM 例如规定刚体例如规定刚体逆时针逆时针转动方向为正方向转动方向为正方向表示合外力矩使刚体表示合外力矩使刚体逆时针逆时针转动转动表示合外力矩使刚体表示合外力矩使刚体顺时针顺时针转动转动0 M0 M，

23、M有正有负有正有负oo irimiov 刚体所受合外力矩刚体所受合外力矩 iiFrM是质元到轴的距离是质元到轴的距离irM 的方向平行轴，的方向平行轴，且由矢量叉乘定义且由矢量叉乘定义 垂直垂直 决定的平面决定的平面MiiFr，MiF的方向应在的方向应在垂直轴的平面内垂直轴的平面内如果外力不在垂直轴的平面内，必须把外力分解成如果外力不在垂直轴的平面内，必须把外力分解成两个分力，两个分力，只有与轴垂直的分力才能使物体转动。只有与轴垂直的分力才能使物体转动。iFv 刚体所受合外力矩的计算刚体所受合外力矩的计算 iiFrM规定了刚体转动的正方向，规定了刚体转动的正方向，上式计算也可化为标量式上式计算

24、也可化为标量式 iiirFMsin iF 使刚体有向使刚体有向逆时针逆时针方向方向转动的趋势，取转动的趋势，取有向有向顺时针顺时针方向转动的趋方向转动的趋势，势， 取取 oo irioiFim例如规定使刚体例如规定使刚体逆时针逆时针转动方向为正方向转动方向为正方向 iiirFMsin 刚体某几个点受力刚体某几个点受力 iiirFMsin力臂力臂 iriiirrsin 外力的作用线与轴的距离外力的作用线与轴的距离 iirFM iirFoo irioiFim ir 刚体每一点都受力刚体每一点都受力在点在点P 附近处取一质元附近处取一质元 dm ，该质元受力为该质元受力为oo rioPF在刚体上任取

25、一点在刚体上任取一点P，距轴距离为距轴距离为rdmdmFFd 对轴的力矩为对轴的力矩为FdrMd FP 点附近单位质量点附近单位质量所受外力为所受外力为 oo rioPFdmdmFFd 对轴的力矩为对轴的力矩为FdrMd 外力对整个刚体的力矩外力对整个刚体的力矩 FdrMdM dmFrM dmFrMsindmFr二二. 转动定律的应用转动定律的应用例例5.质量分别为质量分别为m1 ， m2 的两物体用一细绳挂在的两物体用一细绳挂在定滑轮两侧，滑轮质量为定滑轮两侧，滑轮质量为M ， m1 m2 求：滑轮受到的拉力求：滑轮受到的拉力T1 ， T2 及角加速度。及角加速度。M2m1m解：解：o滑轮视为刚体，滑轮视为刚体，绕固定定轴绕固定定轴o 转动转动受力分析如图受力分析如图1T2ToNGM2m1m1T2ToNGR选择滑轮选择滑轮逆时针逆时针旋转为正方向旋转为正方向RTRT21 ，0NG和和 对轴的力矩对轴的力矩 1T2T和和 对轴的力矩对轴的力矩 合外力矩合外力矩RTRTM21 由转动定律由转动定律JM JRTT )(21分别选分别选m1 ， m2 为研究对象为研究对象M2m1mJRTT )(21受力分析如图受力分析如图