高考数学数列的通项公式

1、数列通项的求法数列通项的求法 数列是高中代数的重要内容之一，也是初等数学与高等数学的衔接点，因而在历年的高考试题中占有较大的比重，在这类问题中，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点。一、一、观察法观察法观察法观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数n的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。例1 写出下列数列的一个通项公式an： ， ， ， ， 1 ， ， ， ， ， ，解出答案来2343871615323131455167解：解：注意分母分别是 22，23，24，25，分子比分母少1，故 由奇数项特征和偶数项特征得：an=22111nnna) 12(1 knn)2(1

2、knnn二、二、逐差求和法逐差求和法若数列an满足an+1-an=f(n) (nN)，其中f(n)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求an。适用于差为特殊数列的数列。例2 求数列1，3，7，13，21，的一个通项公式。解出答案来例3 在数列an中，a1=1，an+1=2an+2x3n，求通项an。 解出答案来注意：注意： 最后一个式子出现 an-1 ，必须验证 n=1，此时 a1=1，适合 上式，故 an=n2-n+1。解：解：a2-a1=3-1=2a3-a2=7-3=4a4-a3=13-7=6an-an-1=2(n-1)an-a1=21+2+3+(n-1)=n2-nan=n2-n+1

3、返回解：解：an+1=2an+2x3nan=2an-1+2x3n-1，以上(n-1)个式子相加有 an=2x3n-5x2n-1， 当 n=1时，a1=2x31-5x20=1，适合上式， an=2x3n-5x2n-1 。)2(,2322)(111naannnnn,2322,2322)()(222331122aaaa)(2322111nnnnnaa返回三、三、逐商求积法逐商求积法若数列an满足 (nN)，其中数 列f(n)前 n项积可求，则通项 an可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。)(1nfaann例4 求数列1，2，8，64，1024，的通项公式an。解略例5 在数列an中，a

4、1=2，求an 。解略 推广：an+1=f(n)an型一般用累乘法。 ,11nnaann四、四、利用利用Sn与与an的关系的关系利用an= 可解决许多已知an与Sn的关系题目中的an 。S1=a1(n=1) ，SnSn-1(n2)例6 设an是正数组成的数列，其前 n 项和为Sn，并且对于所有自然数 n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，求数列的通项an (1994年高考题) 。解出答案来例7 已知数列 an 满足 a1=1，Sn=n2an (n2) ，求通项公式 an 。解出答案来解：解：由题意可知an+1=Sn+1-Sn (n1)(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知

5、 an+1+an0， an+1-an=4即数列 an 是等差数列，其中 a1=2，d=4an=4n-2nnSa2228)2(2nnaS)2()2(212181nnnaaa返回解：解：an = an=n2an-(n-1)2an-1 (n2) 以上(n-1)个式子相乘有 又当n=1时，a1=1，符合题意。故该数列通项公式：1 (n=1)SnSn-1 (n2)111nnaann,2.,53,42,3121342312nnaaaaaaaann, )2(111nnnaann, )2() 1(2nnnan)1(2nnan返回五、五、归纳法归纳法对于一些由递推关系给出的数列，可以通过先研究前 n项的结构与项

6、数 n的内在联系，用不完全归纳法对 an 作出猜想，然后，再用数学归纳法给予证明，这个方法也是求数列通项的一种基本方法。例8 在正数数列an中，a1=1且求 an。 解出答案来, )1(21nnnaaS解：解：解得，a1=1, 0, )1(2111111aaaaS且)1(2122212aaaaS又012222 aa122a34,2343aa同理可得1nnan故猜想通项然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。(略)返回六、六、构造等差、等比数列法构造等差、等比数列法对于一些递推关系较复杂的数列，可通过对递推关系公式的变形、整理，从中构造出一个新的等比或等差数列，从而将问题转化为前面已解决的几种情形

7、来处理。例9 已知数列an满足 a0=4，a1=1，且 an= 解出答案来.21), 2(2nnnaNnnaa求它的通项公式解：)2(221naaannn)(21211nnnnaaaa21211nnnnaaaa所以数列an-an-1 (n2)是以首项为a2-a1=3/2，公比为q=-1/2的等比数列，)2()21(2321naannn21123012)21(23,.,)21(23,)21(23nnnaaaaaa继续)2(2) 1(21nannn以上各式相加得当 n=0，1时，有a0=4，a1=1，符合上式，该数列通项公式为：.)2, 1, 0(2) 1(21nannn返回例10 各项非0的数列an，首项 a1=1，且2Sn2=2anSn-an (n2)，试求数列的通项 an。解出答案来解：解：2Sn2=2Snan-an，an=Sn-Sn-1 (n2)2Sn2=2Sn2-2SnSn-1-Sn+Sn-1)2(2111nssnn,12111为公差的等差数列以为首项是以数列SSn121, 122) 1(11nSnnSnn3211211nnSSannn)2()32)(12(2nnn又a1=S1=1不适合上式，数列通项公式为：an=), 2() 32)(12(2) 1(