空间的曲线及其方程PPT学习教案

1、会计学1空间的曲线及其方程空间的曲线及其方程2021年10月17日星期日2四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。（一）椭球面1222222 czbyax第1页/共26页2021年10月17日星期日3椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 222221xyzac 旋转椭球面222210 xzacy 由椭圆 或 绕z轴旋转而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面2222xyza方程可写为第2页/共26页2021年

2、10月17日星期日4（二）抛物面zqypx 2222（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 xoy (z=0) 去截；设p与q都大于零。（2）用平面 去截；11(0)zz z （3）用坐标面 xoz 或 yoz 去截；（4）用平面 去截；11xxyy或或yoxz第3页/共26页2021年10月17日星期日5zxyo椭圆抛物面的图形如下：0, 0 qpxyzo0, 0 qp特殊地：当p=q时，方程变为zpypx 2222旋转抛物面第4页/共26页2021年10月17日星期日6（2）双曲抛物面（马鞍面）zqypx 2222( p与q同号 )用截痕法讨论：设0, 0 qpxzyo

3、第5页/共26页2021年10月17日星期日7（三）双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyoz（1）zoxy.第6页/共26页2021年10月17日星期日8双叶双曲面1222222 czbyaxxyo（2）xoyz第7页/共26页2021年10月17日星期日9 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程xozy1S2S空间曲线C可看作空间两曲面的交线：注意：空间曲线的曲线方程 不是唯一的。第四节 空间曲线及其方程C第8页/共26页2021年10月17日星期日10例1 下列方程组表示怎样的曲线？xyxyz222221(1)1 xyz221(2)0 xyzz2221(3)0 x

4、tytzcos(4)sin0 xyxyz221(5)2336 第9页/共26页2021年10月17日星期日11例2 方程组 表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz 上半球面,4)2(222ayax 圆柱面,交线如图。第10页/共26页2021年10月17日星期日12 )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程（2）消去参数t，可得到两个柱面方程，因此空间曲线的参数方程也可视为两张柱面的交线。注：（1）随着参数t 的变化可得到曲线上的全部点(x, y, z)。例3 设空间一动点M在圆柱面 上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升，试求该动

5、点M运动的轨迹方程。222ayx 第11页/共26页2021年10月17日星期日13M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM xatyatzvtcossin 螺旋线的参数方程取时间t为参数，动点M从A(a,0,0)点出发解经过t 时间，运动到M (x, y, z)处在圆 上，xyaz2220 所以AM t xyzo M第12页/共26页2021年10月17日星期日14螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比，即上升的高度 bh2螺距 ,2 Pyz0 xatMNQ螺距第13页/共26页20

6、21年10月17日星期日15三、空间曲线在坐标面上的投影1. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面CSCxyozC称为曲线C在xoy平面上的投影曲线。S称为曲线C关于xoy平面的投影柱面2. 空间曲线C 的投影曲线与投影柱面的方程 0),(0),(zyxGzyxF设空间曲线C的一般方程：第14页/共26页2021年10月17日星期日16消去z得：h x y( , )0 表示：以曲线C(或C)为准线，母线平行于z轴的柱面曲线C关于xoy平面的投影柱面。( , )00h x yCz 表示：曲线C的投影柱面与xoy平面的交线曲线C在xoy平面上的投影曲线。类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影h y

7、 zx( , )00 h x zy( , )00 面上的投影曲线yoz面上的投影曲线xoz第15页/共26页2021年10月17日星期日17如图:投影曲线的研究过程空间曲线投影曲线投影柱面第16页/共26页2021年10月17日星期日18例4 求曲线 在坐标面上的投影。 211222zzyx解（1）消去变量z后得xy2234在 面上的投影为xoyxyz22340 第17页/共26页2021年10月17日星期日19所以在xoz面上的投影为线段:xzy3|2120 （3）同理在yoz面上的投影也为线段:xyz03|212 （2）因为曲线在平面 上，21 z第18页/共26页2021年10月17日星

8、期日20截线方程为 0222zyxxzy解xyz225400 xyxyxz 2252400 xzxzxy 22200yzyzx 第19页/共26页2021年10月17日星期日21补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面第20页/共26页2021年10月17日星期日22例6 设一个立体由上半球面 和锥面解半球面和锥面的交线为22224:3()zxyCzxy 221zxy消消去去得得投投影影柱柱面面面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC2210 xyz 面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy221xy224zxy223()zxy 所围成，求它在xoy平面上的投影。第21页/共26页2021年10月17日星期日23思考题求椭圆抛物面 与抛物柱面 的交线关于xoy平面的投影柱面和在xoy平面上的投影曲线的方程。zxy 222zx 22解22222yxzxz 交线方程为221xy在xoy面上的投影为2210 xyz 第22页/共26页2021年10月17日星期日24 。平平面面的的投投影影在在的的交交线线及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1. 11 22zyx解yxzo得交线L：由例7第23页/共26页2021年10月17日星期日25z =0.21 11 22zyxyxzo解122 yxL 所求投影曲线为所求