理学11利息度量PPT学习教案

1、会计学1理学理学11利息度量利息度量2第1页/共62页3第2页/共62页4第3页/共62页5第4页/共62页6n本金之间的差额。第5页/共62页7生的。第6页/共62页8的性质？第7页/共62页9对应哪些生活中的实例？对应哪些生活中的实例？第8页/共62页1010ta(t)累积函数？对应哪些生活中的实例？对应哪些生活中的实例？第9页/共62页11第10页/共62页12( )( )(1), 1I nA nA nn1221( , )( )( )I t tA tA t第11页/共62页13(1)(0)iaa(1)(0)(1)(0)(1)(0)(0)(0)aaAAIiaAA当期利息期初本金第12页/共

2、62页14( )(1)( )(1)(1)nA nA nI niA nA n附注：附注：第13页/共62页15第14页/共62页16(0)1000, (1)1020, (2)1050(1)(1)(0)20 (2)(2)(1)30AAAIAAIAA2(2)302.94%(1)1020IiA1(1)202%(0)1000IiA第15页/共62页17n上述单利的积累函数对 t 0 的整数值才有定义。(0)1(1)1( )1aaia tit 第16页/共62页18的时期产生相同的利息。()( )( ) 1, 0,0a tsa ta sts当当 t 为非整数时，单利的累积函数（为非整数时，单利的累积函数（

3、了解了解）：）：0stt+ s第17页/共62页190()( )( )lima ta ta t在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得00( )(0)tta s dsads0( ) 1lima0( )(0)limaa(0)a( )(0)(0)a tat a ( )(0)(0)a tat a 第18页/共62页20)0(1)0()0()(atatata现在只需求出)0(a，即可求得单利条件下的累积函数 若令t = 1，则由上式有 )0(1) 1 (aa而由前面可知，a(1) = 1 + iia)0(因此a(t) = 1 + it 上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一

4、切大于零的时间 t 都是成立的。第19页/共62页21单利的累积函数单利的累积函数 第20页/共62页221 (1)ini问题问题: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？因此，实际利率是 n 的递减函数。( )(1)(1)na na nia n(1)1(1) 1(1)ini ni n单利与实际利率的关系：单利与实际利率的关系：第21页/共62页23(4)2000(14 8%)2640A 264020006402000 8% 4利息金额本金 利率 时期第22页/共62页24, 年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：212121360()30()()YYM

5、MDD其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。第23页/共62页25第24页/共62页26算的利息金额为4511000 0.0898.8365360 1 30 (96)(10 17)443 4431000 0.0898.443604511000 0.08100.2360第25页/共62页27n问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多是多少？连续利率计息。121221 2( ) ( )(1)(1)1(1)( )a t a titititi t tita t 第26页/共62页28n再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利利滚利”。第27页/共62页29( )(1)ta

6、 ti第28页/共62页30()( )( ), 0,0a tsa ta sts设a(t)可导，则由导数的定义得0()( )( )limsa tsa ta ts0( ) ( )( )limsa t a sa ts0( ) 1( )limsa sa ts( ) (0)a t a如何求出a(t)的表达式？( )(0)( )a taa t第29页/共62页31( )ln ( )(0)( )a tda taa tdt将 t 换成 r，并将等式从0到 t 积分，有00ln ( )(0)ttda r dradrdrln ( )ln (0)(0)a tataln ( )(0)a tta注：a(0)=1求出 即

7、可！(0)a第30页/共62页32ln (1)(0)aa( )(1)ta ti可见，对于非整数 t，同样有ln ( )ln(1) a tti(1)1ai 若取 t =1, 则有又因为故(0)ln (1)ln(1)aai因此由ln ( )(0)a tta可以求得第31页/共62页33复利的累积函数复利的累积函数 第32页/共62页34(1) 11ii( )(1)(1)na na nia n11(1)(1)(1)nnniii复利与实际利率的关系复利与实际利率的关系第33页/共62页3500.511.511.522.533.544.555.5复利单利第34页/共62页36 单利累积函数：是一条直线

8、复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。 两个交点：0和1。00.511.511.522.533.544.555.5复利单利第35页/共62页37第36页/共62页38第37页/共62页3900.20.40.60.811.21.41.61.8211.21.41.61.822.22.42.6xa(x)单 利 和 复 利 的 累 积 函 数 的 比 较 （ i=60%)复 利单 利第38页/共62页40(0) (1 5 11%)1000(0)645.16AA 5(0) (1 11%)1000(0)593.47AA第39页/共62页410t1a(t)a -1(t)1第40页/共62

9、页4211( )(1)atit1( )(1)tati第41页/共62页43 单利和复利的现值比较：金额为单利和复利的现值比较：金额为1 00.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=10% compound interestsimple interest第42页/共62页4400.20.40.60.811.21.41.61.8200.10.20.30.40.50.60.70.80.91t1/a(t)i=40% compound interestsimple interest 单利和复利的现值比较：金额为单利和复

10、利的现值比较：金额为1 第43页/共62页45第44页/共62页46iv11ti)1 ( (1+ i) 累积因子： accumulation factor t年累积因子：t-year accumulation factor贴现因子： discount factorvt t年贴现因子： t-year discount factor几个术语：几个术语：第45页/共62页47n贴现按期末余额计算，在期初支付。n例：例：A向银行借100，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A支付94，一年后A还给银行100。贴现率为6。利率是多少？当期利息实际贴现率期末累积值第46页/共62页48( )(1)( )(

11、)nnIA nA ndA nA n( )(1)(1)(1(1)( )11na na ni ni nida ni ni n 1( )(1)(1)(1)( )(1)1nnnna na niiida nii是常数。第47页/共62页491did1idi11+ i01当期利息：i根据贴现率的定义第48页/共62页501-d101当期利息：d期末的1元在期初的现值为：1(1) i 此现值用 贴现率d 表示即为：111(1)11ddid 故有下图：1did根据利率的定义，有第49页/共62页51viiiiid111div证明：注注：把期末支付的利息 i 贴现到期初，即得 iv，等于在期初支付的 d。换言之

12、，期末的 i 相当于期初的 d。利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（3）第50页/共62页52v = 1 dviiid11111解释解释：期末的1在期初的现值既可以表示为 v，也可以表示为1 d。 ttd)1 ( ttd)1 (贴现函数可表示为 a1(t) = 累积函数可表示为 a(t) = 011v（1d）利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（4）证明：第51页/共62页53i d = idididivid)1 (解释解释：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息，(1 d)元本金在期末时可以赚取d元利息。产生(i d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元差额。而

13、这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id。本金（Principal ）利息（interest）累积值（Accumulated value）1i1 + i1 - dd1 本金之差: d 利息之差 di 利息之差: i d 利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（5）证明：第52页/共62页54111ndni 例例: i = 5% = 1/20, d = 1/211idi1/11 1/1nnn证明：证明：利率利率 i 与贴现率与贴现率 d 的关系（的关系（6）第53页/共62页551idi0246810121416182000.10.20.30.40.50.60.70.80.91id利率贴现率利率利率 i 和贴现率和贴现率d 的关系的关系第54页/共62页561did00.10.20.30.40.50.60.70.80.9102468101214161820di贴现率利率贴现率贴现率 d 和利率和利率 i 的关系的关系第55页/共62页57第56页/共62页58n而储蓄的利率为 5.25 5.26n因此投资债券合算。115%5.26%2019di 第57页/共62页59