抛物线的简单几何性质综合PPT学习教案

1、会计学1抛物线的简单几何性质综合抛物线的简单几何性质综合一、温故知新(一) 圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线 .当0e0) (2)开口向左 y2 = -2px (p0)(3)开口向上 x2 = 2py (p0) (4)开口向下 x2 = -2py (p0)第1页/共92页CMFle=1H 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和和一条定直线一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛物线抛物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到

2、 l 的距离的距离准线焦点d的轨迹是抛物线。则点若MMNMF, 1第2页/共92页标准方程标准方程 图形图形焦点焦点准线准线xyOFly2=2pxy2=-2pxxyOFlx2=2pyx2=-2pyxyOFlxyOFl(,0)2pF(0,)2pF2px(0,)2pF(,0)2pF 2px 2py 2py 第3页/共92页第4页/共92页第5页/共92页yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而0p 0 x 所以抛物线的范围为0 x 第6页/共92页(

3、, )x y关于x轴对称( ,)xy 由于点 也满足 ，故抛物线(p0)关于x轴对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)第7页/共92页定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。、顶点第8页/共92页离心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.第

4、9页/共92页5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下第10页/共92页特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)P越大开口越大第11页/共92页方程图形准线焦点对称轴)0(22ppxy)0(22

5、ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx)0 ,(2pF) 0 ,(2pF ), 0(2pF), 0(2pF2px2px2yp2py x轴x轴y轴y轴oxFOylxFOylxFOylxFOyl第12页/共92页练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F) 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下第13页/共92页（二）归纳：抛物线的几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOl

6、FyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1第14页/共92页第15页/共92页xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图. pp,2 pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.P越大,开口越开阔第16页/共92页 1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直

7、线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是 . 2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线 上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为 。24yx1648 3课堂练习：第17页/共92页连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFPx0p/2第18页/共92页焦半径及焦半径公式抛物线上一点到焦点的距离P(x0，y0)在y2=2px上， P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,20pxPF 02xpPF 20pyPF 02ypPF 第19页/共92页归纳: (1)、抛物

8、线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为, 、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.第20页/共92页因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx2 2三、典例精析第21页/共92页24yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234y(2)描点：022.83.54(3)连线：11xy

9、O第22页/共92页课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).20 xy2165yx2第23页/共92页求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点是（0，4）（2）顶点在原点，准线是x4（3）焦点是F（0，5），准线是y5（4）顶点在原点，焦点在x轴上，过点A（2，4）练习yx162yx202xy162xy82第24页/共92页（三）、例题讲解：练习：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,)的抛物线的标准方程为yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.A第25页/共92页yx

10、xyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例题讲解：练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5, )到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为52A第26页/共92页探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。第27页/共92页例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知

11、灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解之: p=445故所求抛物线的标准方程为: y2= x,245焦点为( ,0)845第28页/共92页 1(2).lyk x 解：直线 的方程为xyxky4)2(12由方程组244(21)0kyyk可得 只有一个公共点200,16(21)0kkkk 或 11,0,2kk 或 或 k=第29页/共92页有两个公共点201

12、6(21)0kkk 110, 02kk 或没有公共点2016(21)0kkk 11, 2kk 或11,0,2kkk 综上所述 当或或时,直线与抛物线只有一个公共点;11002kk 当或时,直线与抛物线有两个公共点;112kk 当或时,直线与抛物线没有公共点。第30页/共92页24l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？xoy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,2）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=3代入得26水面宽例题3第31页/共92页 （1

13、）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。 22(0)ypx p（2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。 24yx4 342（3）已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是 。24yx(4,2) 四、课堂练习第32页/共92页34B有困难，找准线！第33页/共92页35已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_ ) 1,41(有困难，找准线！第34页/共92页有困难，找准线！第35页/共92页6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ

14、|的最小值为( ) A. B. C. D.21yx321021923C第36页/共92页第37页/共92页4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.22168yxxy 或22124yxyx 或第38页/共92页第39页/共92页【变式训练变式训练】直线直线y ykxkx2 2与抛物线与抛物线y y2 28x8x有且只有一个公有且只有一个公共点，则共点，则k k的值为的值为( )( )（A A）1 1 （B B）1 1或或3 3（C C）0 0 （D D）1 1或或0 0【解析解析】选选D.D.由由 得得

15、kyky2 28y8y16160 0，若，若k k0 0，则则y y2 2，若，若k0k0，则，则0 0，即，即646464k64k0,0,解得解得k k1 1，此，此时直线时直线y ykxkx2 2与抛物线与抛物线y y2 28x8x有且只有一个公共点，综有且只有一个公共点，综上上,k,k0 0或或k k1.1.2ykx2,y8xD第40页/共92页kk k0 0k k = = 0 0, ,或或 = =1 16 6- -1 16 6k k = = 0 0k k = = 0 0, ,或或 k k = =1 1第41页/共92页第42页/共92页第43页/共92页第44页/共92页第45页/共9

16、2页第46页/共92页 五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：、范围：2、对称性：、对称性：3、顶点：、顶点：4、离心率：、离心率：5、通径：、通径：6、光学性质：、光学性质： 从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.第47页/共92页第48页/共92页试试看!第49页/共92页x1x2p px1x2 y1y2p py1y2 第50页/共92页判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交