2.3.2抛物线的简单几何性质PPT课件

1、 前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回顾：第1页/共39页图图 形形方方 程程焦焦 点点准准 线线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px 2px2py2py )0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）第2页/共39页练习练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上） 方程方程焦点焦点准线准线开口方向开口方向xy62yx420722 yx)0 ,(23F)0 , 1(F)

2、 1 , 0(F), 0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下第3页/共39页yox)0,2(pFP(x,y)一、一、抛物线抛物线的的几何性质几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2 =2px（p0）220pxy而0p 0 x 所以抛物线的范围为0 x 第4页/共39页( , )x y关于x轴对称( ,)xy 由于点 也满足 ，故抛物线(p0)关于x轴对称.( ,)xyy2 = 2pxy2 = 2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)第5页/共39页定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线

3、的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。、顶点第6页/共39页4、离心率yox)0,2(pFP(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。第7页/共39页5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-

4、y，y轴负半轴，向下第8页/共39页特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)第9页/共39页（二）归纳：抛物线（二）归纳：抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(

5、pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1第10页/共39页例：已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M M（，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M M（，），2 2解：解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M M在抛物线上：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：2 2第11页/共39页24yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234y(

6、2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO第12页/共39页变式题：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M M（，），抛物线的标准方程。2 2（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：第13页/共39页（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习：顶点在坐标原点，焦点在y y轴上，并且经过点M M（4,4,) )的抛物线的标准方程为yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.第14页/共39页yxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习2 2：顶点在坐标原点，对称轴是X X轴，点M M（-5, )-5, )到焦点距离为6 6

7、, ,则抛物线的标准方程为52第15页/共39页变式题2 2：已抛物线C C的顶点在坐标原点，焦点F F在X X轴的正半轴上, ,若抛物线上一动点P P到A(2, 1/3),FA(2, 1/3),F两点的距离之和最小值为4,4,求抛物线的标准方程。（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：第16页/共39页课本例4P4P6161：斜率为1 1的直线l l 经过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点, ,且与抛物线相交于A A，B B两点，求线段ABAB的长。（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：课本例题推广： 直线l l 经过抛物线y2=2pxy2=2px的焦点, ,且与抛物线相交于A A，B B两点，

8、则线段ABAB的长|AB|=x1+x2+P|AB|=x1+x2+P. .第17页/共39页练习3 3：已知过抛物线y y2 2=9x=9x的焦点的弦长为1212, ,则弦所在直线的倾斜角是（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：2323434656. DCBA或或或或或或第18页/共39页练习4 4：若直线l l 经过抛物线y y2 2=4x=4x的焦点, , 与抛物线相交于A A，B B两点, ,且线段ABAB的中点的横坐标为2 2, ,求线段ABAB的长. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：第19页/共39页课本例5P5P6262：已知抛物线的方程为y y2 2=4x=4x, ,直线l l

9、 经过点P(-2,1),P(-2,1),斜率为k k. .当k k为何值时, ,直线与抛物线: :只有一个公共点; ;有两个公共点: :没有公共点. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：第20页/共39页变式题3 3：已知直线y=(a+1)xy=(a+1)x与曲线y y2 2=ax=ax恰有一个公共点, ,求实数a a的值. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：第21页/共39页练习5 5：已知直线y=kx+2y=kx+2与抛物线y y2 2=8x=8x恰有一个公共点, ,则实数k k的值为（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：01 .0 .31 .1 .或或或或DCBA第22页/共39页例

10、4 4：已知过点Q(4,1)Q(4,1)作抛物线y y2 2=8x=8x的弦AB,AB,恰被Q Q平分, ,求弦ABAB所在的直线方程. .（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习6 6：求以Q(1,-1)Q(1,-1)为中点的抛物线y y2 2=8x=8x的弦ABAB所在的直线方程. .第23页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题4 4：求过点P(0,1)P(0,1)且与抛物线y y2 2=2x=2x只有一个公共点的直线方程. .第24页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：例5 5：求抛物线y y2 2=64x=64x上的点到直线4x+3y+46=04x+3y+46

11、=0的距离的最小值, ,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标. .第25页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习7 7：抛物线y=-xy=-x2 2上的点到直线4x+3y-8=04x+3y-8=0的距离的最小值是3 .585734DCBA第26页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：练习8 8： 抛物线y y2 2=x=x和圆(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1上最近的两点之间的距离是( )( )1.1.2.1.211210 DCBA第27页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：例6 6：已知抛物线y=2xy=2x2 2上两点A(xA(x1 1,y,y1

12、 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )关于直线y=x+my=x+m对称, ,若x x1 1x x2 2= =- -1/21/2, ,则m m的值为( )( )232532.2 .DCBA第28页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题6 6：已知直线y=x+by=x+b与抛物线x x2 2=2y=2y交于A,BA,B两点, ,且OAOBOAOB(O(O为坐标原点),),求b b的值. .232532.2 .DCBA第29页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：例7(7(习题2.3B2.3B组2P2P6464) )：正三角形的一个顶点位于原点, ,另外两个顶点在抛

13、物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上, ,求这个三角形的边长. .yOxBA分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.第30页/共39页线上，线上，在抛物在抛物、的顶点的顶点解：如图，设正三角形解：如图，设正三角形BAOAByOxBA），则），则，）、（）、（，且坐标分别为（且坐标分别为（2211yxyx.22222121pxypxy ，所以：，所以：又又22222121|yxyxOBOA ，即：即：022212221 pxpxxx. 022121 ）（）（pxxxx，020021 pxx.21xx .|21轴对称轴

14、对称关于关于，即线段，即线段由此可得由此可得xAByy 第31页/共39页，且且轴轴垂垂直直于于因因为为设设oAOxABxyxA30),(11 yOxBA.3330tan11 oxy，pyx2211 .342|1pyAB .321py 所以所以第32页/共39页（三）、（三）、例题讲解：例题讲解：变式题7(7(复习参考题A A组7P7P6868) )：正三角形的一个顶点位于抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点, ,另外两个顶点在抛物线上, ,求这个三角形的边长. .分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.yOx

15、BAF第33页/共39页课堂练习：课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F F为（0 0，5 5）; ;（2）顶点在原点，关于x x轴对称, ,并且经过点M(5,-4).M(5,-4).20 xy2165yx2第34页/共39页例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB 设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得230240p22(0)ypx p454p所求的标准方程为焦点坐标为2252yx45(,0)8第35页/共39页补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中（标准方程中2p的几何意义）的几何意义）利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的两个、通径的两个端点端点可较准确画出可较准确画出反映抛物