聚合物电光热光混合集成光开关研究课件

1、 I摘 要 论文题目：聚合物电光热光混合集成光开关研究 作 者：曹子谏 指导教师：张大明 教授 专 业：微电子学与固体电子学 随着二零一二年宽带中国战略的部署，光通信在国内的发展将进入新阶段，整个光通信产业链都将飞速发展，光缆厂商、光模块供应商、系统集成商都将从中受益。二零一二年也将成为 100G 光通信在中国正式商用的元年。中国光通信市场规模巨大，目前国内光模块市场 2.5G 以下产品竞争激烈，10G，40G，100G光模块产品发展受限，究其原因主要是高速芯片成本居高不下。在这样的市场环境下，开展高速光开关器件的研究符合国家的战略部署，有着重要的现实意义。 光开关是光通信网络的核心器件，目前

2、大规模商用的光开关仍以无机材料为主，从材料本身的性质来讲，极化聚合物材料理论上的带宽可达 100G 以上，聚合物材料的其他性质又与无机材料有着明显差别。因此，本论文结合聚合物材料特点，从材料性质，器件结构，制备工艺与器件测试四个方面对低成本的高速聚合物光开关器件展开研究： （1）高性价比的光开关材料性质表征 本论文从高速调制器性价比方面考虑选择聚合物材料分散红 1 掺杂聚甲基丙烯酸甲酯(Dispersed Red 1/poly(methyl methacrylate)，DR1/PMMA)与聚甲基丙烯酸甲酯(poly(methyl methacrylate)，PMMA)作为器件工艺材料。 首先，

3、采用椭偏仪表征了材料在红外通信波段的折射率分布，实验结果显示合成的 DR1/PMMA 材料在 1550 nm 波长下折射率为 1.507。 其次，为表征对材料的热学性质，论文完成了材料的 TGA 与 DSC 测试。TGA测试结果显示材料 5% 热分解温度为 200以上，这表明材料具有一定的热稳定性。DSC 结果显示材料的玻璃态转变温度为 102.6，根据这一参数，可以设定材料的极化温度为 110。 （2）混合集成光开关结构设计 首先，本论文分析了实现光开关的原理，针对聚合物材料热光系数大，积聚热量的能力比较好的性质，提出了带有热光偏置结构的马赫-曾德尔干涉仪型热光电光混合集成光开关。热光偏置结

4、构使得器件可以采用电流驱动的方式来 II 调整器件的工作点，保证在较小的电压水平上实现器件的偏置。 其次，论文采用有效折射率法，分析了器件的波导结构。对采用不同衬底材料的波导的结构进行分析，采用二氧化硅作为衬底材料的情况下，波导的功率限制因子相对采用 PMMA 作为下包层的波导要提高 3.18%。论文采用束传播法模拟了材料在不同驱动情况下的光场传输情况。 （3）专用工艺仪器设备研制 在器件制备工艺方面，论文完成过程中，实现了非线性聚合物极化系统，反射法测试系统。 首先，独立完成了新型多功能程控非线性聚合物极化系统。 论文中聚合物材料采用旋涂法成膜，通过蒸发，光刻，湿法刻蚀，反应离子刻蚀等工艺步

5、骤制备了器件的波导结构与电极结构。但是非线性聚合物材料本身对外并不表现出极性，只有将材料的温度加热到玻璃态转变温度以上，并施加一定的电场的情况下，可以使材料中的生色团分子取向，该过程称为极化。市场上没有极化工艺设备在销售，所以本论文完成过程中为了实现材料中生色团分子的取向，设计实现了非线性聚合物极化系统（PM-II）。 其次，完成了新型可程控反射法测试系统。 为了表征聚合物材料在电场作用下折射率的改变情况，论文设计并实现了极化聚合物电光系数测量系统，该系统工作在 1550 nm 波长下，可以表征聚合物材料的电光系数 33。通过对无机材料 GaAs 的电光系数测试校准之后，可以表征材料的极化效果

6、，测试结果表明 DR1/PMMA 材料在 1550 nm 波长下的电光系数在 9.3 pm/V。 （4）器件性能测试 与无机材料相比聚合物材料较为柔软，采用微波探针测试很容易对器件造成不可恢复的物理损伤。为此，论文设计了新的测试治具，采用该测试治具可以使器件的电极受到保护，同时可为器件的端面提供保护，并可以完成器件的接触极化。 大信号测试结果显示，器件的上升时间为 12.5 ns，下降时间为 10.0 ns。热光谱扫描测试结果显示器件在 13 mW 的驱动功耗下最大可以实现 21 dB 的消光比。 关键词： 电光开关，热光开关，平面光波回路，聚合物 IIIAbstract Title: Inv

7、estigation on Polymeric Electro- and Thermo-Optical Hybrid Integrated Optical Switch Author: Zijian Cao Supervisor: Professor Daming Zhang Specialty: Microelectronics and Solid State Electronics With the publication of national broadband strategy, the development of optical communication in China en

8、ters a new era. Therefore, the whole industry chain of optical communication is being promoted from the fiber optic cable manufacturers, optical module suppliers to system integrators. And the year of 2012 will also become the first year of commercial 100G optical communication application. There ar

9、e keen competitions in the domestic optical module market of 2.5G products. Limited by the chip costs, 10G, 40G, 100G optical module products are limited by the expensive chip price. In such a circumstance, study on high speed optical switch is in line with the national strategic deployment and it h

10、as an important practical significance. Optical switch is the core device of the optical communication network, and the majority of commercial optical switch still bases on inorganic materials. The polarized polymer material theoretical bandwidth is up to 100G or more. There is a significant differe

11、nce between polymeric materials and inorganic materials. Full using of the properties of polymeric material may be complementing the deficiencies in the inorganic materials. Based on all the points above, low cost and high speed polymer optical switching devices are studied in the following four asp

12、ects: material properties, device structure, processing and device characterization. (1) Characterization of high cost performance material properties Dispersed Red 1 (DR1) doped poly(methyl methacrylate) (PMMA) and PMMA are selected as the core and cladding materials respectively. First, the ellips

13、ometry experimental result shows that the index of material is 1.507 (1550 nm). IV Second, the TGA test result indicates that the temperature with 5% weight loss of DR1/PMMA is over 200 . This result shows that the DR1/PMMA has a good thermal stability. The glass transition temperature of DR1/PMMA i

14、s 102.6 tested by DSC method. Based on these two results, the poling temperature is chosen as 110 . (2) Design of hybrid integrated optical switch First, theory of optical switches is demonstrated. Because of the polymer has a big thermo-optical coefficient and a good thermo collection ability, a th

15、ermo- and electro- hybrid integrated optical switching device with Mach Zehnder structure is proposed. And in this structure, there is a thermo-optical bias which is designed to adjust device working point. And it guarantees that this optical switch is a current drive device and its driving voltage

16、can stay in a low level. Second, the waveguide properties are analyzed by the Effective Index Method (EIM). For different lower-cladding materials, the power confined factor is computed. The power confined factor of the waveguide with SiO2 lower cladding is 3.18 % bigger than the one with PMMA lower

17、 cladding. Optical field propagation progress under different biases is analyzed by the Beam Propagation Method. (3) Design and set-up of special fabrication instruments At the device fabrication aspect, non-linear polymer poling system and the reflection method electro-optical (EO) coefficient char

18、acterization system are designed and set up. Design a new type non-linear polymer poling system. The polymer film is fabricated by the method of spin-coat. After the process of metal evaporation, lithograph, wet etch, dry etch etc. the device containing waveguide and electrode is obtained. The non-l

19、inear polymers do not have the EO coefficient. There is a process called poling which is demonstrated by the following statements: rising the device temperature a little higher than the glass transition temperature of DR1/PMMA, applying a direct current electric field across the film for minutes, ke

20、eping this electric field, cooling the device. But there is not a commercial equipment to perform this process, so a PM-II is designed to polarize Vdevices. Design and set up a new type programmable EO coefficient characterization system. An EO coefficient test system is designed and set up to chara

21、cterize the index changing ability of DR1/PMMA under the electric field. The experimental result shows that the EO coefficient of DR1/PMMA is 9.3 pm/V. (4) Device performance characterization Comparing with the inorganic material device the polymeric one is softer. The microwave probe can induce per

22、manent damage to device electrodes. For above concern, a new test fixture is designed. This fixture can provide protection for electrodes and ports of devices. The large signal test result shows that the rise time and the fall time of the device are 12.5 ns and 10.0 ns respectively. The thermo-optic

23、al spectrum test result shows that the device extinction ratio is over 21 dB under the driving power of 13 mW. Key words: Electro-optic switches, Thermo-optic switches, Planar lightwave circuit, Polymer I目 录 第 1 章 绪论.1 1.1 光通信领域发展潜力 .1 1.2 光开关的市场需求 .2 1.3 本论文的主要工作及创新点 .4 第 2 章 光开关原理 .5 2.1 光开关分类 .5

24、2.2 光波导模式理论基础 .7 2.3 实现光开关的方法 .18 2.4 小结.21 第 3 章 电光热光混合光开关设计 .23 3.1 聚合物材料性质 .23 3.2 电光性质研究 .27 3.3 热光性质研究 .31 3.4 器件结构设计 .32 3.5 版图设计.35 3.6 小结.37 第 4 章 光开关工艺研究 .39 4.1 光刻.40 4.2 刻蚀.41 4.3 合金（AM-I 设计与实现） .48 4.4 蒸发.49 II 4.5 极化（PM-II 设计与实现）.49 4.6 小结.52 第 5 章 光开关封装与测试技术 .53 5.1 电极加载技术 .54 5.2 小信号测

25、试 .56 5.3 大信号测试 .57 5.4 高频线缆对测试信号的影响 .59 5.5 光谱分析技术 .60 5.6 热光谱扫描技术 .61 5.7 小结.62 第 6 章 结论.65 参考文献.67 作者简介及科研成果 .71 致 谢.73 1 第1章 绪论 1.1 光通信领域发展潜力 当今世界新技术、新产业迅猛发展，孕育着新一轮产业革命，新兴产业正在成为引领未来经济社会发展的重要力量。为此世界大国纷纷调整发展战略，大力培育新兴产业，抢占未来经济科技竞争的制高点。按照科学发展观的要求，中国也在加快转变经济发展方式，推进中国特色的新型工业化进程。交互式网络电视(Internet Protoc

26、ol Television, IPTV)等三重播放业务的开展促进了用户对带宽的需求，光纤到户(Fiber to the Home, FTTH)也在逐渐突破运营商的垄断开始部署。 根据 BroadbandForum1发布的报告，2012 年第一季度全球宽带用户数突破6 亿户，仅中国宽带用户数量就达到 1.64 亿。虽然位列第一，但是国内整体平均带宽很低，宽带普及率不高，有数据统计在 2011 年底中国平均带宽为 1.4 Mbps，世界排名 90。面对这种大而不强的形势，工业和信息化部于 2012 年 3月底启动了全国“宽带普及提速工程”，国务院将新一代信息技术产业作为十二五期间的重点发展方向和主

27、要任务并排在第二位，且设置下一代信息网络产业发展路线专栏，计划在 2015 年城市和农村家庭分别实现平均 20M 和 4M 以上的宽带接入能力，部分发达城市网络接入能力达到 100M。 2012 年九月，在北京“中国国际会展中心”举行了“宽带中国高峰论坛”。论坛上工业和信息化部公布的数据显示，截止到今年七月份，全国 FTTx 城市地区 20 M 及以上覆盖比例达到 65.8%，农村地区 4M 及以上宽带覆盖比例达到80.3%。 “十二五”国家战略性新兴产业发展规划规定了二十个重大工程，宽带中国工程位列第四，这说明宽带中国战略已经确定，中国在光通信行业的投资将持续增长。 光通信的发展带动了整个产

28、业链的发展，包括了光纤生产企业，光模块生产企业，主设备供应商，相应产品测试设备厂商。 2005 年到 2011 年六年间，国内的光纤产能增加了 8.5 倍，光纤需求增加 2 了 8 倍。 光模块企业方面，就国内市场而言，2000 年之前，光模块的加工主要集中在国外，随着国内企业的加入，整个光模块的产业链逐渐形成。国内目前光模块生产厂商的主要产品已经在 2.5G 以上，近两年在众多企业开始在研发上投入更多的资源。国内光模块市场进入一个自主创新的新阶段。要实现自主创新，最大的挑战就在于高端芯片的生产和制作，国内在这方面的研究起步比较晚，众多核心技术集中在国外少数企业，国内企业也逐渐开始完善 10G

29、 产品线，并对 40G 与 100G 光通信产品做出相应的规划。 2012 年在武汉举行的国际通信展上，多家主设备供应商同时转向 100G 的部署和应用，2012 年也成为 100G 正式在我国大规模商用的元年。 光通信部署和及检测解决方案供应商也推出自己的测试产品，只需要一台现场设备即可完成完整的测试过程。 可见中国的光通信发展前景非常光明，有广泛的市场，但也存在很多问题，比如光模块市场方面，2.5 G 以下低端的模块市场门槛逐渐降低，更多的厂家介入，竞争激烈，利润较低，基本处于客户定价状态，10 G 以上高端的光模块，其芯片技术主要集中在国外几个核心企业中，成本受限于材料和技术的进口。在这

30、样的环境下，进行高速光通信芯片的研究，无论是器件材料，制备工艺或者器件测试表征方面，都有着重要的意义，长远来看对宽带中国战略的实施与开展有着辅助促进的作用。 1.2 光开关的市场需求 从技术层面来讲，光通信网络带宽的提高主要有两个方向：一是单通信通道上高的传输速率，二是增加单通信通道上传播的波长数目。 光纤通信系统结构简图如图 1.1，一般包括信号源、光发送机、光学信道和光接收机。其中信号源可以是话音、图像、数据等业务经过信源编码所得到的信号；光发送机主要包括了光开关和光调制器，他们负责将电信号转变成光信号在光学信道上传输。光学信道包括最基本的光纤链路，还有掺铒光纤放大器(Er Doped F

31、iber Amplifier，EDFA)等。先后用过的光通信窗口有 850 nm、1310 nm 和 1550 nm；光接收机将接收到的光信号转变成电信号，经解调可得到 3 发送端发送的语音、图像和数据等信息。 图 1.1 光纤通信系统结构简图 该简图中光学信道部分已经非常成熟，光接收机部分技术稳定，但是信号源方面随着通讯市场需求的不断创新，单位时间传输数据量急剧增大，需要发送的信号速度也不断提高，进而对光发射机的性能提出了更高的要求，于是高速光开关和调制器的研究在世界各国广泛开展2-6。 从器件结构上看，光开关的研究经历了体调制器到波导调制器的转变。从工作机理上看，有热光开关，磁光开关，声光

32、开关，电光开关以及全光开关，其中电光开关主要应用在高速信号的调制方面。从材料体系上看，目前比较成熟的技术是基于无机晶体材料的调制器，以铌酸锂，GaAs 居多，国外有多家公司有商用产品供应，技术相对成熟。 在输出功率一定的情况下，信号源发生信号的幅度会随着信号频率的升高而逐渐减小，当信号频率到达微波频段，信号幅度已经不是信号的重要参数，通常用输出功率的大小来衡量微波信号的强弱。 器件驱动电压的降低将有利于从信号源方面直接降低成本，对整个通信系统的架设成本折算有着积极意义。人们发现极化聚合物材料具有较高的电光效应，并且聚合物材料本身非常适合制备波导型集成光学器件，相比较无机晶体材料的器件，采用聚合

33、物材料具有成本低，加工工艺简单，并且聚合物材料本身介电常数低，容易实现微波和光波的相速度匹配，综合上面这些优点，聚合物材料比较适合制作波导型电光器件。 和无机材料相比，聚合物材料的热光系数要高一个量级以上并且聚合物材料本身具有热传导速度慢的特点，这样的特点又使得聚合物材料适合完成热光开关，采用适当的结构又可以降低驱动功耗。所以，聚合物材料本身适合做电光开关，也适合做热光开关，并可进行混合集成来发挥两种效应的优势实现器 4 件的性能优化。 高速电光器件的测试问题近年来也受到广泛关注，因为通信信号分析一般是电学平台，对于光通信器件的测试表征中间会涉及到通过探测器进行光电，电光的转换问题，这使得器件

34、性能的表征包含了很多的环节。国内外专家对高速电光器件的小信号7,8和大信号测试9,10表征方面做了很多工作。 有源集成光学器件测试过程相对较为复杂，需要考虑到光源和探测器的特性，还涉及到探测信号的锁定与放大，完成一个标准化测试需要激光器，信号源，示波器，直流源，探测器，锁相放大器，光功率计等设备协调工作，很容易因为某个环节的问题导致测试不准确甚至不能完成测试11。在这种情况下，实现一个集中控制平台协调各个设备完成测试有重要的现实意义。 1.3 本论文的主要工作及创新点 本论文在表征了聚合物材料的光学参数的条件下，以光波导模式理论为基础，分析了聚合物材料光开关原理。依据聚合物材料本身热光系数大的

35、特点，设计了热光电光混合光开关。采用光刻，蒸发，刻蚀等半导体工艺完成了器件的制备。设计并制作了非线性聚合物材料极化系统，采用该系统完成了光开关的极化。采用设计的聚合物材料光开关综合测试系统实现了器件的热光谱扫描，开关时间测试，波长相关测试等综合测试过程。 本论文的主要创新点如下： 1. 设计了热光偏置型聚合物电光开关，更容易稳定器件的工作点； 2. 设计并完成了硅基聚合物光开关制作过程中必备的工艺设备，非线性聚合物材料程控极化系统（PM-II）与合金设备（AM-I）； 3. 对器件完成了初步的封装工作，提出了较为简单的封装测试方法； 4. 设计了集成光学器件光学测试系统，可以集中控制各测试设备

36、完成各种有源集成光学器件的测试过程，该系统综合了图像识别，仪器控制，数据统计等多方面功能，实现了高效的实验数据管理。 5 第2章 光开关原理 光开关里面涉及到的光是指激光。激光具有单色性，方向性和相干性的特点，是二十世纪的四大科学发现之一。1960 年激光器的发明使信号的传输和处理手段从电流和无线电波扩展到光波，采用光信号作为载波可以将信息传送的更远，远距离的光通信成为可能。但是，恒定的光信号并不能承载信息，需要对光信号进行调制，从调制机理上来讲，有内调制和外调制的分别。内调制是指对激光器进行直接调制，通常是通过调节注入电流调节发出激光的强度，但是直接调制会引起激光器的频率啁啾，对通信信号质量

37、有严重的影响，所以高速通信一般采用外调制。在光传输的链路上通过各种效应改变传输光信号的强度。光开关就是在光通信链路上实现光信号通断或者偏转的一种器件。 激光器、棱镜、透镜、反射镜、光调制器、光探测器相互协作，可以完成光信号处理与通信。早期的光通信设备体积庞大，在实验室条件下工作具有可行性，但是并不具有实际应用价值，所以在 20 世纪六十年代后期，“集成光学”的概念开始广泛提及。关于集成光学的早期历史综述可以从Tamir12和Miller13编著的书籍中了解。 2.1 光开关分类 光开关技术相对成熟，各种产品被应用于光线路保护（Optical Line Protection, OLP），光线路监

38、控（Optical Line Monitor, OLM），可重构型光分叉复用设备（Reconfigurable Optical add-drop Multiplexer, ROADM），网络交叉连接（Optical Cross Connect, OXC）等系统和网络节点中，其中 OXC实现网间数据交换，ROADM 实现网络与用户之间的数据交换。采用不同的分类标准可以将光开关划分为不同的类型。图 2.1 显示了主要的光开关类型。按照器件的结构和尺寸大小可以分为体材料光开关和波导光开关。 体材料光开关可以承受较高的功率，但是体积一般较大，需要较多的材料并且会消耗较高的驱动功耗。 机械式光开关开关速

39、度慢（毫秒量级），体积一般较大，但是工作稳定可靠， 6 插损和串扰小，主要应用在 OLP，ROADM 和测试等环节。 随着半导体工艺的发展，微电子机械系统(Microelectromechanical systems,MEMS)逐渐应用在光开关的实现上。MEMS 光开关具有交换容量大，插入损耗较低，并且可以长期稳定工作的特点，主要用在大容量骨干网的 OXC 实现上。 图 2.1 光开关的典型分类方法 通信系统的信号调制主要是依赖波导型光开关实现，波导型光开关具有体积小，功耗低，因此容易实现相关模块的小型化，适合构造大型通信系统。波导型光开关按照工作机理又可以划分为声光开关，热光开关，磁光开关，

40、电光开关等。 声光开关响应速度快（纳秒到微妙量级），但是因为插损较大，超声换能器的功耗较大等原因，主要用在波长选择开关上。 热光开关开关速度较慢处于毫秒量级，但是功耗相对较低，体积小巧，集成度高，主要应用在小型光开关光上下路复用器（Optical add-drop Multiplexer，OADM）中。近年来有研究报道表明，采用聚合物材料的平面波导 7 开关也可以在较低的功耗下实现较快的开关速度14。 磁光开关和机械开关相比切换速度较快，应用范围和纯机械开关是一样的，但是成本较机械开关相比较高。 介电材料在电场的作用下，折射率改变的响应速度相对较快，这是电光效应本身的特点。另外因为高频下电信号

41、的传输和控制技术相对成熟，所以容易实现更快速度的光开关，电光开关常应用于高速光通信中信号编码上。 液晶开关在较低的功耗下可以实现较快的切换速度(微妙到毫秒量级)，工作稳定，且偏振无关，但是当端口较多的情况下，插损较大，而且液晶本身的特性决定了这种光开关温度敏感，主要用在 ROADM 中。 实际上上面这些种类的波导光开关都是属于电控光开关，无论其实现折射率变化的物理机理是什么类型，最终都是通过电信号来控制产生需要的物理场。由于 EDFA 的发展和密集波分复用（Dense Wavelength Division Multiplexing，DWDM）技术的成熟，光通信系统中传输部分基本上实现全光化，

42、那么实现全光通信系统的关键就是光交换。所以全光开关在科学研究中有着重要的地位，同时也是实现光计算机的关键器件。全光开关依赖材料的三阶非线性效应，开关速度快（纳秒以下），但是实现开关的光功率要求比较高，较难实现以较低的光功率控制光信号，所以降低全光开关的驱动功率也是全光开关的一项重要任务。 2.2 光波导模式理论基础 光波导定义为能够传输光频电磁波的物理结构，可以用在集成光路中或者在本地和远距离的光通信系统中作为信号传输的媒介。 光波导可以按照其几何形状被划分为平板波导、条形波导或者光纤型波导，按照支持的模式可划分为单模波导和多模波导，按照折射率分布可划分为阶跃折射率波导或者渐变折射率波导，也可

43、以按照材料不同划分为玻璃、半导体、聚合物波导等不同的类型。 介质波导型光开关主要通过器件中的波导对光进行传输，通过波导材料在不同的外界条件作用下自身性质的改变，实现对光传输的控制。材料主要的光学性质就是折射率，该性质随着波长的不同会有所变化。 8 光通信中用到的基本波长有三种： 850nm（短波长波段）：第一代光纤通信系统，光源用发光二极管 LED，多模光纤传输，损耗小于 3 dB/km； 1310nm（长波长波段）：第二代光纤通信系统，光源用激光二极管 LD，单模光纤传输，损耗小于 0.5 dB/km； 1550nm（长波长波段）：第三代光纤通信系统，光源用激光二极管 LD 或分布反馈激光器

44、 DFB，单模光纤传输，损耗小于 0.2 dB/km。 本论文中凡涉及到材料的折射率若没有特殊说明，均为 1550 nm 波长下的测试结果。 不同的光学材料在同一波长下的折射率不同，高折射率材料被低折射率材料包覆之后可以形成满足光传输条件的光学通道波导。波导可以将光限制在一定范围内进行传输，这个基本原理和光纤的传输光原理是一样的。 光波导的作用类似集成电路里面的金属线，金属线传输电流，波导传输光，但是与金属线不同的是，光波传输的过程是以确切的光学模式在波导中传播。模式定义为光能量在一维或者多维空间上的稳定分布，这种能量分布在时间域上是保持恒定的15。 如图 2.2 所示，设定坐标系 O-XYZ

45、，X 方向垂直于波导界面，介电常数是坐标 x 的函数，可以表示为 e = e( x) 。这种三层平板波导属于二维波导，在一个维度上对光能量进行限制，结构简单，是分析矩形截面结构波导的基础。很多作者论述了这种结构，包括 McWhorter16、Mckenna17、Tien18、Marcuse19、Taylor and Yariv20和 Kogelnik21。 图 2.2 三层平板波导结构 9 从数学的角度进行定义，模式是一个电磁场。在本节的关于模式理论的讨论中我们做如下假设： 1. 不同区域之间的材料折射率是突变的，使得介电常数的分布满足 e= 0 的条件。 2. 包层材料的厚度是无限大的，从而

46、在包层区域 x 方向可以不考虑反射。 在这样的前提下，模式满足矢量波动方程 222 2EEc te = (2.1) 222 2HHc te = (2.2) 其中 E 为电场矢量，e 是介电常数，c 是真空中光速。方程(2.1)的解具有如下形式 ( , , , ) ( , ,)i tE x y z t E x y z ew= (2.3) 式中w 是光波的角频率，也就是辐射的频率。 令002kcw pl= = ，0k 为真空中波数，0l 为真空中光波长，方程(2.1)和(2.2)可以统一的用标量亥姆霍兹方程来表示 ( ) ( ) ( )2 20 f x , y , z + k e x fx , y , z= 0 (2.4) 其中 f ( x , y ,z) 表示电磁场的某一横向分量。 利用分离变量法求解上述