李艳论文数学与应用数学

1、对数学中变形技巧的探讨 摘要：许多数学问题都有一定的难度，解决它们不能依靠定性思维，往往需要一定的技巧，而在这些技巧中最常用的就是变形，它既灵活又多变，一个法则，一个公式，它的表述形式是多种多样的。 变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学学习过程中，变形是重要的基础知识和基本技能，是探索数学问题解答的一种有效的解题方法，是开拓思路，发展智力，培养能力的一种较好的途径。本文主要介绍了变形技巧在初等数学和代数中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以

2、很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。关键词：数学、变形、技巧一、前言数学是一门逻辑性非常强的学科，各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个相互交错的立体空间.因此为了培养数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力，除了要对数学知识有一定的理解，还有学会常用的一些解决数学问题中的方法技巧.数学问题并不是一成不变的，它总是千变万化的，但是万变不离其宗，形变而其质不变.也可以将一个问题等价的变换为其他的问题，即将较难的问题变形为已知的简单的问题。不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有各种不同的方法.各种数学方法与

3、数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的.本文着重介绍变形的概念及其在初等数学和代数中的应用。二、数学变形的简述（一）数学变形的概念对于数学变形的概念，每个人有每个人的理解。通常是把数学中的问题通过等价变换的形式，通过恒等变形，同解变形，参数变形的方式，把原来的数学问题化为我们熟悉的容易解决的问题，从而顺利求得问题的解决。总而言之，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能性的知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.当然它也存在着技巧和方法，也就是人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，

4、乃至灵活应用.（二）数学中常用的思想方法 1数形结合思想在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.2分类讨论思想在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异.分各种不同情况予以考察,这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ,引起分类讨论的因素较多,归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论.分类讨论的解题步骤一般是

5、：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类,统一标准,做到既无遗漏又无重复 ；（3）逐步讨论,分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论. 3.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础,运用方程思想解题可归纳为三个步骤：将所面临的问题转化为方程问题；解这个方程或讨论这个方程,得出相关的结论；将所得出的结论再返回到原问题中去.4.变形思想即等价转换思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和

6、结论,或通过适当的代换转化问题的形式,或利用互为逆否命题的等价关系来实现.常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化.三 、变形技巧的应用变形在数学中确实是一个内涵十分丰富的概念，在一些著名的数学问题解决中，如何巧妙运用变形技巧也是一个非常重要的环节，同时变形技巧的表述形式是多种多样的，例如勾股定理可表述为，亦可表述为，等.若问，这显然是一个不屑回答的问题，但若问就成了最富灵活性的问题，例如，等.可见“变形”实在是一个灵活多变且实用的概念.我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无

7、一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强.本文主要介绍一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效.下面我们来谈谈这几种变形技巧的应用。（一）一元二次方程的变形技巧 一些条件中含有（或可在转化的）一元二次方程的题目，往往不是去解这个二元一次方程，而是对方程进行适当的变形，从而将复杂的问题简单化，有利于问题的解决，现举例介绍常用的变形技巧如下：例：已知x+1/x=3,则x4+3x3-16x3+3x-17的值等于多少？解：由已知得（去分母）x2+1=3x或x2-3x=-1 原式=（x4+2x2+

8、1）+(3x3+3x)-18x2-18 =(x2+1)2+3x(x2+1)-18(x2+1) =9x2+9x2-54x =18(x2-3x) =-18分析：如果要求出x的值代入式子求值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率，节省时间. 总结：我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察他们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题.特别是要灵活应用韦达定理：即如果，为方程的两个根，则，.在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手.关键是要善于观察所要求式子的特点.（二）三角函数

9、的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角函数恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。例：A+B=/4,求（1+tanA）(1+tanB)的值 解：原式=tanA+tanB+(1+tanAtanB) =tan(A+B

10、)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB) =tan/4(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB) =2分析：对于正切和角公式可正用也可逆用，总之如果灵活运用进行等价变换，可使人眼前一亮，题目也将迎刃而解。例： 已知，求的值.解：原式= = = = =0分析：除了这里的外，还有以下等式也经常用到：，灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识.它包括化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数式的变形公式.变形中要注意三角函数定义域

11、和值域的要求，以及符号的变化和选择.(三) “0”的变形技巧“0”是一个特殊的数，它的意义较为丰富，公路边的里程碑上刻着一个“0”的地方，表示这条公路的起点。年终结账时，结存为“0”，表示这一年的收支刚好平衡。速度为“0”，表示相对静止。加速度为“0”，表示车在匀速行驶。由此可见“0”不仅可以表示为没有，也可表示其他的意义。恩格斯在自然辩证法一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数，都等于零，”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活动中我们若能多这些

12、特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面举例“0”的特性在解题中的应用.例：设a为正数，且a1，则a4+4必为合数证明： a4+4=a4+4+4a2-4a2 =(a2+2)2-(2a)2 =(a2+2a+2)(a2-2a+2) =(a+1)2+1(a-1)2+1 又a1 （a+1）2+1与(a-1)2+1都不等于1的正整数 a4+4是一个合数分析：根据合数概念，需设法将a4+4分解成整进的乘积，因此考虑“0”的变式，增拆项分解因式。总结：“0”是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题.如果有些题目可以借助“0”来解决，我们应该充分利用“0”的有关特性去解

13、决.这样可以很快确定解题方向，提高解题效率.(四)“1”的变形技巧众所周知“1”的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们掌握“1”的特性，熟练地用“1”的变式，往往可以简捷的顺利的解决某些问题.下面我们来看它的应用. 化简.解：原式=1说明：本题充分利用使问题巧妙解决.本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦.总结：通过例子可以看出，如果借助“1”来解决有关的数学问题，则效率非常高，因为“1”的变形是多种多样的，对不同的题目，“1”的变形是不同的.有些题目若能利用“1”来求解，那么我们应该灵活应用“1”去解决。四、 代数变形中常用的技巧(一) 代数恒等变形和恒等变形所

14、谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；

15、第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键。代数恒等变形包括的内容比较多，本章本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。(二) 代数中常见的变形代数中常见的变形有整式变形、分式变形、根式变形、对数变形、指数变形、复数变形等等，而各种变形中所用的方法又多种多样，下面我们将具体介绍.1、整式变形 整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识.这些知识都是代数中的最基础的知识.有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形.例如已知、是方程的两根，求-3m-1=0的两根，求4+33的值aaa-=-=+Q解：是-3m-1=0的根 2-3-1=

16、0即2=3+1 则4=(3+1)2=92+6+1=9(3+1)+6+1=33+104+33=33+10+33=33(+)+10又、是-3m-1=0的根，+=3，4+33=109 分析：如果此题按部就班先求出、的值，然后算值那就复杂多了,而且容易计算错误，通过变形一下，先从结论出发，这样不仅提高解题的效率，也提高了准确率。 2、分式变形 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛通常将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧，灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解.分式的恒等变形涉及到的主要内容有

17、：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等 例：已知x/y+z=a,y/z+x=b,z/x+y=c,且x+y+z不等于0，求a/1+a+b/1+b+c/1+c的值 解：由已知可得1+a=1+x/y+z=x+y+z/y+z所以a/1+a=(x/y+z)/(x+y+z)/y+z=x/x+y+z同理b/1+b=y/x+y+z c/1+c=z/x+y+z 所以a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=(x+y+z)/(x+y+z)=1分析：此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂，也不容易求得正确答案。通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行变

18、形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单。因此，对已知条件进行变形也是非常必要的。3、根式变形根式的化简和运算是中学代数的重要内容之一,不少题目用常规方法去解比较繁琐.对于特殊的根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的根号恒等变形方法和技巧举例说明如下,供同学们参考（1）巧用运算性质的恒等变形方法例：计算（2+3）2008（2-3）2009本体的关键是巧用积的乘方的逆运算：anbn=(ab

19、)n 解：原式=（2+3）2008（2-3）2008（2-3） =(2+3)(2-3)20082(2+3) =(-1)2008(2-3) =2-3（2）巧用因式分解法例:计算.解析：本题的关键是将分子中的拆数配方因式分解，进而约分求得结果.原式= = = =（3）利用分母有理化例: 计算.解：原式 = =（4）巧用平方法例: 化简.（2+）（3+2+）解析：本题的关键是对第二个因式提取后，易发现与第一个因式的数量关系，再变形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式原式=（+）（+-） =（+)+（+)- =（+)-2 =2 =12 (5)利用拆项技巧法 例: 计算.解：原式= = （6）利用

20、换元法例: 化简.解：设，则原式=（7）利用配方法例: 化简.分析：本题若采用分母有理化，计算会很复杂，若采用将分子配方，再分解因式后，与分母约分的方法会很简单.解：原式= = =以上所述的这些二次根式的变形技巧，在解决二次根式的问题时，有很大的用处，因此，它作为一种代数变形技巧应被很好的掌握.4、指数变形 有关指数的变形，一般都是利用幂运算法则进行较简便，而对一些比较大小的题目，就更讲究变形的技巧，主要是将底数变为相同，或将指数变为相同.5、对数变形 在对数式的恒等变形中，应注意真数与底数间的相互关系，灵活利用运算法则进行化简和计算。对数的变形主要考虑换底和底数的选择。 例：讨论函数f(x)=logax(bx)(ba0)在定义域内的单调性，并证明你的结论。分析：直接利用单调性的定义进行探索，变形极易受阻，所以，利用对数换底公式进行变形，可供选择的底数有a、b和10，但a、b未完全具备对数底数的资格，故选择以10为底进行变形。解：f(x)=1+据lgb-lga0及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间(0，)和区间(，+)上均为减函数。由此便可知本例的答案6、复数变形 复数的变形技巧对解题的繁简有着决定的作用，比较有典型的有三角变形，代数变