函数模型及其应用分析

1、第二章 函数、导数及其应用第9课时函数模型及其应用第二章 函数、导数及其应用axb ax2bxc 第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调 函数单调 函数单调 函数增长速度越来越 .越来越 .相对平稳图象的变化随x值增大，图象与 轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近 .随n值变化而不同增增增快慢y平行第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用答案：A第二章 函数、导数及其应用2设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以

2、匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D第二章 函数、导数及其应用3某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税已知该企业去年共纳税120万元则税率p%为()A10%B12%C25%D40%第二章 函数、导数及其应用答案：C第二章 函数、导数及其应用4一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年

3、比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0 xm)的函数，其关系式yf(x)可写成_解析：依题意有ya(1p%)x(0 xm)答案：ya(1p%)x(00，y1(10a)x20为增函数又0 x200，xN，第二章 函数、导数及其应用x200时y1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10a)200201 980200a(万美元)又y20.05(x100)2460，0 x120，xN，x100时y2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元第二章 函数、导数及其应用二次函数是我们比较熟悉的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围利用

4、配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取一最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得第二章 函数、导数及其应用1.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角问怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析：如图，剪出的矩形为CDEF，第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用0 x60，当x30时，S取得最小值为600，这时y20.在边长为60 cm的直角边CB上截CD30 cm，在边长为40 cm的直角边AC上截CF20 c

5、m时，能使所剩残料最少第二章 函数、导数及其应用 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速率v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t，0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)(1)当t4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；第二章 函数、导数及其应用(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由解析：(1)由图象可知：当t4时，v3412，s41224(k

6、m)第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值的取舍构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏第二章 函数、导数及其应用2.某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时(1)设在甲家租

7、一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40)，乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40)试求f(x)和g(x)；(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用当x18时，f(x)g(x)，即可以选甲家，也可以选乙家；当180，f(x)g(x)，即选乙家；当300，f(x)g(x)，即选乙家综上所述，当15x18时，选甲家，当x18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18x40时，选乙家第二章 函数、导数及其应用 急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去的40年

8、内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2016年底至多有多少亿？第二章 函数、导数及其应用以下对数值可供计算时使用：N1.0101.0151.0171.3102.000lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0N12.4813.1113.1414.51lg N1.096 21.117 61.118 61.161 6第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用(2)依题意得y13.14(11%)10，两边取对数得，lg ylg 13.1410lg(11%)1.1

9、61 6，y14.51，故2 016年底至多有人口14.51亿第二章 函数、导数及其应用1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型第二章 函数、导数及其应用3.在本例(2)的条件下，要使我国人口总量在2056年底，控制在26.28亿内，则平均年增长率最大是多少？解析：设平均年增长率为x，则1314(1x)5026.28，(1x)502，50lg(1x)lg 2，lg(1x)0.006 02，1x1.015，x0.

10、0151.5%.答：最大增长率为1.5%.第二章 函数、导数及其应用1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 第二章 函数、导数及其应用通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和大纲中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法，此类问题一般涉及到的知识点比较多，综合性较强，属中高档题，题型以解答题为

11、多，但也有选择题和填空题第二章 函数、导数及其应用函数应用题的解题技法轻松圆梦满分 (本小题满分12分)(2011湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20 x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数第二章 函数、导数及其应用(1)当0 x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用第二章 函数、导数及其应用(1)本题有两次建模，一是建立关于速度v，二是建立关于车流量(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛第二章 函数