统计物理与热力学课程陈培锋第四讲

1、第四讲 近独立粒子系平衡态三种统计法一、近独粒子系统的粒子粒子运动状态的经典描述与量子描述的统一 一个自由度为一个自由度为r的粒子的粒子,它的每一个量子态它的每一个量子态“占据占据”着着空间中体积为空间中体积为hs的一个相胞的一个相胞,每每个相胞对应一个量子态。个相胞对应一个量子态。 将经典理论的子相空间按照量子态分区,每一个的体积都取为多个hr,对应一定数量的量子态,经典描述与量子描述统一起来llrh?考虑自旋态 基本粒子都有力学量自旋,是基本粒子的一个固有属性, 与粒子运动状态无关的内禀属性。自旋具有角动量性质,但与轨道角动量有所不同,自旋无经典力学量对应 设一个粒子的自旋为s,意思就是指

2、测量该粒子的自旋角动量沿一确定方向(如外磁场方向)z的分量sz只能取下列的值,1,1,zsssmmssss 自旋共有2s+1个可能的量子态,ms称为自旋量子数,自旋用一个量子数ms表征,故自由度为1。 s只能取正整数(包括0)或者正的半奇数 能级j与简并度l 可以按照能级划分 任务：求平衡态下各个能级上的粒子数al 已知：能级简并度l个量子态内平均分配rllhs12三维平动子能级划分-d三维平动子量子态数 22222,222,1,2,3,2xyyyxznnnxyznnnen n nmabc2222221,1,2,888yxzxyznnnn n nmmmabchhh能量0范围内的总量子态数为上式

3、椭球第一象限的体积 33 231 484128 33mabcvmhh 33413vph括号内正好就是位置空间体积为v、动量空间为0p范围内的子相空间体积 平动运动的能级简并度/(2s+1) d能量间隔内的l 3 234123vmh 3 21 2322vddmdh 33413vph dp动量间隔内的l(6.2.17)(6.2.16)234 vp dph dxdydzdpxdpydpz相空间体元内的l？熟练掌握在经典描述中,根据上一讲的表述,系统宏观分布以j表示子相宇体元，j(jl，2，)表示粒子在子相宇体元j中的能量,n个粒子在各j的分布可以描述如下：子相宇体元 1，2，j能 级 1，2，j，粒

4、子数 a1，a2，aj在量子描述下,上述的描述将变换为：设有一个系统,由大量全同近独立的粒子组成,以l(ll，2，)表示粒子的能级,l表示能级l的简并度。n个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1，2，l，简并度 1，2，l粒子数 a1，a2，al即能级1上有al个粒子,能级2上有a2个粒子,能级l上有al个粒子,。为了书写方便起见,以符号al表示数列a1,a2,al，,称为一个分布。 二、独立分子的能级的特征双原子分子,运动可近似分解成平动(t)、转动(r)、振动(v)、自旋(ms)、电子运动(e)及其核运动(n)等独立部分 12itrvenneeeeeee分子的量子态可以由一组完备的量

5、子数n表征,这组量子数的数目就等于分子的自由度 ,; ,;,; , ,; ,;xyzxyzsnn n n j m v v v s pmi 如果我们不考虑电子及核的运动,则分子中的原子看作圆球,原子间的化学键相当于弹簧。 有点规律吗？itrveeee ,; ,;,;xyzxyzsnn n n j m v v v m三种基本运动的比较 三维平动子能级 刚性转子能级 谐振子能级 1.平动子能级间隔远小于转动能级间隔22222,2 32xyznnnxyzennnmv221 ,2eej jiri012eh2.引入分子转动特征温度 当ttr,能级可以看作连续异核分子tr/k同核分子tr/khd64.0h2

6、87.5hf30.3d242.7hcl15.2n22.86hbr12.1o22.07hi9.0cl20.346co2.77br20.116no2.42i20.05422ei212rti k3.引入分子振动特征温度 tt很难满足, 能级不可以看作连续htkeh分子t/k分子t/kh26210hi 3200n23340cl2810o22230br2470co3070i2310no2690brcl747hcl4140icl553hbr3700不同运动形式的表现分析 平动 转动 振动 上面讨论单粒子量子特性,对多粒子系统还要考虑：微观粒子的全同性原理：任何2个全同粒子的交换不产生新的量子态。以及由此得

7、到的pauli原理占据同一单粒子量子态的费米子不可能超过一个。三、交换对称性对三、交换对称性对多粒子体系多粒子体系的影响的影响量子粒子具有不同的交换特性 需要考虑量子粒子不能编号区分；量子力学中每个状态中的粒子数有没有限制近独粒子系分为三类：玻色、费米、定域子系统玻色子不可分辨,粒子交换不是新的微观态,同一量子态上粒子数不受限制费米子不可分辨,粒子交换不是新的微观态,但同一量子态上粒子数不超过一个定域子粒子可分辨,粒子交换是新的微观态,同一量子态上粒子数不受限制全同多粒子体系的交换对称性与微观粒子的全同性原理 同一类型的粒子(电子、质子、中子、光子、介子以及原子、分子等) 具有完全相同的内禀客

8、观属性(静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等) 微观粒子的全同性原理或全同粒子的不可分辨性：“任何2个全同粒子的交换不产生新的量子态。” 这个原理对全同多粒子体系的波函数的形式加以了很强的限制,波函数不仅要满足薛定谔方程,而且还应该满足这个全同性原理。 实验表明,全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系凡是自旋为整数倍的粒子(即s=0,1,2,3,),波函数对于交换两粒子是对称的,此类粒子称为玻色子(boson)。凡是自旋为半奇数倍的粒子(即s=1/2,3/2,),波函数对于交换两粒子是反对称的,此类粒子称为费米子(fermion)。光子(s=1)、介子(s=0)、k介子(s=1)是

9、玻色子,而电子(s=1/2)、质子(s=1/2)、中子(s=1/2)、介子(s=1/2)、各种超子(s=1/2)是费米子由“基本”粒子组成的复杂粒子,如原子核、原子、分子等,若我们把它们当做不再分解的单元,也就是说在所讨论的问题或过程中其内部状态保持不变,这时可以将它们作为一个整体当成一类全同粒子看待。凡是由奇数个费米子组成的粒子仍为费米子，其自旋为的半奇数倍，波函数是反对称的。凡是由玻色子组成的粒子仍为玻色子，其自旋为的整数倍，波函数是对称的。凡是由偶数个费米子组成的粒子则为玻色子，其自旋为的整数倍，波函数是对称的。费米子与玻色子 依据费米子体系的波函数的反对称性，可以得出著名的pauli原

10、理 “不能有2个或2个以上的全同费米子处在同一单粒子态”。 玻色子不遵守pauli原理，即可以有任意多个玻色子处在相同的单粒子态。关于定域子的特别提示 定域子系统的粒子是可分辨的。 定域子系统的粒子可以用粒子的位置加以分辨，例如晶体中的原子、分子或离子在点阵上作微小振动，粒子可以位置编号分辨。 在量子力学中,若两粒子的波函数不重叠时粒子可分辨(即无共同运动的区域)；当有重叠区域时粒子则不可分辨。定域子势垒无限大,波函数不重叠,故可分辨。量子力学中的全同性原理基点 (1)同类粒子之间的内禀属性的差别是观察不到的,如果一旦可以观察到差别,该原理便破产。 (2) 当粒子的波函数不重叠时,在某一空间区

11、域只有找到特定粒子的概率,其它粒子在该区域不出现,这时不存在全同性原理,粒子可分辨。定域子体系中粒子的波函数不重叠,可用位置对粒子加以编号,此时全同粒子也可分辨,因而任何两个全同粒子交换将产生新的量子态,定域子体系不存在pauli原理。量子粒子的交换特性带来三种分布考虑量子粒子的分布,粒子分为三类：玻色、费米、定域子玻色子不可分辨,粒子交换不是新的微观态,同一量子态上粒子数不受限制,遵守bose-einstein统计。费米子不可分辨,粒子交换不是新的微观态,但同一量子态上粒子数不超过一个,遵守fermi-dirac统计定域子粒子可分辨,粒子交换是新的微观态,同一量子态上粒子数不受限制,遵守mb

12、统计四、一个简单的例子 说明定域子、玻色子、费米子组成的体系在微观状态上的区别 设体系由两个粒子组成，粒子的个体量子态有三个，假设这两个粒子分别为定域子、玻色子、费米子，讨论体系各有多少个可能的微观状态。暂时不考虑总能量限制,只考虑微观态数的不同玻耳兹曼系统 微观态编号个体量子态1个体量子态2个体量子态31a b2a b3a b4ab5ba6ab7ba8ab9ba玻色系统 微观态编号个体量子态1个体量子态2个体量子态31aa2aa3aa4aa5aa6aa费米系统 微观态编号个体量子态1个体量子态2个体量子态31aa2aa3aa五、量子统计 在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学,在

13、量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。 两者在统计原理上是相同的 但系统微观粒子的运动满足量子力学规律, 会对平衡态统计产生深刻的影响：1 1、量子态与相空间体积之间的对应关系、量子态与相空间体积之间的对应关系2 2、交换对称性、交换对称性量子统计原理 对于处在平衡态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的 最概然分布：微观状态状态数最多的分布，出现的概率最大 求宏观分布对应的微观状态数，求极值 有三种微观状态数对应三种分布1、量子态与相空间体积之间的对应关系 对于一个自由度为对于一个自由度为s的粒子的粒子,它的它的空间中大空间中大小为小为hs的相体积的相体积(称为相胞

14、或相格称为相胞或相格)对应一个对应一个量子态量子态,或者说每一个量子态或者说每一个量子态“占据占据”着着空间中体积为空间中体积为hs的一个相胞的一个相胞,每个相胞对应每个相胞对应一个量子态。一个量子态。 注意：这里的量子态不包含自旋,因为相空间中没有自旋自由度。三种统计问题从形式上是统一的aj 设一个系统,由大量全同近独立的粒子组成,具有确定的粒子数n、能量e和体积v。 以j(jl，2，)表示粒子的能级,j表示能级j的简并度。n个粒子在各能级的分布可以描述如下： 能 级 1，2，j， 简并度 1，2，j 粒子数 a1，a2，aj 对于具有确定的n、e、v的系统,分布aj必须满足条件：eanal

15、llll,2、宏观状态al对应的微观状态数 能 级 1，2，l， 简并度 1，2，l 粒子数 a1，a2，al 分布al所对应的微观态数想象：每层楼的高度是,房间数是,求a个人的房间分配方法三种粒子的微观状态数不同 mb分布,粒子可分辨,粒子交换是新的微观态 fd分布,不可分辨的费米子,遵守pauli不相容原理 be分布,不可分辨的玻色子,不受pauli不相容原理的限制不同交换对称性导出分布aj的不同微观态数求微观态数的基本原则求微观态数的基本原则 al描述的是系统的一个宏观态描述的是系统的一个宏观态 但是在分布但是在分布al已确定的前提下还可有不同的已确定的前提下还可有不同的微观状态微观状态

16、 如果粒子可分辨，如果粒子可分辨，两个不同的能级间两个不同的能级间交换一交换一对粒子，属于不同的微观态。如果粒子不可对粒子，属于不同的微观态。如果粒子不可分辨，两能级间交换粒子属于同一微观态分辨，两能级间交换粒子属于同一微观态 al个粒子分配到个粒子分配到l个量子态上，可以有不同的个量子态上，可以有不同的分配方式，对应于不同的微观状态分配方式，对应于不同的微观状态。 (1)粒子可分辨，每个量子态上的粒粒子可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制子数不受限制-定域子定域子 由于粒子可分辨由于粒子可分辨,交换粒子便给出体系的不同交换粒子便给出体系的不同微观状态。在微观状态。在al已确定的前提下已确定的

17、前提下, 把总数把总数n个粒子放到各个个粒子放到各个能级中能级中,第第l个能级上有个能级上有al个个粒粒子的放置数子的放置数为为 !llna多组组合：把n个不同的元素分成n组，第l组有al个不同的元素，即a1+a2+an=n能级内的粒子重新能级内的粒子重新分配分配 对粒子可加以编号对粒子可加以编号,al个编号的粒子占据其能级个编号的粒子占据其能级 l l上上l个量子态时个量子态时,第一个粒子可以占据第一个粒子可以占据 l l个量个量子态中的任何一态子态中的任何一态,有有 l l种可能的占据方式。种可能的占据方式。由于一个量子态能够容纳的粒子数不受限制由于一个量子态能够容纳的粒子数不受限制,第二

18、个粒子仍然有第二个粒子仍然有 l l种可能的占据方式种可能的占据方式,。al个编了号的粒子占据个编了号的粒子占据 l l个量子态将共有个量子态将共有 种可能的占据方式。种可能的占据方式。 a1 1，a2 2，al l，个编了号的粒子分别占据个编了号的粒子分别占据 1 1， 2 2，l l，上各量子态就共有上各量子态就共有 种方式种方式lalllal宏观状态宏观状态al所对应的微观状态数所对应的微观状态数 上标上标mb表示麦克斯韦表示麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 !llamblalllna定域子：粒子可分辨定域子：粒子可分辨,每个量子态上的每个量子态上的粒子数不受限制粒子数不受限制(2)粒

19、子不可分辨，每个量子态上最多只能有一个粒子 -费米子 费米子数费米子数al不能大于量子态数不能大于量子态数 l l，即，即al l l al个不可分辨的费米子占据能级个不可分辨的费米子占据能级 l l上的上的 l l个量子态个量子态,而且每个量子态最多只能容纳一个粒子而且每个量子态最多只能容纳一个粒子 先假设先假设 l l能级上的能级上的al个粒子可以分辨个粒子可以分辨，求其放置的，求其放置的方式数方式数 第第1个粒子可以有个粒子可以有 l l种放法种放法 第第2个粒子可以有个粒子可以有 l l -1种放法种放法 第第al个粒子可以有个粒子可以有 l l -(al-1)种放法种放法 得总放置方

20、式数为得总放置方式数为 l l( l l -1)( l l -2) l l -(al-1)= l l!/( l l -al)!粒子不可分辨 由于粒子不可分辨，在由于粒子不可分辨，在 l l能级上的能级上的al个粒子，个粒子，任何两个粒子交换不会产生新的放法，因任何两个粒子交换不会产生新的放法，因此每此每al!种才有一种放法，故上式应除以种才有一种放法，故上式应除以al!。这样便得到这样便得到al个费米子占据能级个费米子占据能级 l l上的上的 l l个个量子态的可能方式数为量子态的可能方式数为,!llfdlalllcaa考虑所有的能级 所有的能级都有上式的分配数，因此，宏观分布al所对应的微观

21、态数 上标fd表示为费米狄拉克统计 !lfdlallllaa（3）粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制 -玻色子 先计算先计算al个相同的球放在个相同的球放在 l l个盒子里面去，每个盒子里面去，每个盒子里的球没有限制，盒子之间有区别而球个盒子里的球没有限制，盒子之间有区别而球之间没有区别，问有多少种不同的放法？把球之间没有区别，问有多少种不同的放法？把球和盒子混合排列成一行，而且使左方第一个必和盒子混合排列成一行，而且使左方第一个必须是盒子须是盒子 上图是上图是5个盒子，个盒子，10个球，盒子用数字标号因个球，盒子用数字标号因为这些盒子是有区别的（不同量子态）。这种为这些盒子是有区别的

22、（不同量子态）。这种排法中的任何一个就代表一种把球放进盒子的排法中的任何一个就代表一种把球放进盒子的方法，凡是排在两个盒子之间的球都认为放进方法，凡是排在两个盒子之间的球都认为放进左边那个盒子里。左边那个盒子里。 最左方固定为一个盒子（不参与排列），最左方固定为一个盒子（不参与排列），那么其余的盒子和球的总排列数就等于那么其余的盒子和球的总排列数就等于(al+ l l -1)!其中其中al个球的相互交换数为个球的相互交换数为al!应除去。应除去。 l l -1 个盒子的相互交换数为个盒子的相互交换数为( l l -1)!也应当也应当除去，因为盒子本来就不需要进行排列。除去，因为盒子本来就不需要

23、进行排列。这样便可得到这样便可得到al个粒子占据能级个粒子占据能级l上的上的 l l个个量子态的可能方式数为量子态的可能方式数为1 !1 !llllaa 1 !1 !lllbealllaa上标be表示为玻色爱因斯坦统计3、当任一能级l上的粒子数均远小于该能级的量子态数 1lla1 !1 !12!lllbelllallllllmbllllaaaaaan!11!llfdllllalllllmbllllaaaaan 称为经典极限条件，也称非简并性条件 宏观状态宏观状态al所对应的微观状态数所对应的微观状态数 上标上标mb表示麦克斯韦表示麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 !llamblalllna粒

24、子可分辨粒子可分辨,每个量子态上的粒子数不受限制每个量子态上的粒子数不受限制六、mb最概然分布jnjjjjnnw!比较离散情形下的mb分布 平衡态时能级l上的粒子数为(l为该能级的简并度) 式中n是系统总粒子数，z为配分函数， 再由等概率原理可得能量为l的单粒子态上的粒子数lktllnaezlktllzelktlllanfez七、七、fd分布分布 lnln! ln! ln!lnlnlnlnlnlnlfdllllalllllllllllllllllllllllaaaaaaaaaaaa lnlnlnln0lfdllllllllalaaaa即 ln1 ln10lllllaaa lllllfdaa!结合粒子数守恒