材料力学惯性矩

1、2021/6/161第六章第六章 截面的几何性质截面的几何性质 静矩和形心 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结2021/6/162第六章第六章 截面的几何性质截面的几何性质 第一节 静矩和形心一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为 和dAydAz 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：;AydAzS;AzdAyS 静矩为代数值。静矩单位：;33mmm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理

2、可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。2021/6/163 二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：;1niciizyAS;1niciiyzAS四、组合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为、两个矩形，则;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 022

3、2121mymAmymA;36. 148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解为、三个矩形，则;16. 04 . 22 . 0252. 26 . 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc2021/6/164第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点的距离平方的乘积2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为：APdAI;2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面：;3224202DdAIDP 空心圆截面：)();1 (3244DdDIP

4、二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：;2AzdAyI;2AydAzI2021/6/165 定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。;AzydAyzI 特点：惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。 单位：;,44mmm 若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性

5、矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。三、惯性积：2021/6/166 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：;1232/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hbhdzzdAzIbbAy取微面积dA=hdz,则：例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由对称性：,222zy 由几何关系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面积dA=dzdy，则：; 0

6、zyI2021/6/167第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式 一、平行移轴公式：dAaydAadAydAaydAyAz222112)(;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz注意：y、z轴必须是形心轴。二、转轴公式：;2sin2cos221zyyzyzzIIIIII;2sin2cos221zyyzyzyIIIIII;2cos2sin211zyyzyzIIII;)sincos(2211AAzdAzydAyI2021/6/168 第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对正交坐标轴；特点：特点：两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯

7、性矩中的极大值和极小值； 有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直的形心轴； 有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； 无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零的 角，即 形心主惯性轴。0ooyzI 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。o第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。2021/6/169例例54:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。解解:(1)确定形心坐标yc. ;2050050025105

8、005500212211cmyyyc;1017. 25002035125010;1017. 1500520121050452322222452312111cmacmazzzz;1034. 31017217145521cmzzz (2)计算形心主惯性矩： (z、y轴即形心主轴）2021/6/1610小小 结结一、静矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、极惯性矩：实心圆截面： 空心圆截面：三、惯性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、惯性积：矩形截面： 圆形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI几何关系：五、平行移轴公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz2021/6/1611 六、主惯性轴和主惯性矩： 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 主惯性轴（主轴）使 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩；0ooyzI七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程