计量经济学课件：第11讲 联立方程模型

1、2021-9-28金融与统计学院1第第1010讲讲 联立方程模型联立方程模型 Simultaneous-Equation Models第一节第一节 联立方程模型及其假设联立方程模型及其假设第二节第二节 联立方程模型的识别联立方程模型的识别第三节第三节 联立方程模型的参数估计联立方程模型的参数估计第四节第四节 联立方程模型的应用联立方程模型的应用2021-9-28金融与统计学院2第一节第一节 联立方程模型及其假设联立方程模型及其假设一、为什么要分析联立方程组模型二、联立方程模型的变量三、联立方程模型的类型2021-9-28金融与统计学院3一、为什么要分析联立方程模型单方程计量经济学模型，只能描述

2、经济变量之间的单向因果关系，即若干解释变量的变化引起被解释变量的变化。 经济现象是错综复杂的，其中诸因素之间的关系在很多情况下，不是单一方程模型所描述的简单的单向因果关系，而是相互依存的交错的双向或多向因果关系。单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行经济问题的描述。 例如，在均衡价格模型中，均衡数量和价格要由供、求双方决定。假定粮食需求量由消费者的收入水平和商品价格决定，供给量由价格和气候条件决定，供、求双方决定了市场均衡数量Q：联立方程组模型是经典计量重要组成部分。联立方程组模型鼎盛时期：50、60年代VAR模型（联立方程组模型的发

3、展）QSDuWaPaaSuYaPaaD22101210联立方程模型：由多个相互联系的单一方程由多个相互联系的单一方程构成、表示一个经济系统中经济变量相互依构成、表示一个经济系统中经济变量相互依存性的模型。存性的模型。联立方程模型描述经济变量间的因果关系是双向的，即某一经济变量决定着其它一些经济变量，反过来又受其它经济变量所决定。因此，联立方程模型可以更全面、真实地反映经济系统的运行过程。 联立方程模型的特点联系方程模型由若干个单一方程组成，模型中不止一个被解释变量， M个方程可以有M个被解释变量；联立方程模型中既有非确定性方程（随机方程），也有确定性方程（恒等方程），但必须包含随机方程；被解释

4、变量与解释变量之间不仅是单向因果关系，而可能是互为因果有的变量在某个方程为解释变量，但同时在另一个方程中可能为被解释变量；解释变量可能与随机误差项有关，违反OLS基本假定（导致估计的参数有偏倚且不一致，称为联立方程偏倚性）。2021-9-28金融与统计学院7二、联立方程模型的变量内生变量（内生变量（Endogenous VariablesEndogenous Variables）对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释对联立方程模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内变量与解释变量来划分变量，而将变量分为内生变量和外生变量两大类。生变量和外生变量两大类。内生变量是

5、具有某种概率分布的随机变量，它内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量由模型系统决定，同时对模型系统产内生变量由模型系统决定，同时对模型系统产生影响。生影响。内生变量一般都是经济变量。内生变量一般都是经济变量。一般情况下，内生变量与随机项相关，即一般情况下，内生变量与随机项相关，即联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，联立方程模型中，内生变量既作为被解释变量，又可以在不同的方程中作为解释变量。又可以在不同的方程中作为解释变量。0)()()()()()()(),(iiiiiiiiiiiiiiiYEEYEYEYEYEEYE

6、YEYCov外生变量（外生变量（Exogenous VariablesExogenous Variables）外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界外生变量一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研概率分布的随机变量，其参数不是模型系统研究的元素。究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。量、虚变量。一般情况下，外生变量与随机误差项不相关。一般情况下，外生变量与随机误差项不相关。先决变量先决变量/ /前定变量（前定变量（Pr

7、edetermined Predetermined VariablesVariables）外生变量与滞后内生变量（外生变量与滞后内生变量（Lagged Endogenous Lagged Endogenous VariablesVariables）统称为先决变量。）统称为先决变量。滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重滞后内生变量是联立方程计量经济学模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。统的动态性与连续性。先决变量只能作为解释变量。先决变量只能作为解释变量。如何确定模型中的内生变量和外生变量如何确定模型中的内生变量和外生变

8、量 由于内生变量是联立地被决定，因此，联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程。这个规则决定了任何联立方程模型中内生变量的个数。可是，确定哪个变量为内生变量，要根据经济分析和模型的用途。设定模型时，通常将以下两类变量设定为外生变量：政策变量，如货币供给、税率、利率、政府支出等。短期内很大程度上是在经济系统之外决定或变化规律稳定的变量，如人口、劳动力供给、国外利率、世界贸易水平、国际原油价格等。联立方程模型中内生变量的个数应恰好等于方联立方程模型中内生变量的个数应恰好等于方程组中方程的个数，该方程组才是完备的。程组中方程的个数，该方程组才是完备的。意义：意义：区分内生变量和外生变量对联立

9、方程模区分内生变量和外生变量对联立方程模型的识别、估计和应用都有重要意义。型的识别、估计和应用都有重要意义。2021-9-28金融与统计学院13联立方程模型中的方程，按照是否包含随机项分为两类：方程中含有随机项和未知参数的称为随机方程式，随机方程式中的参数需要估计；方程中不含有随机项和未知参数的称为非随机方程式，非随机方程式不需要估计参数。 三、联立方程模型的方程联立方程中常见的方程联立方程中常见的方程技术方程：根据客观经济技术关系建立的方程，称为随机方程。比如：生产函数方程是反映在一定生产技术条件下，生产要素投入量与产出量之间技术关系的方程。行为方程：解释或描述居民、企业团体和政府的经济行为

10、的方程，带有随机误差项，称为随机方程。定义方程：由它定义某一经济变量与其他经济变量的恒等关系，既没有未知参数，也没有随机误差项。平衡方程：表示经济系统均衡或平衡状态的恒等关系式。与定义方程一样，它不含未知参数和随机误差项。制度方程式：指与法律、法令、规章制度有直接关系的经济数量关系式，有随机项，含有未知参数，如税收方程式。 2021-9-28金融与统计学院15四、联立方程模型的类型结构型模型简化型模型递归型模型1 1、结构型模型（、结构型模型（Structural ModelStructural Model）：）：为描述经济变量之间现实的经济结构关系，表现变量间直接的经济联系，将某内生变量直接

11、表示为内生变量和前定变量函数的模型。比如，简单宏观经济模型： 其中：其中：C为消费，为消费，Y为收入，为收入，I为投资，均是内生变量；为投资，均是内生变量；G为政府支为政府支出和，出和， 为外生变量；为外生变量；u为随机扰动项。为随机扰动项。可一般化表示为：可一般化表示为：1tY特点：特点：不出现变量的参数用不出现变量的参数用0 0表示，方程右边只有随机扰动表示，方程右边只有随机扰动项。项。ttttttttttttttttttGYYICGYYICGYYIC312131211120000000）（*21321121tttttttttttGICYYYIYC（3）结构型模型的特点）结构型模型的特点描

12、述了经济变量之间现实的结构关系，在结构方程的右端可能出现其它的内生变量，有明确的经济意义，可直接分析解释变量变动对被解释变量的作用。只反映各变量之间的直接影响，无法直观地反映各变量之间的间接影响和总影响。 结构型模型具有偏倚性问题，一般不能直接用OLS法对结构型模型的未知参数进行估计。通过前定变量的未来值去预测内生变量的未来值时，由于在结构方程的右端出现了需要同时预测的未知内生变量，所以不能直接用结构型模型去作预测。独立结构方程的个数等于内生变量的数目的模型被称为完备结构式模型。2、简化型/诱导型模型（Reduced-Form Model）：每个内生变量都只表示为前定变量及随机扰动项函数的联立

13、方程模型，每个方程的右端不出现内生变量。求简化型模型的方法有两种：（1）简化型模型的特点）简化型模型的特点简化式方程的解释变量都是与随机项不相关的前定变量，可以应用OLS对简化式方程中的参数进行估计，其估计量是无偏的和一致的。简化式参数反映了前定变量对内生变量的总影响，包括直接影响和间接影响。利用简化式模型可以直接进行预测。在得到估计的简化式模型之后，根据前定变量的已知信息就可以预测模型中的所有内生变量。简化式模型没有客观地描述经济系统内各个变量间的内在联系，模型的经济含义不是分明确。（2 2）结构型模型与简化型模型的关系）结构型模型与简化型模型的关系结构式模型直观地描述了经济变量之间的关系结

14、构，模型有十分明确地经济含义，但不便于进行参数估计、经济预测、政策评价等定量分析。简化式模型完全是根据内生变量的含义，将经济系统内各变量之间的关系人为地简化而得到的模型，所以没有明确的经济含义。但简化式模型反映了前定变量对内生变量的总影响，能够进行最小二乘法参数估计及直接进行经济预测等分析。针对结构式模型和简化式模型的不同特点，在实际应用中可以根据不同的研究目的合理地选择模型，同时需要了解两类模型之间的转换过程，以及结构参数与简化参数之间的关系。3、递归型模型：如果一个模型的结构方程可以用下面这种方式排列，第一个方程右边只包含外生变量；第二个方程右边只包含外生变量与第一个内生变量（第一个方程中

15、的被解释变量）；,一般地，第m个方程的右边只包含外生变量和前面的m-1个方程的内生变量Y1到Ym-1，这种模型称为递归模型。 mmmmmkmkmmmkkkkYYXXXYYXXXYXXXY111122112121222212121121211112021-9-28金融与统计学院28五、联立方程模型的假设模型的结构式一般表示为：gtKtgKtgtgggtggttKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY11111122121212121111112121变形后可得引入向量和矩阵记法模型可以表示为,11121221112gggg,21gtttYYYtY,21ktttXXXt

16、X,21gtttt,212222111211gKggKKtXYttgtKtgKtggttgtgtKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY112211221212212111111121212021-9-28金融与统计学院31第二节第二节 联立方程模型的识别联立方程模型的识别 Identification Problem一、模型识别的定义二、模型识别的类型三、模型识别的条件2021-9-28金融与统计学院32模型识别的定义，是针对结构型联立方程组而言的。简化型模型中的前定变量与随机误差项不相关，避免了联立方程偏倚，可以运用OLS法估计其参数。然而通常的研究目的，是获得

17、结构型模型的参数估计值。虽然已知结构性模型的参数是简化型模型参数的函数，但能否从简化型参数求解出结构型参数，这就是联立方程模型的识别问题。一、模型识别的定义从本质上讲，识别问题讨论模型中的结构方程是否具有确定的统计形式（指变量间的随机关系）。从简化式与结构式的关系角度，识别问题讨论是否能从所估计的简化式参数求出结构式参数。若能求出，则结构方程具有确定的统计形式；若不能，则相反。从结构式模型中若干方程或全部方程的关系角度，识别问题讨论模型中若干个方程或全部方程的任意线性组合是否与被识别方程的统计形式相同，若不同，则具有唯一的统计形式，那么是可识别的；反之，则是不可识别的。关于识别的定义，有以下三

18、种等价的表述方式 J如果联立方程模型中某个结构方程具有确定的统计形式，则称该方程是可识别的；否则，称该方程是不可识别的。J如果联立方程模型中某个结构方程无法用模型中的其它方程线性组合成相同的统计形式，则称该方程是可识别的；否则为不可识别的。J如果联立方程模型中某个方程中的结构参数，可以由参数关系体系的方程组中求解得到，则该方程为可识别的；否则为不可识别的。统计形式，即方程中的变量与变量之间的函数关系式。“确定的统计形式”，即模型中其它方程或所有方程的任意线性组合所构成的新的方程，都不再具有这种统计形式。 2021-9-28金融与统计学院35二、模型识别的类型模型的简约式为：tttttttdts

19、tuPuQQ2212221222211111222212212111112S)(1211tttPQS)(2211tttQPD2DPtPQtQ供求模型的识别问题l从结构方程之间关系，很容易看出需求方程与供给方程具有相同的统计形式，因此需求方程和供给方程都是不可识别的。 l根据数据无法确定究竟是哪两条供给、需求曲线的均衡产生的数据，因此无法识别。l两个方程的线性组合可以产生很多形式，因此不可识别（unidentified）。l结构式、简约式参数之间不能一一决定，因此不可识别。不可识别：结构型模型中某个方程参数估计值不能由简化型模型参数估计值求出。供给函数可识别3DS1D2DP2PQ2Q3P1P3Q

20、1Q3D1D从结构方程之间的关系判断每个方程的识别问题：l对需求方程来说，它和供给方程的线性组合具有与它本身相同的统计形式，所以需求方程是不可识别的。l对于供给方程，任何方程的线性组合不能构成与其相同的统计形式，所以供给方程可以识别。由于需求方程是不可识别的，那么，整个市场供需平衡模型是不可识别的。一个方程的识别性，依赖于模型其它方程中是否包含更多的变量。 结构式系数和简化式系数的关系为此时模型两个方程都可识别。2223232232222211212231322321222121111,1,11,1,1由6个简化式系数可以唯一地确定6个结构参数，需求方程和供给方程都具有唯一的统计形式，它们都可

21、以识别，则整个模型是可以识别的。恰好识别（Just Identification）：结构型模型中某个方程的参数能够由简化型模型参数估计值唯一解除，则方程恰好识别。 由个简化式系数决定7个结构式参数，结构式参数可以有多组值。过度识别（Over identification）定义为：若某一结构方程可识别，但从参数对应关系中求得的结构参数有多组（不唯一）的解值，则称此结构方程是过度识别的。识别问题不是一个统计问题。如果模型可以识别，即使样本容量小，也可以近似地估计出结构参数，样本容量越大，结构参数的估计值越准确；如果模型是不可识别的，对任意的样本都无法估计出模型的参数，并且模型不可识别，就不能用任何

22、有效的经济计量方法正确地估计出模型参数，更谈不上利用模型进行经济分析和预测，这就是模型识别的基本含义。 2021-9-28金融与统计学院50识别性的两种等价定义：（1）可通过简化型唯一确定结构型参数；（2）各个结构型方程有唯一确定的形式。所考察的方程不能用其他方程的线性组合产生其他形式。模型中存在或可用线性组合得到不包含非考察方程变量的方程。推论：如果一个方程包含模型中所有的变量，肯定不可识别。三、模型识别的条件运用秩条件判别模型识别性的步骤：运用秩条件判别模型识别性的步骤： （1）将结构模型的全部参数列成完整的参数表（方程没有出现的变量的参数以0表示！） （2）若考察第i个方程的识别问题：划

23、去该方程的那一行（只看其他方程），并划去该方程出现的变量的系数（该行中的非0系数）所在列（只看本方程不包括的），余下该方程不包含的变量在其它方程中的系数的矩阵A。 （3）计算这样形成的矩阵A的秩，并作出判断。如果第i个被识别方程这样的矩阵A的秩为 M-1，则是可以识别的（要具体分析是恰好识别还是过度识别），如果这样的矩阵的秩小于M-1，则是不可以识别的。（4）模型识别的一般步骤）模型识别的一般步骤阶条件阶条件不可识别不可识别1iiKkm1iiKkm秩条件秩条件( )1R AM不可识别不可识别( )10R AMA或阶条件阶条件过度识别过度识别恰好识别恰好识别1iiKkm1iiKkm是是是是否否否

24、否是是否否可以识别可以识别（5）经验方法）经验方法 模型识别不是统计问题，而是模型设定问题，因此在设定模型时应设法尽量保证模型的可识别性。一般地，在设定联立方程模型时应遵循以下原则： “在建立联立方程结构型模型时，要使新引入的方程中包含前面已引入的每一个方程都不包含的至少1个变量（内生变量或前定变量）；同时，要使前面已引入的每一 个方程都包含至少1个新引入方程未包含的变量，并要互不相同。” 只有新引入的方程包含前面每一个方程都不包含的至少1个变量，才能保证不破坏前面已有方程的可识别性。 只有前面每一个方程都包含至少1个新引入方程所未包含的变量，才能保证新引入的方程是可识别的2021-9-28金

25、融与统计学院59第三节第三节 联立方程模型的参数估计联立方程模型的参数估计o 联立方程模型估计方法的选择联立方程模型估计方法的选择o 递归模型：递归模型：OLSOLSo 恰好识别模型：间接最小二乘法恰好识别模型：间接最小二乘法ILSo 过度识别模型：二段最小二乘法过度识别模型：二段最小二乘法TSLS2021-9-28金融与统计学院6060模型参数的估计方式应考虑以下因素模型参数的估计方式应考虑以下因素： 1 1、从研究目的角度：、从研究目的角度：为了为了经济结构分析经济结构分析，检验经济理论：力争准确估计，检验经济理论：力争准确估计结结构型参数构型参数为了为了评价政策评价政策、论证政策效应：力

26、争准确估计、论证政策效应：力争准确估计简化型简化型参数参数（反映（反映“政策乘数政策乘数”、“效果乘数效果乘数”）为了为了预测：预测：直接估计直接估计简化型参数简化型参数一、联立方程模型估计方法的选择一、联立方程模型估计方法的选择o联立方程模型中，估计一个方程的参数时不能不考虑方程组中其它方程所提供的信息！62 2 2、从模型的识别条件角度、从模型的识别条件角度递归型模型：直接用递归型模型：直接用OLSOLS法法恰好识别模型：间接最小二乘法、工具变量法恰好识别模型：间接最小二乘法、工具变量法过度识别模型：二段最小二乘法、三段最小二乘等过度识别模型：二段最小二乘法、三段最小二乘等不足识别模型：不

27、能估计其结构型参数不足识别模型：不能估计其结构型参数3 3、从数据的可用性和计算方法的复杂性角度、从数据的可用性和计算方法的复杂性角度单一方程估计法单一方程估计法思路：对方程组每个方程思路：对方程组每个方程逐一估计逐一估计特点：只考虑该方程本身的（有限）信息，不考虑整个方程提特点：只考虑该方程本身的（有限）信息，不考虑整个方程提供的全部信息供的全部信息方法：方法：OLS、工具变量法、间接最小二乘法、二段最小二乘法、工具变量法、间接最小二乘法、二段最小二乘法、有限信息极大似然法有限信息极大似然法系统估计法系统估计法思路：对模型中全部方程思路：对模型中全部方程同时进行估计同时进行估计特点：考虑用到

28、模型的全部信息，也称完全信息法特点：考虑用到模型的全部信息，也称完全信息法方法：三段最小二乘法、似乎不相关法、完全信息极大似然估方法：三段最小二乘法、似乎不相关法、完全信息极大似然估计法计法2021-9-28金融与统计学院64二、递归模型：二、递归模型：OLSOLSmmmmmkmkmmmkkkkYYXXXYYXXXYXXXY1111221121212222121211212111165递归模型中内生变量的参数呈三角形矩阵形式：递归模型中内生变量的参数呈三角形矩阵形式： 递归模型中各内生变量之间的联系只是单向的，都满足递归模型中各内生变量之间的联系只是单向的，都满足OLSOLS基本假定，实际并没

29、有联立方程偏倚问题。基本假定，实际并没有联立方程偏倚问题。1u12,XX2u3u3Y2Y1Y111323132121321YYYYYY2021-9-28金融与统计学院6666基本思想：恰好识别模型通过简化型参数，可以唯一确定结构型参数。因此，可以先用OLS法估计简化型参数，然后求解出结构型参数。即间接最小二乘法（ILS） 估计步骤：将结构型方程变换为简化型方程OLS法估计简化型参数（因简化型符合基本假定）利用简化型与结构型参数的关系式求解结构型参数三、恰好识别模型：间接最小二乘法三、恰好识别模型：间接最小二乘法ILS67举例举例:商品需求与价格的模型商品需求与价格的模型其中其中:Q供需量、供需

30、量、P价格、价格、Y收入、收入、W气候气候根据识别条件，可证明该模型是恰好识别模型，简化型根据识别条件，可证明该模型是恰好识别模型，简化型为为其中其中可求解出可求解出:01210122ttttttttQPYuQPWu1 11 21 312 12 22 32tttttttttQYWvpYWv021102111111213111111; 0022212223111111;01201268间接最小二乘估计的特性间接最小二乘估计的特性简化型参数的估计是无偏的（小样本），且是一致估计式（大样本）结构型参数估计在小样本中是有偏的（因结构型参数与简化型参数是非线性关系），但在大样本中是一致估计量。结构型参数

31、的间接最小二乘估计不具有最小方差特性。 2021-9-28金融与统计学院6969基本思想：基本思想：过度识别模型不能通过简化型模型参数换算出唯一的结构型参数，导致只能直接估计结构型模型只能直接估计结构型模型；但结构型模型中，内生变量作为解释变量与随机误差项相关，引起联立方程偏倚问题，导致不能直接使用不能直接使用OLSOLS法法。结构型模型变换得到的简化型模型的一般形式为四、过度识别模型：二段最小二乘法四、过度识别模型：二段最小二乘法TSLSmkmkmmmkkkkXXXYXXXYXXXY22112222212121121211117071二段最小二乘法的使用条件二段最小二乘法的使用条件 结构方程

32、必须是可以识别的（过度识别或恰好识别） 结构型模型中随机误差项必须满足OLS基本假定（否则第二段OLS无法进行） 模型中所有前定变量不存在严重多重共线性，且与随机误差项不相关 样本容量足够大722021-9-28金融与统计学院73第四节第四节 联立方程模型的应用联立方程模型的应用一、经济结构分析：分析外生变量、结构参数变动对内生变量的影响 比较静力学分析（变动幅度分析）4 内容：根据内生变量对外生变量、结构参数的偏导数进行分析。4 方法：利用隐函数求导法则求解4 例题：宏观经济模型 弹性分析（变动速度分析）4 内容：利用内生变量对外生变量、结构参数的弹性进行分析。4 特点：(1)侧重于分析内生变量变动