(完整版)极值点偏移问题

1、极值点偏移问题总结一、判定方法1、极值点偏移的定义对于函数y f （x）在区间（a,b）内只有一个极值点Xo,方程f （x） 0的解分别为x1、x2，且 a x1 x2 b ,（1）若83 x0,则称函数y f（x）在区间（xi，x2）上极值点xo偏移； 2（2）若包力 x0,则函数y f（x）在区间（xi，x2）上极值点x0左偏，简称极值点xo 2左偏；（3）若卫力 x。，则函数y f（x）在区间（x,x2）上极值点比右偏，简称极值点x0 2右偏。2、极值点偏移的判定定理判定定理1对于可导函数y f（x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程f（x） 0的解分别为xx2,且a

2、x1 x2 b ,（1）若f（T2） 0,则上万至（）x0,即函数y f（x）在区间（xx2）上极大（小） 值点x右（左）偏;（2）0若（红工）0,则汉22 （）x0,即函数y f（x）在区间（为冬）上极大 22（小）值点x0左（右）偏。证明：（1）因为可导函数y f （x）,在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x,则函数y f（x）的单调递增（减）区间为（a,x0）,单调递减（增）区间为（x,b）,又a % x2 b,有迎22 （a,b）由于f（辽力）0,故红二2 （a,x0）,所以222江22 （ ）x0,即函数极大（小）值点x0右（左）偏。2判定定理2对于可导函数y f （x）,在区

3、间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0 ,方程f(x) 0的解分别为xX2,且a % X2 b ,(1)若f(xi) f(2x0 X2),则/上()X0即函数y f(x)在区间(Xi,X2)上极 2 ,大(小)值点X0右(左)偏；(2)若f(xj f(2x0 X2),则配心2 ()X0即函数y f(x)在区间(Xi，X2)上极 2 ,大(小)值点X0左(右)偏。证明：(1)因为对于可导函数y f(x)在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点X0, 则函数y f(x)的单调递增(减)区间为(a,x。)，单调递减(增)区间为(x,b),又 ax1x2b ,有x,x0,且 2x0x2x0,又 f

4、(x1) f (2x0x2)，故x1( )2x0x2,所以汉22 ( )x0,即函数极大(小)值点X。右(左)偏.2结论(2)证明略。二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1 .方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点；(2)构造一兀差函数 F(x) f(x0 x) f(x0 x)(3)确定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0) 0,判断F(x)的符号，从而确定f(X0 x), f(X0 x)的大小关系。2 .抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x,)f(X2) , X0为f(x)的极值点，求证：X1 X2 2x0 (1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(X)的极值点X0；假设此处f(

5、X)在,X0上单调递减，在X0,上单调递增。(2)构造 F(x) f d x) f(X0 x);注：此处根据题意需要还可以构造成 F(x) f(x) f(2% x) (3)通过求导F(x)谈论F(x)的单调性，判断处F(x)在某段区间上的正负，并得出f (Xo x)与f(x0 x)的大小关系；假设此处F(x)在0, 上单调递增，那么我们便可以得出F(x) F(0)f (xo)f(xo)0,从而得到：xxo 时，f (xox)f (xox)(4)不妨设xixox2,通过f(x)的单调性，f(xi)f(x2),f (xox)与f (xox)的大小关系得出结论；接上述情况：由于x%时，f (xox)

6、f (xo x)且为xo x2 ,f (xi) f(x2)故f(xi)f(x2) f xo x2xo f xo (x2xo) f (2xo x?)，又因为 xx0 , 2/ x2 xo且f(x)在,xo上单调递减，从而得到xi2xox2,从而xix22xo得证；(5)若要证明f(x3) o还需进一步讨论 2与xo的大小，得出2所在的单调 222区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；此处只需继续证明：因为xi x2 2xo故当2 xo,由于f(x)在，xo上单调递减，2故 fxx2) o2说明：(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题

7、难度较低，会分解为三问，前两问分别求 f(x)的单调性、极值点，证明f(xo x)与f(xo x)或f(x)与f(2xo x)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如xi x2 2xo或者上2 xo的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问 2分解为三问逐步解题。三、例题(一)不含参数的的极值点偏移问题例i: (2oio天津理2i)已知函数f (x) xex(x R)解答:(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若为 x2 ,且 f (x1)f(x2),求证:(1) f(x)x, f(x)0,x1；,1XiX21,1减 极大值f (1)- e(2) g(x)f(1x)f(1 x)g(x

8、) xe(1 x)g(x)0,x,0减;o,x 0时,g(x) g(0) 0 即 f(1x) f(1x)(1)知 x1 1,x21 ,f(x1) f(x2) f 1x2 1他 1) f (2x2)Q x2 1, 2 x2 1 ,f(x)在,1上增,x2【法二I欲证x1x2即证x22x1由法一知0x11,x2又因为f(x)在1,上是单调递减的，只需证f(x2)f(2 x1),又因为 f(x1) f (x2),故也即证f(x1)f (2 x1)构造函数h(x) f (x)f(2 x) , x 0,1由 h(x) f(x) f(21 x 2x 2x) IT 1 e eh(x)在0,1上单调递增，h(

9、x) h(1) 0故原不等式x1 x2 2成立由 f(xi)f(x2)得，xiexix2ex2 ,化简得ex2x1xi不妨设 x2xi,由法一知 0xi1x2,令 tx2xi,则 t 0 ,x2txi,代入得：et-x1, 反解出：x-pt- ,贝xix22xitt2tt ,Xe ie i故要证xix22即证三 t 2,又因为et i 0,e i等价于证明：2t t 2 et i 0构造函数 g(t) 2t t 2 et i t 0 ,则 g(t) t i eti , g(t) tet0,故g(t)在0,+上单调递增，g(t) g(0) 0从而g(t)在0,+上单调递增，g(t) g(0) 0

10、【法四】由 f(xi)f(x2)得，xiexix2ex2,化简得ex2xi迄，Xi两边同时取以e为底的对数：得X2 xi Inlnx2 In xi,即4x2 lnX i,xix2 xix2 /In x2In xi xix2x2从而 xix2xix22-2 In x2xi x2xixi+ixi. x2In , 上ixixi令t匣t i ,则欲证Xi x2 2等价于证明Ulnt 2,Xt it i Int 2构造 g(t) i Int, t i ,t it i则 g(t)2t2 i 2tInt2In t i又令 h(t) t2 i 2tInt t i 则 h(t) 2t由于t i Int对t i,

11、包成立，故h(t) 0,h(t)在1, 上单调递增，h(t) h(1) 0 ,g0对t 1,恒成立，g(t)在1,上单调递增，g(t) g(1)由洛必达法贝U知：lim g(t) lim nll lim_1 1rl lim lnt -12t it i t i t i t i t it即g(t) 2,即证式成立，也即原不等式成立例 2: (2013 湖南文 21) f(x) L4ex， 1 x(1)求函数的单调区间；(2)证明：当 f(x1) f(x2)(x1 X2)时，X1 X2 0(二)含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元x/2基础上，有多了一个参数，故思路很自然的

12、就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决， 或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。例1已知函数f (x) x aex有两个不同的零点ox2,求证：x x2 2例2.已知函数f (x) lnx ax, a为常数，若函数f(x)有两个不同的零点为,发，求证：x1 x2 e2例3:已知x1,x2是函数f (x) ex ax的两个零点，且x1 x2(1)求证：x1 x2 2(2) xi x2 1例 4:已知函数 f(x) x eax (a 。)，若存在 xi,x2 ( xi x2),使 f(xi) f(x2)0,求证： xaex2变式训练：1 .设函数f(x) ex ax

13、a(a R)的图像与x轴交于A为,0 ,B x2,。x x2两点， (1)证明：f (新石)0 (2)求证：x1x2 x1 x22 .设函数f (x) alnx bx2,其图像在点P 2, f (2)处切线的斜率为3,当a 2时，令g(x) f (x) kx ,设x1,x2 ( x x2)是方程g(x) 0的两个根，x。是x1,x2的等差中 项，求证：g(x0) 013 .已知函数 f(x) a - lnx(a R)x(1)若a 2,求函数f(x)在1,e2上的零点个数；(2)若 f(x)有两零点 x1 ,x2 ( x1 x2),求证：2 x1 x2 3ea 1 1 1 c4 .已知函数 f(

14、x) x 1 a x aln x2(1)讨论f(x)的单调性；(2)设 a 0,证明：0 x a 时，f (a x) f (a x)(三)含对数式的极值点偏移问题根据fj) f(x2)建立等式，通过消参、包等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明两个整数a和b的对数平均定义：L a,ba ln a ln b对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：,ab L a,b a-b2例1:已知函数f(x) ln x ax22 a x(1)讨论f (x)的单调性；(2)设 a 0,证明：当 0 x 1时，f (- x) f (- x);a aa(3)若函数y f (x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x。，证明：f(xo) 0(四)含指数式的极值点偏移问题指数不等式:在对数平均的定义中，设a em,b en,则E(a,b)m ne e /(mm nem (m n)n),根据对数平均不等式有如下关系:m nm n2e ee 2 E(a,b)例1 (全国1卷2016理21)已知函数f(x)(x 2)ex a(x 1)2有两个零点 yx2,证明：x