数值计算方法课件

1、数值计算方法课件数值计算方法课件&教材教材 (Text Book) 数值计算方法数值计算方法 郑慧娆等郑慧娆等 编著编著 （武汉大学出版社）（武汉大学出版社）& 参考书目参考书目 (Reference) Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) 数值分析数值分析 （英文版（英文版 第第3版版 ） David Kincaid & Ward Cheney（机械工业出版社机械工业出版社) Numerical Analysis (Seventh Edition) 数值分析数值分析 （第七版（第七版 影印

2、版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）高等教育出版社） 数值计算方法课件数值计算方法课件学习方法学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题做一定量的习题5.注意与实际问题相联系注意与实际问题相联系数值计算方法课件考试方法考试方法1.闭卷考试占闭卷考试占70%.2.平时作业及课堂回答问题占平时作业及课堂回答问题占10%.3.上机实验占上机实验占15%，创新成绩，创新成绩5%.数值计算方法课件学

3、习和了解科学计算的桥梁学习和了解科学计算的桥梁数值计算方法课件数值分析数值分析 能够做什么？Introduction数值计算方法课件 研究使用计算机求解各种数学问题的研究使用计算机求解各种数学问题的数值方法（近似方法），对求得的解的数值方法（近似方法），对求得的解的精度进行评估，以及如何在计算机上实精度进行评估，以及如何在计算机上实现求解等现求解等数值计算方法课件计算机解决实际问题的步骤计算机解决实际问题的步骤建立数学模型建立数学模型选择数值方法选择数值方法编写程序编写程序上机计算上机计算数值计算方法课件举例1。求下列方程的根或零点：22 sin1 0 xxx （第三章的内容：非线性方程的数值

4、解法）Can you solve100(1)0 x Can you solve100999897961004950161700392122510010 xxxxxx 数值计算方法课件数值计算方法课件举例2。怎么求解下列积分？210 xed x（第七章的内容：数值积分）数值计算方法课件数值分析的特点1。近似：由此产生“误差”在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：在计算数学和应用数学中一个有趣的问题：什么是什么是零零？原点附近原点附近在纯数学中，认为此矩阵为满秩矩阵1101101101但在计算数学中，它却是降秩矩阵？数值计算方法课件112111010101100101100101100nnn 2。

5、与计算机不能分离：上机实习（掌握一门语言：C语言，会用Matlab）数值计算方法课件1.2 误差误差 ( Error )1 误差的背景介绍误差的背景介绍 ( Introduction )1. 来源与分类来源与分类 ( Source & Classification )u模型误差模型误差 ( Modeling Error ): 从实际问题中抽象出从实际问题中抽象出数学模型数学模型 u观测误差观测误差 ( Measurement Error ):通过测量得到模型通过测量得到模型中参数的值中参数的值 u方法误差方法误差 (截断误差截断误差 Truncation Error）:求近似解求近似解 u舍入

6、误差舍入误差 ( Roundoff Error ):机器字长有限机器字长有限 数值计算方法课件1.2.4 误差与有效数字误差与有效数字 (Error and Significant Digits)u 绝对误差绝对误差 ( absolute error )* ex x其中其中 x*为精确值，为精确值，x为为x*的近似值。的近似值。 10006074302.dxex例如：例如：*xx工程上常记为工程上常记为|*e*的上限记为的上限记为 , , 称为称为绝对误差限绝对误差限 ( accuracy ) ， u 相对误差相对误差 ( relative error )*reex*|rxx 的的相对误差上限

7、相对误差上限 定义为定义为数值计算方法课件u有效数字有效数字 （significant digits ）用科学计数法，记用科学计数法，记 ( (其中其中 ）若若 （即（即 的截取按四舍五入规的截取按四舍五入规则），则称则），则称 为有为有n 位有效数字，精确到位有效数字，精确到 。12010mnx.a aa 01 anm.xx 1050|*naxnm 101415.3*;8979321415926535.3 例：例：问：问： 有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。* 131 40 3141510and*0 5100 510*., | |.证明：证明：有有4 位有效数字

8、，精确到小数点后第位有效数字，精确到小数点后第 3 位。位。数值计算方法课件1.4 向量和矩阵范数向量和矩阵范数 向量范数向量范数 ( vector norms )nRyx,对任意对任意定义定义1：Rn空间的空间的向量范数向量范数 | | ,对任意对任意 满足下列条件满足下列条件00|;0|) 1 (xxx|) 2 (xxC|) 3 (yxyx常用向量范数：常用向量范数： niixx11| niixx122| |max|1inixx 数值计算方法课件主要主要性质性质性质性质1:1:-x=x-x=x性质性质2 2: :x-yx-yx-yx-y性质性质3 3: : 向量范数向量范数xx是是R Rn

9、 n上向量上向量x x的连续函数的连续函数. .范数等价范数等价: :设设A A 和和B B是是R R上任意两种范数，若存在上任意两种范数，若存在 常数常数 C C1 1、C C2 2 0 0 使得使得 , ,则称则称 A A 和和B B 等价等价。定理定理1.4.1 Rn 上上一切一切范数都等价范数都等价。数值计算方法课件 定义定义2:2:设设x xk k是是R Rn n上的向量序列，上的向量序列， 令令 x xk k=(x=(xk1k1,x,xk2k2,，x xknkn) ), , k=1,2 k=1,2，., , 又设又设x x* *（x x1 1* *，x x2 2* *，x xn n

10、* *) )是是R Rn n上的向量上的向量. . 如果如果lim xlim xkiki=x=xi i对所有的对所有的i=1,2,i=1,2,，n n成立，成立， 那么那么, ,称向量称向量x x* *是向量序列是向量序列x xk k的极限的极限 ，若一个向量序列有极限若一个向量序列有极限, ,称这个向量序列是称这个向量序列是收敛的收敛的. . 对任意一种向量范数对任意一种向量范数而言，向量而言，向量序列序列x xk k收敛于向量收敛于向量x x* *的充分必要条件是的充分必要条件是定理定理1.4.21.4.2*lim|0kkxx 数值计算方法课件 矩阵范数矩阵范数 ( matrix norm

11、s )nmRBA ,定义定义3:3:对任意对任意 , ,称称| | 为为Rm n空间的空间的矩阵矩阵范数范数, 指指| |满足满足(1)-(3)(1)-(3)：00|; 0|) 1 ( AAA(2) | | | | |AAC 对任意对任意|) 3 (BABA (4) | AB | | A | | B |若还满足若还满足(4),(4),称为相容的矩阵范数称为相容的矩阵范数数值计算方法课件例5:设设A A(a(aijij)M. )M. 定义定义2,11|nijijAan证明证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. .证明：设1111,1111AB2222AB

12、| 1,| 1,| 2ABAB从而| | |ABAB数值计算方法课件相容性相容性（1 1）矩阵范数与）矩阵范数与矩阵矩阵范数的相范数的相容容: :ABABABAB（2 2）矩阵范数与）矩阵范数与向量向量范数范数设设AMAM，AA是矩阵范数是矩阵范数, ,xRxRn n，xx是是向量范数向量范数. .如果满足不等式如果满足不等式: :AxAxA Ax x则称矩阵范数则称矩阵范数AA与向量范数与向量范数xx相容相容. .数值计算方法课件常用的算子范数常用的算子范数： 由向量范数由向量范数 | |p 导出关于矩阵导出关于矩阵 A Rn n 的的 p p 范数范数: :pxpppxAxxAApx|ma

13、x|max|10| 则则ppppppxAxABAAB| njijaAni1|max|1（行和范数行和范数） niijaAnj11|max|1（列和范数列和范数）)(|max2AAAT （谱范数谱范数 ( spectral norm ) ）利用利用Cauchy 不等式不等式 可证（例可证（例6）。）。22| | | | |x yxy可以证明可以证明,对方阵对方阵 和和 有有: ，nnRAnxR22|FAxAx ninjijFaA112|( (向量向量| | |2 2的直接推广的直接推广) )FrobeniusFrobenius范数范数: :( operator norm ),又称为从属的矩阵范数

14、又称为从属的矩阵范数:算子算子范数范数数值计算方法课件定理定理1.4.6对任意算子范数对任意算子范数 | | | | 有有: :|)(AA 证明：证明：由算子范数的相容性，得到由算子范数的相容性，得到|xAxA 将任意一个特征根将任意一个特征根 所对应的特征向量所对应的特征向量 代入代入u|uAuA |uu 命题命题(P26，推论推论1）若若A A对称，则有对称，则有: :)(|2AA A对称对称证明：证明：)()(|2maxmax2AAAAT 若若 是是 A 的一个特征根，则的一个特征根，则 2 必是必是 A2 的特征根。的特征根。又：对称矩阵的特征根为实数，即又：对称矩阵的特征根为实数，即

15、 2(A) 为非负实数，为非负实数，故得证。故得证。)()(22maxAA 对某个对某个 A 的特征根的特征根 成立成立所以所以2-范数亦称为范数亦称为谱范数谱范数。数值计算方法课件定理定理1.4.4若矩阵若矩阵 A 对某个算子范数满足对某个算子范数满足 |A| 1，则必有则必有.IA可逆；可逆；.111 |IAA证明：证明： 若不然，则若不然，则 有非零解，即存在非零向有非零解，即存在非零向量量 使得使得 ()0IA x0 x00Axx00|1|Axx|1A 1()()IA IAI11()()IAA IA11()()IAIA IA11|()|1 | |()|IAAIA 数值计算方法课件1.5

16、 线性方程组的性态（误差分析）线性方程组的性态（误差分析） ( Error Analysis for Linear system of Equations ) 思考思考:求解求解 时时, A 和和 的误差对解的误差对解 有何影响有何影响？Axbbx 设设 A 精确，精确， 有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即bbxx1xAb1| | |xAb绝对误差放大因子绝对误差放大因子| |bAxAx又又1|Axb1| |xbAAxb相对误差放大因子相对误差放大因子()A xxbb数值计算方法课件 设设 精确，精确，A有误差有误差 ，得到的解为，得到的解为 ，即，即bA xx()()AAxxb

17、()()A xxA xxb1()xAA xx 11| | |xAAxxAAAA()()AA xAAxb()AAxAx 1()A IAAxAx 111()xIAAAAx (只要只要 A充分小，使得充分小，使得)1|11 AAAA 1111| | |1 | |1 | |AAAxAAAAxAAAAA 是关键是关键的误差放大因子，称为的误差放大因子，称为A的状态数的状态数(条件数条件数)，记为记为cond (A) ,|1 AA数值计算方法课件注注: : condcond ( (A A) ) 与与 所取的范数有关所取的范数有关常用条件数有：常用条件数有：cond (A)2)(/ )(minmaxAAAATT特别地，若特别地，若 A 对称，则对称，则|min|max)( 2 Acondcond (A