线性移不变系统

1、11.2 线性移不变系统线性移不变系统linear shift-invariant(lsi) systemn主要内容2离散时间系统及其表示方式离散时间系统及其表示方式n定义：对输入序列做某种运算后输出另一个序列的设备，可表示为：( ) ( )y nt x n( )x n( )y n3离散时间系统举例离散时间系统举例n举例：( )()dy nx nn21121( )()1mkmy nx nkmm4下面等式不一定成立下面等式不一定成立n设 ，则( ) ( )y nt x n(1) (1)y nt x n1212( )( )( )( )t x nx ny ny n00() ()y nt x nt只是

2、一个表示系统的符号，不是一个具体的公式。上面等式两边的含义是不同的5线性系统线性系统n概念：满足叠加原理(superposition principle)的系统称为线性系统。叠加原理可分为两个特性：1212( )( )( )( )t x nx nt x nt x n( ) ( )t ax nat x na为任意常数6线性系统线性系统n上述两个特性也可综合表示为：n可证明：对于线性系统下式成立( )( )kkkkkkta x na t x n1 1221122( )( )( )( )t a x na x nat x na t x n7线性系统分析举例线性系统分析举例( )(2)y nx n( )

3、( )nky nx kyes10( )log ( )y nx nyesno8移不变系统移不变系统n输入序列的移位仅引起输出序列做相同移位的系统，表示为： ( )( ) ()()t x ny nt x nmy nmm若：则：为任意整数9移不变系统分析举例移不变系统分析举例n给定系统( )()y nx mnyes( )( )nky nx kno10线性移不变系统线性移不变系统n同时具有线性和移不变性的系统称为线性移不变系统（linear shift invariant, lsi），也可称为线性时不变系统（lti）nlti系统是数字信号处理中主要研究的系统，除非特别指明，一般的系统都是lti的11系

4、统的因果性系统的因果性causalitycausalityn输出序列在 的值仅与输入序列在 00()( )|n ny nx n只和有关0nn0nn12系统的因果性系统的因果性causalitycausalityn判断：前向差分系统和后向差分系统，哪个是因果系统？( )( )(1)( )y nx nx nx n ( )( )( )(1)y nx nx nx n 13系统的稳定性系统的稳定性stabilitystabilityn稳定系统是保证系统输出无害或不饱和的关键稳定系统是保证系统输出无害或不饱和的关键( ),( ),x ny nn 若：则：no.14总结系统的四大特性总结系统的四大特性15系

5、统的单位冲激响应系统的单位冲激响应n定义：当输入序列为单位冲激序列时系统的输出称为系统的单位冲激响应，简称为冲激响应，表示为：( ) ( )h ntn( )u n16系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应n在时域，除了用输入输出关系式表示一个lti系统外，还有什么更好的方式来表示一个lti系统？n证明：一个lti系统，当输入任意序列 ，输出序列为：n结论：在时域一个lti系统可以完全用它的单位冲激响应来表示( )( ) ()ky nx k h nk( )x n17卷积和运算卷积和运算n输入序列、单位冲激响应和输出序列三者之间的这种运算称为卷积和运算convolution sum，表示为：( )(

6、 )* ( )y nx nh n(1)(1)* (1)y nx nh n18卷积和运算卷积和运算( )( ) ()ky nx k h nk( ).( 1) (1)(0) ( )(1) (1).y nxh nxh nxh n19两个序列的卷积和运算两个序列的卷积和运算( )( ) ()ky nx k h nk( )x k()h nk20lti系统的因果性系统的因果性( )0, 0h nn21lti系统的稳定性系统的稳定性( )nh n 22lti系统因果稳定性证明举例系统因果稳定性证明举例( )( )( )nkh nku n因果非稳定系统23lti系统因果稳定性证明举例系统因果稳定性证明举例(

7、)0.3( )nh nu n因果稳定系统24几何级数几何级数01,11nnaaa212111nnnnn naaaa25卷积和运算满足的三个定律卷积和运算满足的三个定律n交换律：n结合律：( )( )( )( )x nh nh nx n12122112( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx nh nh nx nh nh n两个系统前后相连称为系统级联26卷积和的三个定律卷积和的三个定律n分配律：1212( ) ( )( ) ( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh n两个系统输入相同，输出相加，

8、称为系统并联27补充：补充：n两个序列的相关性运算：n可证明：相关性运算与卷积和运算的关系为n自相关：,( )( ) ()x ykrnx k y kn,( )( )* ()x yrnx nyn,( )( )* ()x xrnx nxn28补充：补充：n两个序列的卷积和可以用矢量与矩阵相乘的形式来表示n设两个序列为：( ),01( ),01xhx nnnh nnn( )y n02xhnnn29补充：补充：n将x(n)和y(n)写成列矢量：n可得：nh为由h(n)形成的toeplitz矩阵n卷积和的这种形式经常在一些数学分析中遇到x,yy = hx30复习复习n写出lti系统的输入输出关系式？nlti系统在时域可完全用什么来表示？( )( )* ( )( ) ()ky nx nh nx k h nk( )h n31复习复习nlti系统为因果系统的充分必要条件是？nlti系统为稳定系统的充分必要条件是？( )0,0h nn( )hnh nb 32证明证明111(1)( ) (1)( )(1)(1)( ) ()( )*( )( )* (1)kky nx k h nkh nh ny nx k h nkx nh nx nh n 令(1)(1)* (1)y nx nh n33证明下面结果证明下面结果n n证明：累加器系统和后向差分系统的级联等价于一个直通系统( )()()dd