微积分定积分课件

1、定积分的概念定积分的概念 前一章我们从导数的逆运算引出了不定积前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题二类基本问题定积分，它是微分（求局部量定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和）的逆运算（微分的无限求和求总量），然求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。域中有着极其广泛的应用。重点重点定积分的概念和性质，微积分基本公定积分的概

2、念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法式，定积分的换元法和分部积分法难点难点定义及换元法和分部法的运用定义及换元法和分部法的运用5.1 5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质5.1.1 5.1.1 定积分问题举例定积分问题举例 1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积abxyo（四个小矩形）（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）（九个小矩形）显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系,1210bx

3、xxxxxanii(1) 分割分割:)., 2 , 1(ni将区间将区间a, b任意分为任意分为 n 个子区间，个子区间，niiSS1(2) 近似：近似：任取任取,1iiixx), 2 , 1(niiSiixf)(3) 作和：作和：iniixf)(1(4) 取极限：取极限：记记,max1inixxSiniixxf)(lim10分点为：分点为：1iiixxx设物体作直线运动设物体作直线运动, 已知速度已知速度)(tvv ,ba0)(tv是时间间隔是时间间隔上的上的, 计算在这段时间内物体所经过的路程计算在这段时间内物体所经过的路程.连续函数连续函数, 且且若是若是匀速直线匀速直线运动，运动，(1

4、) 分割分割:,110btttttaniiLL ,1iiittt), 2 , 1(ni(2) 近似：近似：任取任取,1iiittisiitv)(), 2 , 1(niniiss1(3) 作和：作和：iniitv)(1(4) 取极限：取极限：记记,max1inittsiniittv)(lim10= 速度速度时间时间路程路程iniixxfS)(lim102. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程 类似的例子还可以举出很多（几何、物类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在定积分应用中即可见到）理的，在定积分应用中即可见到） 这些问题虽然研究的对象不同，但解决这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的

5、思路及形式都有共同之处。为了一般问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念则称函数则称函数 f (x) 在在a , b上上可积可积, badxxf)(记作记作:设函数设函数 f (x) 在在 a , b 上有定义上有定义,把把 a , b 任意分任意分割成割成 n 个小区间个小区间:0121,iinaxxxxxxb );,( 2 , 11nixxxiii任取任取,1iiixx), 2 , 1(ni作和作和niiixf1;)(记记,max1inixx

6、若若极限极限存在存在,iniixxf)(lim10此此极限值极限值为函数为函数f (x)在在a , b上的上的定积分定积分. 即即iniixxf)(lim10badxxf)(5.1.2 5.1.2 定积分的概念定积分的概念1.1.定积分的定义定积分的定义定义定义5.1.15.1.1a , b积分区间积分区间 b积分上限积分上限a积分下限积分下限在在 区区 间间,ba上上 的的 定定 积积 分分 ，记为记为 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限积分区间积分区间,ba积分和积分和注意：注意：（1） 积积

7、分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关. badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.badxxf)(存在存在,它与它与区间的分法及点的取法无关区间的分法及点的取法无关.badttf)(baduuf)(注意注意是指是指极限极限 iniixxf)(lim10(2). 定积分是一个数定积分是一个数, 与积分变量用什么记号无关与积分变量用什么记号无关.只取决于被积函数和积分区间只取决于被积函数和积分区间,0)(aadxxfbadxxf)(;)(ab

8、dxxf(3). 规定规定:且只有且只有有限个间断点有限个间断点, 结论结论(1).函数函数 f (x) 在在a , b上上可积可积, 1. 若函数若函数 f (x) 在在a , b上上可积可积, 则则 f (x) 在在a , b上上有界有界.2. 若函数若函数 f (x) 在在a , b上上连续连续, 则则 f (x) 在在a , b上上可积可积.3. 若函数若函数 f (x) 在在区间区间a , b上上有界有界, 则则 f (x) 在在a , b上上可积可积., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负

9、值的负值4321)(AAAAdxxfba 1A2A3A4A 定积分的几何意义定积分的几何意义积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( 几何意义：几何意义：例例1. 利用定积分定义计算利用定积分定义计算102dxx解解把区间把区间0 , 1 n 等分等分, ,1 nxi 1 , 0)(2Cxxf ,nixi分点为分点为 ,inixi取取), 2 , 1(niniiixf1) (niix12i ninni121niin12

10、316) 12)(1(13nnnnniiixxf10)(lim316) 12)(1(1lim3nnnnn102dxx存在存在.102dxx性质性质1. dxxgxfba)()(babadxxgdxxf)()(可推广到有限多个函数代数和的情形可推广到有限多个函数代数和的情形.性质性质2. badxxkf)( badxxfk)( 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质性质3. 说明说明2121)()()()( ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxf(线性性质线性性质)5.1.3 5.1.3 定积分的基本性质定积分的基本

11、性质cbbadxxfdxxf)()( cbcadxxfdxxf)()( badxxf)( cadxxf)( xyo abcbca （1）若）若, 由几何意义知由几何意义知,cba（2）若）若, 由由(1)知知bccadxxfdxxf)()(其他情况类似可证其他情况类似可证.证证badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)().( )()( badxxfdxxfbaba性质性质4., , 0)(baxxf若若0)( badxxf则则推论推论1. )()( babadxxgdxxf则则推论推论 2.badxxf)(性质性质6. 则则 )(abm )(abM ),(min ),(max,xfmxf

12、Mbaxbax设设, ),()(baxxgxf若若(保号性保号性)(不等性不等性)abdxdxbaba1 性质性质5.)( abkkdxba(估值定理估值定理)Mdxxfabmba)(1, , ba(积分中值定理积分中值定理) 由性质由性质6知知由连续性介值定理知由连续性介值定理知,badxxfab)(1使使 ) (f即即badxxf)()(xfy xaboy ) (f性质性质7.证证设设 f (x) 在在a , b上取得最小值上取得最小值 m 与最大值与最大值 M,)( (abfbadxxfab)(1-平均值平均值 ) ( )(1) (badxxfabfba则至少存在一点则至少存在一点 ,ba使使若函数若函数 f (x) 在在a , b上上连续连续, ) (ba1)(2 xxf , 2m ) 14(2412) 1(dxx651) 14(17412) 1(dxx例例1. 估计积分值估计积分值:解解.17