2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节曲线与方程学案含解析新人教B版

1、第八节曲线与方程最新考纲考情分析1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.曲线与方程一般在客观题中主要考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程，以考查待定系数法和定义法为主；在主观题中往往仅作为某一问的形式出现，重点结合圆锥曲线的其他性质进行综合考查.知识点一曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线知识点二求动点的轨迹方

2、程的基本步骤1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(2)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(3)方程y与xy2表示同一曲线()2小题热身(1)若m，n为两个定点，且|mn|6，动点p满足0，则p点的轨迹是(a)a圆 b椭圆c双曲线 d抛物线(2)平面内到点(1,1)与到直线x2y30的距离相等的点的轨迹是(d)a椭圆 b双曲线c抛物线 d一条直线(3)已知点o(0,0)，a(1，2)，动点p满足|pa|3|po|，则p点的轨迹方程是(a)a8x28y22x4y50b8x28y22x4y50c8x28y22x4y50d8x28y22

3、x4y50解析：设p点的坐标为(x，y)，则3，整理得8x28y22x4y50.(4)已知f是抛物线yx2的焦点，p是该抛物线上的动点，则线段pf中点的轨迹方程是x22y1.解析：因为抛物线x24y的焦点f(0,1)，设线段pf的中点坐标是(x，y)，则p(2x,2y1)在抛物线x24y上，所以(2x)24(2y1)，化简得x22y1.(5)已知点p是直线2xy30上的一个动点，定点m(1,2)，q是线段pm延长线上的一点，且|pm|mq|，则q点的轨迹方程是2xy50.解析：由题意知，m为pq中点，设q(x，y)则p(2x,4y)，代入2xy30得2xy50.考点一直接法求轨迹方程【例1】已

4、知abc的三个顶点分别为a(1,0)，b(2,3)，c(1,2)，定点p(1,1)(1)求abc外接圆的标准方程；(2)若过定点p的直线与abc的外接圆交于e，f两点，求弦ef的中点的轨迹方程【解】(1)由题意得ac的中点坐标为(0，)，ab的中点坐标为，kac，kab1，故ac的中垂线的斜率为，ab的中垂线的斜率为1，则ac的中垂线的方程为yx，ab的中垂线的方程为y.由得abc的外接圆圆心为(2,0)，半径r213，故abc外接圆的标准方程为(x2)2y29.(2)设弦ef的中点为m(x，y)，abc外接圆的圆心为n，则n(2,0)，由mnmp，得0，(x2，y)(x1，y1)0，整理得x

5、2y23xy20，故弦ef的中点的轨迹方程为22.方法技巧(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点列式化简检验求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形1已知点f(0,1)，直线l：y1，p为平面上的动点，过点p作直线l的垂线，垂足为q，且，则动点p的轨迹c的方程为(a)ax24y by23xcx22y dy24x解析：设点p(x，y)，则q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x

6、24y，动点p的轨迹c的方程为x24y.2在平面直角坐标系xoy中，点b与点a(1,1)关于原点o对称，p是动点，且直线ap与bp的斜率之积等于.则动点p的轨迹方程为x23y24(x1)解析：因为点b与点a(1,1)关于原点o对称，所以点b的坐标为(1，1)设点p的坐标为(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点p的轨迹方程为x23y24(x1)考点二定义法求轨迹方程【例2】(1)abc的顶点a(5,0)，b(5,0)，abc的内切圆圆心在直线x3上，则顶点c的轨迹方程是_(2)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，则圆心p的轨迹方程为

7、_【解析】(1)如图，|ad|ae|8，|bf|be|2，|cd|cf|，所以|ca|cb|826.根据双曲线的定义，所求轨迹是以a，b为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)(2)因为圆p与圆m外切且与圆n内切，|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24，由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)【答案】(1)1(x3)(2)1(x2)方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键(1)适用条件,动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.(2)关键,定义法求轨迹方程的关键是由题意找到动点

8、所适合的常见曲线的几何特征.1(2020湖北黄冈模拟)设d为椭圆x21上任意一点，a(0，2)，b(0,2)，延长ad至点p，使得|pd|bd|，则点p的轨迹方程为(b)ax2(y2)220 bx2(y2)220cx2(y2)25 dx2(y2)25解析：d为椭圆x21上一点，且易知a、b为椭圆的焦点，|da|db|2a2.又|pd|bd|，|pa|pd|da|2，p的轨迹方程为x2(y2)2(2)220.故选b.2(2020豫北名校联盟联考)已知abc中，ab2，且sina(12cosb)sinb(12cosa)0，以边ab的中垂线为x轴，以ab所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则动点c

9、的轨迹方程为1(x0)解析：在abc中，由sina(12cosb)sinb(12cosa)0得sinasinb2sin(ab)2sinc，由正弦定理得2(r为abc外接圆半径)，可得|cb|ca|2|ab|ab|.点c的轨迹是以a，b为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中2a4,2c2，即a2，c1，b2a2c23.故点c的轨迹方程为1(x0)考点三相关点(代入法)求轨迹方程【例3】已知m为椭圆c：1上的动点，过点m作x轴的垂线md，d为垂足，点p满足，求动点p的轨迹e的方程【解】(1)设p(x，y)，y0，m(m，n)，则d(m,0)，(mx，y)(0，n)，则有解得又m(m，n)为椭圆c：1上

10、的点，1，即x2y225，动点p的轨迹e的方程为x2y225(y0)方法技巧(1)可以用“相关点法”求轨迹方程所满足的条件：某个动点p在已知方程的曲线上移动；另一个动点m随p的变化而变化；在变化过程中，p和m满足一定的规律.(2)“相关点法”求轨迹方程的基本步骤：将所求动点p的坐标设为(x，y)，另一已知动点q的坐标设为(x0，y0)，再寻找p，q之间的关系，把x0，y0分别用x，y表示出来，然后代入点q满足的方程即得所求.已知点h(0，8)，点p在x轴上，动点f满足pfph，且pf与y轴交于点q，q是线段pf的中点(1)求动点f的轨迹e的方程；(2)点d是直线l：xy20上任意一点，过点d作e的两条切线，切点分别为a，b，证明：直线ab过定点解：(1)设f(x，y)，y0，p(m,0)，q(0，n)，则(m，8)，(m，n)，pfph，m28n0，即m28n，又代入m28n，得x24y(y0)故轨迹e的方程为x24y(y0)(2)证明：设d(