2021届高考数学一轮复习第8章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测理含解析

1、第八章第八章立体几何立体几何第二节第二节空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积a 级基础过关|固根基|1.如图所示，已知三棱柱 abca1b1c1的所有棱长均为 1，且 aa1底面 abc，则三棱锥 b1abc1的体积为()a312b34c612d64解析：选 a易知三棱锥 b1abc1的体积等于三棱锥 ab1bc1的体积，又三棱锥 ab1bc1的高为32，底面积为12，故其体积为131232312.2(2020 届大同调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()a11b143c283d16解析：选 c由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，记为三棱锥 abcd，将

2、该三棱锥放在长方体中，如图所示，其中 ab平面 bcd，ab2，bcd 为边长为 2 的正三角形设 o1为正bcd 的中心，o 为三棱锥 abcd 外接球的球心，r 为外接球的半径连接 oo1，ob，o1b，则oo1平面bcd， oo11， bo1232322 33， 则ob2r2122 33273，所以该几何体外接球的表面积 s4r2473283，故选 c3.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高 l 为6124的圆柱，上、下两端均是半径 r 为 2 的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，该球的直径为()a3b4c5d6解析：选 c实

3、心金属几何体的体积 v43r3r2l438461241256.设实心球的半径为 r，由体积相等得43r31256，所以 r52，所以该球的直径为 2r5.4.如图，圆柱的底面半径为 1，平面 abcd 为圆柱的轴截面，从 a点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到 c 点，若绳子的最短长度为 3，则该圆柱的侧面积为()a4 22b2 22c5 22d42解析：选 a沿 ad 将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中 a，c 两点间的距离，连接 ac，所以 ac3，展开后 ab 的长度为.设圆柱的高为 h，则 ac2ab2h2，即922h2，解得 h2 2，所以圆柱的侧面积为 212 24 22

4、.5(2020 届贵阳摸底)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()a23b43c13d16解析：选 a根据三视图可知，该几何体为三棱锥，记为 abcd，放在正方体中如图所示，则该几何体的体积 v13sbcd2131221223.故选 a6(2019 届合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为()a1712b1212c2012d1612解析：选 c由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为 1 和 3，高均为 3，所以该几何体的表面积为1223312213

5、2123212122232012，故选 c7 (2019 届福州市质检)如图， 以棱长为 1 的正方体的顶点 a 为球心，以 2为半径作一个球面， 则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()a34b 2c32d94解析：选 c正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 a1为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 32432.故选 c8(2019 届洛阳市第二次联考)已知正三角形 abc 的三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 o 到平面 abc 的距离为 1，点 e 是线段 ab 的中点，过点 e 作球 o 的截面，则截面圆面积的最小

6、值是()a74b2c94d3解析：选 c设正三角形 abc 的中心为 o1，连接 oo1，oa，o1a，由题意得 o1o平面 abc，o1o1，oa2，在 rto1oa 中，o1a oa2o1o2 3，ab3.e 为 ab 的中点，ae32.连接 oe，则 oeab过点 e 作球 o 的截面， 当截面与 oe 垂直时， 截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 r32，可得截面圆面积的最小值为r294，故选 c9(2019 届南昌市二模)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为 l，有以下结论：lr43；圆锥的侧面积与底面面积之比为 43；圆锥的轴截面是锐角三角形其中所有

7、正确结论的序号是()abcd解析：选 a设圆锥的母线长 l1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，所以圆锥的侧面积为34.又圆锥的底面半径为 r，所以由 2r342，得 r34，所以lr43，故正确；圆锥的侧面积与底面积之比为3434243，故正确；设圆锥的轴截面三角形的顶角为，因为圆锥的底面直径为 23432，所以 cos 121232221118，所以角为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，故错误故选 a10 (2019 届惠州模拟)已知三棱锥 sabc 的底面是以 ab 为斜边的等腰直角三角形， ab2，sasbsc2，则三棱锥 sabc 的外接球的球心到平面 abc 的距离是()a3

8、3b1c 3d3 32解析：选 a三棱锥 sabc 的底面是以 ab 为斜边的等腰直角三角形，sasbsc2，s 在底面 abc 内的射影为 ab 的中点设 ab 的中点为 h，连接 sh，ch，sh平面 abc，sh 上任意一点到 a，b，c 的距离相等，易知 sh 3，ch1，在 rtshc 中，hsc30.在面 shc 内作 sc 的垂直平分线 mo，交 sh 于点 o，交 sc 于点 m，则 o 为三棱锥 sabc 的外接球的球心sc2，sm1.又osm30，so2 33，oh33，球心 o 到平面 abc 的距离为33，故选 a11如图，在直角梯形 abcd 中，addc，adbc，

9、bc2cd2ad2，若将该直角梯形绕 bc 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_解析：根据题意可知，所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为 1，高为 1)，下半部分为圆柱(底面半径为 1，高为 1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为1 121221112( 23).答案：( 23)12(2020 届贵阳摸底)在四面体 abcd 中，若 abcd 5，acbd 6，adbc3，则四面体 abcd 的外接球的表面积为_解析：如图所示，将四面体补形为长方体，则四面体的四个顶点均为长方体的顶点，四面体的外接球即长方体的外接球设长方体的长、宽

10、、高分别为 a，b，c，则a2b29，a2c26，b2c25，三个等式相加得 2(a2b2c2)20a2b2c210，设该四面体外接球的半径为 r，则 2ra2b2c2 10，即 r102，所以该四面体外接球的表面积为 4r2410410.答案：10b 级素养提升|练能力|13.(2019 届合肥市二检)我国古代名著张丘建算经中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈欲斩末为方亭，令上方六尺问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积

11、，则该正四棱台的体积是(注：1 丈10 尺)()a1 946 立方尺b3 892 立方尺c7 784 立方尺d11 676 立方尺解析：选 b解法一：如图，记正四棱台为 a1b1c1d1abcd该正四棱台由正四棱锥 sabcd 截得，o 为正方形 abcd 的中心，e 为 bc的中点，e1为 b1c1的中点设正四棱台的高为 x，则由图中so1e1soe，得so1soo1e1oe，即30 x30310，解得 x21，所以该正四棱台的体积v13(62620202)213 892(立方尺)，故选 b解法二：如解法一中图，记正四棱台为 a1b1c1d1abcd该正四棱台由正四棱锥 sabcd 截得，o

12、 为正方形 abcd 的中心，e 为 bc 的中点，e1为 b1c1的中点设截去的正四棱锥的高为 x，则由图中so1e1soe，得so1soo1e1oe，即x30310，解得 x9，所以该正四棱台的体积 vv正四棱锥sabcdv 正四棱锥 sa1b1c1d11320230136293 892(立方尺)，故选 b14(2019 届郑州市第二次质量预测)在长方体 abcda1b1c1d1中，addd11，ab 3，e，f，g 分别是棱 ab，bc，cc1的中点，p 是底面 abcd 内一动点，若直线 d1p 与平面 efg 没有公共点，则pbb1面积的最小值为()a32b1c34d12解析：选 c

13、记pbb1的面积为 s.因为 p 在底面 abcd 上，所以 pbbb1，即pbb1为直角三角形又 bb1dd11，所以 s12bb1pb12pb，所以当线段 pb 的长最小时，s 取得最小值 因为 d1p 与平面 efg 无公共点， 所以 d1p平面 efg.如图， 连接 ad1， d1c，ac，易证 gfad1，efac，又 gfeff，ad1aca，所以平面 ad1c平面 efg，所以 d1p平面 ad1c，又点 p 是底面 abcd 内一动点，所以点 p 一定在线段 ac 上运动如图，当 pbac 时，线段 pb 的长最小，此时 pbabbcac32，故 smin123234，故选 c

14、15在封闭的直三棱柱 abca1b1c1内有一个体积为 v 的球若 abbc，ab6，bc8，aa13，则 v 的最大值是()a4b92c6d323解析：选 b由题意可得，若 v 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为 2，球的直径为 4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时半径 r32，故该球的体积最大，vmax43r34327892.16(2020 届惠州调研)在三棱锥 abcd 中，底面 bcd 是直角三角形且 bccd，斜边bd 上的高为 1，三棱锥 abcd 的外接球的直径是 ab，若该外接球的表面积为 16，则三棱锥 abcd 体积的最大值为_解析：如图，过点 c 作 chbd 于 h.由外接球的表面积为 16，可得外接球的半径为 2，则 ab4.因为 ab 为外接球的直径， 所以bda90， bca90， 即 bdad， bcca，又 bcc