数学在自控中的应用

1、数学在自控中的应用一 拉氏变换已知f(t),求f(s)=?二拉氏反变换已知f(s),求f(t)=? 微分方程一般形式： 的一般表达式为：（i）其中分母多项式可以分解因式为： (ii)的根(特征根)，分两种情形讨论：i：无重根时：(依代数定理可以把表示为：)即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：()()(说明()的原理，推导() )例2：求解：例3：，求解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)例4：解法一： （）解法二：ii：有重根时：设为m阶重根，为单根 .则可表示为：其中单根的计算仍由(1)中公式() ()来计算.重根项系数的计算公式：(说明原理)例5 求解：三、用拉氏变换求解微分方程

2、 例1： 解： 例2如右图电路：初条件： 输入 依克西霍夫定律：l变换：依（）式可见，影响电路响应的因素有三个：分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑四、采用数学模型求传递函数例1 已知某系统，当输入为时，输出为求：1) 系统传递函数2) 系统增益？3) 系统的特征根及相应的模态？ 4) 画出系统对应的零极点图；5) 系统的单位脉冲响应6) 系统微分方程；7) 当时，系统响应解 1） 2）由式，增益k=13）由式：特征根模态 4）零极点图见右5）6）隐含零初始条件不受零初始条件限制7）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件例2 系统如右图所示已知方框对应的微分方程为求系

3、统的传递函数解：对相应的微分方程进行拉氏变换 又由运算放大器特性，有 有 例3.典型元部件的传递函数1. 电位器(无负载时) 2. 电桥式误差角(位置)检测器3. 自整角机注 自整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别1) 前者工作于交流状态，后者直流2) 自整角机无摩擦，精度高3) 自整角机可以大于4. 测速发电机1）直流测速发电机楞次定律2）交流发电机5. 电枢控制式直流电动机(结构同发电机) 楞次定律：克希霍夫：安培定律：牛顿定律： 利用前四个方程中的三个消去中间变量得出：时间常数传递系数同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成

4、以下结构图：分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图6. 两相交流伺服电动机堵转力矩：机械特性：牛顿定律：利用前两式消去可得：分别各式进行拉氏变换得：方框图7. 齿轮系：传动比负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算：对于电机轴: 为负载轴转矩对于负载轴： 在啮合点： 又有： （4）利用4式中的3个,消去中间变量:一般地，有多级齿轮转动时： 可见：由于一般减速器总有越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大， 远离电机轴的负载影响则较小 若一级减速比很大，则负载轴的影响可以忽略不计课本习题：已

5、知控制系统结构图如图所示，求输入时系统的输出。解 由图可得又有 则 即 6试绘制图所示系统的信号流图。解7已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 ，试求系统的传递函数和脉冲响应。解 单位阶跃输入时，有，依题意 8已知系统传递函数 ，且初始条件为，试求系统在输入作用下的输出。解 系统的微分方程为 （1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 （2） 9求图所示各有源网络的传递函数。解 (a) 根据运算放大器 “虚地”概念，可写出(b) (c) 10已知单摆系统的运动如图示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角q ，摆球质量为m。（2）由牛顿定律

6、写原始方程。单摆运动 其中，l为摆长，lq 为运动弧长，h为空气阻力。（3）写中间变量关系式 式中，为空气阻力系数为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式 （2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在q 0的附近，非线性函数sinq q ，故代入式（2-1）可得线性化方程为 11已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。机械旋转系统 解：（1）设输入量作用力矩mf，输出为旋转角速度w 。（2）列写运动方程式 式中， fw为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为q，则由于 代入方程得二阶线性微分方程式 12设有一个倒

7、立摆安装在马达传动车上。如图所示。倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心a。试求该系统的运动方程式。解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角q 。(2) 写原始方程式，设摆杆重心a的坐标为（xa，ya）于是 xaxlsinq xy = lcosq画出系统隔离体受力图如图所示。 隔离体受力图 摆杆围绕重心a点转动方程为： （22）式中，j为摆杆围绕重心a的转动惯量。摆杆重心a沿x轴方向运动方程为：即 （23）摆杆重心a沿y轴方向运动

8、方程为： 即 小车沿x轴方向运动方程为： 方程（22），方程（23）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq 和cosq 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当q 很小时，可对方程组线性化，由sinq q，同理可得到cos1则方程式(22)式（23）可用线性化方程表示为： 用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量v、h、x得 将微分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。13rc无源网络电路图如图所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数uc(s)/ur(s)。rc无源网络 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即： 如果