2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训46立体几何中的向量方法理含解析新人教版

1、课后限时集训(四十六)立体几何中的向量方法建议用时：40分钟一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()a120 b60 c30 d60或30c设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又090，30.2(2020江西省五校协作联考)如图，圆锥的底面直径ab4，高oc2，d为底面圆周上的一点，且aod，则直线ad与bc所成的角为()a b c db如图，过点o作oeab交底面圆于e，分别以oe，ob，oc所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为aod，所以bod，则d(，1,0)，a(0

2、，2,0)，b(0,2,0)，c(0,0,2)，(，3,0)，(0，2,2)，所以cos，则直线ad与bc所成的角为，故选b3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a bc da设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.4在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，ac2，bc，d，e分别是ac1和bb1的中点，则直线de与平面bb1c1c所成的角为()a30 b45 c60 d90a由已知

3、ab2bc2ac2，得abbc以b为原点，分别以bc，ba，bb1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设aa12a，则a(0,1,0)，c(，0,0)，d，e(0,0，a)，所以，平面bb1c1c的一个法向量为n(0,1,0)，cos，n，n60，所以直线de与平面bb1c1c所成的角为30.故选a5设正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则点d1到平面a1bd的距离是()a b c dd如图建立坐标系，则d1(0,0,2)，a1(2,0,2)，b(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(2,0,2)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1,

4、1,1)d1到平面a1bd的距离d.6.如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为2，直线cc1与平面acd1所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为()a2 b3c4 d5c以d为原点，以da，dc，dd1为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设dd1a，则a(2,0,0)，c(0,2,0)，d1(0,0，a)，c1(0,2，a)，则(2,2,0)，(2,0，a)，(0,0，a)，设平面acd1的法向量为n(x，y，z)，则令x1可得n，故cosn，.直线cc1与平面acd1所成角的正弦值为，解得a4.故选c二、填空题7在底面是直角梯形的四棱锥sabcd中，abc90，adbc，sa平面ab

5、cd，saabbc1，ad，则平面scd与平面sab所成锐二面角的余弦值是 如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知，d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，可知是平面sab的一个法向量设平面scd的一个法向量n(x，y，z)，因为，所以即令x2，则有y1，z1，所以n(2，1,1)设平面scd与平面sab所成的锐二面角为，则cos .8.如图所示，四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd是边长为2的正方形，pd2，e是棱pb的中点，m是棱pc上的动点，当直线pa与直线em所成的角为60时，那么线段pm的长度是 如图建立空间直角坐标系，则a(2,0,0)，p(0,0,2)，b(2,

6、2,0)，e是棱pb的中点，e(1,1,1)，设m(0,2m，m)，则，解得m，m，pm.9.如图，平面abcd平面abef，四边形abcd是正方形，四边形abef是矩形，且afada，g是ef的中点，则gb与平面agc所成角的正弦值为 如图，以a为原点建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2a,0)，c(0,2a,2a)，g(a，a,0)，(a，a,0)，(0,2a,2a)，(a，a,0)，设平面agc的法向量为n1(x1，y1,1)，由n1(1，1，1)sin .三、解答题10(2020韶关二模)如图，在底面是平行四边形的四棱锥pabcd中，平面pcd平面abcd，pdcd3，p

7、c3.(1)求证：平面pad平面abcd；(2)设m是棱pc的中点，e是棱pa的中点，若bdcd，bd2，求直线bm与平面bde所成的角的正弦值解(1)证明：在pdc中，pdcd3，pc3，pd2dc2pc2 ，则pddc，又平面pcd平面abcd，且平面pcd平面abcdcd，pd平面pdc，pd平面abcd，又pd平面pad，平面pad平面abcd(2)由(1)知，pd平面abcd，又bdcd，以d为坐标原点，分别以db，dc，dp所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系得d(0,0,0)，b(2,0,0)，e，m.，(2,0,0)，.设平面bde的一个法向量为n(x，y，z)，由取z1，

8、得n(0,1,1)设直线bm与平面bde所成的角为，则sin |cos，n|.直线bm与平面bde所成的角的正弦值为.11(2020安徽五校联考)如图，已知四棱锥pabcd的底面abcd是等腰梯形，abcd，acbdo，pbac，papbab2cd2，ac3.(1)证明：平面pbd平面abcd；(2)点e是棱pc上一点，且oe平面pad，求二面角eoba的正弦值解(1)证明：等腰梯形abcd中，oabocd，2，又ac3，oa2，ob2，oa2ob2ab2，oaob，即acbd又pbac，且bdpbb，ac平面pbd又ac平面abcd，平面pbd平面abcd(2)连接po，如图，由(1)知，a

9、c平面pbd，acpo，po2，po2ob2pb2，即poob以oa，ob，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则o(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,2,0)，p(0,0,2)，平面aob的一个法向量为m(0,0,1)，oe平面pad，oe平面pac，平面pac平面padpa，oepa设平面eob的法向量为n(x，y，z)，则n，则y0，nn(x，y，z)(2,0,2)0xz，令x1，则n(1,0,1)，cosm，n，sinm，n，所求二面角eoba的正弦值是.1(2020连云港模拟)九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑pabc中，pa平

10、面abc，abbc，且paabbc1，则二面角apcb的大小是()a30 b45 c60 d90c在鳖臑pabc中，pa平面abc，abbc，且paabbc1，以b为原点，bc为x轴，ba为y轴，过b作平面abc的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则a(0,1,0)，c(1,0,0)，b(0,0,0)，p(0,1,1)，(0,0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)，设平面pac的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1,1,0)，设平面pbc的法向量m(a，b，c)，则取b1，得m(0,1，1)，设二面角apcb的大小为，则cos ，60.二面角apcb的大小为60.故选c2(2020宣城二

11、模)如图，正四面体abcd的顶点a，b，c分别在两两垂直的三条射线ox，oy，oz上，则在下列命题中，错误的为()aoabc是正三棱锥b二面角doba的平面角为c直线ad与直线ob所成角为d直线od平面abcb正四面体abcd的顶点a，b，c分别在两两垂直的三条射线ox，oy，oz上，在a中，acabbc，oaoboc，oabc是正三棱锥，故a正确；在b中，设ob1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，d(1,1,1)，o(0,0,0)，(1,1,1)，(0,1,0)，设平面obd的法向量m(x，y，z)，则取x1，得m(1,0，1)，平面oab的法向量n(0,0,1)，cosm，n，二面角

12、doba的平面角为，故b错误；在c中，设ob1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，d(1,1,1)，o(0,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，cos，直线ad与直线ob所成角为，故c正确；在d中，设ob1，则a(1,0,0)，b(0,1,0)，d(1,1,1)，o(0,0,0)，c(0,0,1)，(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，0，0，odab，odac，abaca，直线od平面abc，故d正确故选b3(2020厦门模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面acc1a1，abc为正三角形，d为线段bb1的中点(1)证明：平面adc1平面acc1a1；(

13、2)若aa1与平面abc所成角的大小为60，aa1ac，求二面角adc1b1的余弦值解(1)证明：设ac，ac1的中点分别为m，o，连接bm，mo，do，abc为正三角形，bmac平面abc平面acc1a1，平面abc平面acc1a1ac，bm平面abc，bm平面acc1a1.m，o分别为ac，ac1的中点，mo綊cc1，在棱柱abca1b1c1中，bb1綊cc1，又d为bb1的中点，bd綊cc1，mo綊bd，四边形bmod为平行四边形，dobm ，do平面acc1a1，do平面adc1，平面adc1平面acc1a1.(2)平面acc1a1平面abc，a1在平面abc内的射影落在ac上，a1a

14、c为aa1与平面abc所成的角，故a1ac60，连接a1o，aa1ac，则a1oao，设aa12，则ao，a1o1，以o为原点，分别以oa，oa1，od所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则a(，0,0)，d(0,0，)，c1(，0,0)，c(0，1,0)，b1，(，0，)，平面acc1a1平面adc1，平面acc1a1平面adc1ac1，oa1ac1，oa1平面adc1，设平面adc1的一个法向量为(0,1,0)，设平面b1dc1的一个法向量为m(x，y，z)，则取m(1，1)，cos，m，又二面角adc1b1为钝角，故二面角adc1b1的余弦值为.1(2020乐清期末

15、)如图在三棱锥sabc中，sasbsc，且asbbsccsa，m，n分别是ab和sc的中点，则异面直线sm与bn所成的角的余弦值为 ，直线sm与面sac所成角大小为 因为asbbsccsa，所以以s为坐标原点，sa，sb，sc为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)设sasbsc2，则m(1,1,0)，b(0,2,0)，n(0,0,1)，a(2,0,0)，c(0,0,2)因为(1,1,0)，(0，2,1)，cos，所以异面直线sm与bn所成的角的余弦值为，面sac一个法向量为(0,2,0)，则由cos，得，即直线sm与面sac所成角大小为.2结构不良试题(2020青岛模拟)试在pcbd，pca

16、b，papc三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得po面abcd成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：如图，在四棱锥pabcd中，acbdo，底面abcd为菱形，若 ，且abc60，异面直线pb与cd所成的角为60，求二面角apbc的余弦值解若选，由po平面abcd，知poab，又pcab，ab平面pac，abac，bac90，bcba，这与底面是菱形矛盾，必不选，故选.下面证明：po平面abcd，四边形abcd是菱形，acbd，pcbd，pcacc，bd平面apc，po平面apc，bdpo，papc，o为ac中点，poac，又acbdo，po平面abcd，以o为原点，ob，oc，op的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，abcd，pba为异面直线pb与c