2022版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教A版

1、第三节随机事件的概率一、教材概念结论性质重现1样本点和样本空间随机试验e的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验e的样本空间一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点2概率与频率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件a发生的频率fn(a)会逐渐稳定于事件a发生的概率p(a)我们称频率的这个性质为频率的稳定性因此，我们可以用频率fn(a)来估计概率p(a)随机事件a发生的频率与概率的区别与联系随机事件a发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件a发生的频率稳定在事件a发生的概率附近3事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系事

2、件a发生，事件b一定发生事件b包含事件a(或事件a包含于事件b)ba(或ab)相等关系ba且ab事件a与事件b相等ab并事件(或和事件)事件a与事件b至少有一个发生事件a与事件b的并事件(或和事件)ab(或ab)交事件(或积事件)事件a与事件b同时发生事件a与事件b的交事件(或积事件)ab(或ab)互斥事件事件a与事件b不能同时发生事件a与事件b互斥(或互不相容)ab互为对立事件a与事件b有且仅有一个发生事件a与事件b互为对立ab，ab4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率p()1.(3)不可能事件的概率p()0.(4)如果事件a与事件b互斥，则p(ab

3、)p(a)p(b)如果事件a与事件b互为对立事件，那么p(b)1p(a)，p(a)1p(b)如果ab，那么p(a)p(b)设a，b是一个随机试验中的两个事件，我们有p(ab)p(a)p(b)p(ab)5事件的相关概念1随机事件a，b互斥与对立的区别与联系当随机事件a，b互斥时，不一定对立；当随机事件a，b对立时，一定互斥2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)事件发生的频

4、率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生()(5)若a，b为互斥事件，则p(a)p(b)1.()(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()a至多有一次中靶b两次都中靶c只有一次中靶d两次都不中靶d解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”3将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()a必然事件 b随机事件 c不可能事件 d无法确定b解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010

5、，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件4把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件a为“甲分得语文书”，事件b为“乙分得数学书”，事件c为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()aa与b是不可能事件 babc是必然事件ca与b不是互斥事件 db与c既是互斥事件也是对立事件c解析：事件a，事件b，事件c都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故a，b两项错误；事件a，事件b可能同时发生，故事件a与事件b不是互斥事件，c项正确；事件b与事件c既不互斥，也不对立，d项错误故选c5容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)

6、50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为0.45.6一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是_解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为.考点1随机事件的关系基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()a是对立事件 b是不可能事件c是互斥但不对立事件 d不是互斥事件c解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人

7、，综上，这两个事件为互斥但不对立事件(2)设条件甲：事件a与事件b是对立事件，结论乙：概率满足p(a)p(b)1，则甲是乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件a解析：若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.投掷一枚硬币3次，满足p(a)p(b)1，但a，b不一定是对立事件如事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“出现3次正面”，则p(a)，p(b)，满足p(a)p(b)1，但a，b不是对立事件判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两

8、个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集1(2020菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()a“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”b“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”c“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”d“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”c解析：在a中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“

9、2枚都是反面朝上”一定发生，故a中的两个事件是对立事件；在b中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故b中的两个事件不是互斥事件；在c中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故c中的两个事件是互斥而不对立事件；在d中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故d中的两个事件不是互斥事件故选c2口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个从中取出两个球，事件a“取出的两个球同色”，b“取出的两个球中至

10、少有一个黄球”，c“取出的两个球中至少有一个白球”，d“取出的两个球不同色”，e“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_a与d为对立事件；b与c是互斥事件；c与e是对立事件；p(ce)1；p(b)p(c)解析：显然a与d是对立事件，正确；当取出的两个球为一黄一白时，b与c都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件c与e都发生，不正确；ce为必然事件，p(ce)1，正确；p(b)，p(c)，不正确考点2随机事件的频率与概率基础性如图，a地到火车站共有两条路径l1和l2，现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)1020203030404

11、0505060选择l1的人数612181212选择l2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率p0.44.(2)选择l1的有60人，选择l2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10202030304040505060选择l1的频率0.10.2

12、0.30.20.2选择l2的频率00.10.40.40.1(3)设a1，a2分别表示甲选择l1和l2时，在40分钟内赶到火车站；b1，b2分别表示乙选择l1和l2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知p(a1)0.10.20.30.6，p(a2)0.10.40.5.因为p(a1)p(a2)，所以甲应选择l1.同理，p(b1)0.10.20.30.20.8，p(b2)0.10.40.40.9.因为p(b1)p(b2)，所以乙应选择l2.1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概

13、率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()a49 b0.5 c0.51 d0.49c解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为0.51.2(2020潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下4030703550岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结

14、论正确的是()a该校教职工具有本科学历的概率低于60%b该校教职工具有研究生学历的概率超过50%c该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%d该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%d解析：对于选项a，该校教职工具有本科学历的概率p62.5%60%，故a错误；对于选项b，该校教职工具有研究生学历的概率p37.5%50%，故b错误；对于选项c，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p8.3%10%，故d正确故选d考点3互斥事件与对立事件的概率综合性经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.0

15、4求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a，b，c，d，e，f彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件h，则hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.040.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)1p(g)0.44.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式p(a)1p()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后出各事件发生的概率，再求和(或差)间接法体现了“正难则反”的思想方法1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件a表示“小于5的偶数点出现”，事件b表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件a发生的概率为()a b c dc解析：抛