2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价30平面向量的数量积及综合应用含解析新人教A版

1、课时质量评价(三十)(建议用时：45分钟)a组全考点巩固练1(多选题)已知向量a(0,5)，b(4，3)，c(2，1)，那么下列结论正确的是()aab与c为共线向量bab与c垂直cab与a的夹角为钝角dab与b的夹角为锐角ab解析：根据题意，向量a(0,5)，b(4，3)，则ab(4,2)又由c(2，1)，有4(1)2(2)，则ab与c是共线向量因为ab(4,8)，(ab)c(4)(2)(1)80，所以ab与c垂直2(2020中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400 n，则该学生

2、的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)a63b69c75d81b解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为f1，f2，身体的重力为g，f1f2400 n，两胳膊夹角60，所以gf1f20，即g(f1f2)所以g2(f1f2)240022400400cos 60400234002，|g|400(n)，40401.73269，则该学生的体重约为69 kg.3(2020“超级全能生”全国联考)在abc 中，ab4，bc6，abc，d是ac的中点，e在bc上，且aebd，则等于()a16b12c8d4a解析：以b为原点，ba，bc所在直线分别为x，y轴建立

3、平面直角坐标系(图略)，则a(4,0)，b(0,0)，c(0,6)，d(2,3)设e(0，t)，因为aebd，所以(2,3)(4，t)83t0，所以t，即e.(0,6)16.4(2020兴庆区校级三模)在边长为2的等边三角形abc中若d是bc边上的中点，点p是线段ad上的一动点，则的取值范围是()a1.0b1,1cdd解析：以d为原点，dc和da分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则a(0，)，c(1,0)设p(0，y)，y0，所以(0，y)(1，y)y(y).5(2020唐山二模)已知向量a，b满足|a|1，(ab)(3ab)，则a与b的夹角的最大值为()a30b60 c120d1

4、50a解析：因为|a|1，(ab)(3ab)，所以(ab)(3ab)3a2b24ab3b24ab0，所以ab，所以cosab，当且仅当|b|时，等号成立，且0ab180，所以cosab时，a，b的夹角最大为30.6(2020重庆模拟)已知向量a(1,2)，b(3,4)若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为，则|c|_.5解析：向量a(1,2)，向量c与a共线，设c(，2)由b(3,4)，所以c在b方向上的投影为|c|cos ，解得，所以c(，2)，所以|c|5.7已知向量(2,3)，(3，t)，且与夹角为锐角，则实数t的取值范围为_解析：向量(2,3)，(3，t)，所以(1，t3)又与夹角为

5、锐角，则所以解得t且t，所以实数t的取值范围是.8在平面直角坐标系xoy中，已知a(0，1)，b(3，4)两点若点c在aob的平分线上，且|，则点c的坐标是_(1，3)解析：由题意，(0，1)是一个单位向量由于(3，4)，故方向上的单位向量e.因为点c在aob的平分线上，所以存在实数(0)使得(e).因为|，所以210，解得.代入得(1，3)9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求abc的面积解：(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab

6、6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以abc.又|a|4，|b|3，所以sabc|sinabc433.10在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且mn.(1)求sin a的值；(2)若a4，b5，求角b的大小及向量在方向上的投影解：(1)由mn，得cos(ab)cos bsin(ab)sin b，所以cos a.因为0a，所以sin a.(2)由正弦定理，得，则sin b，因为ab，所以ab，且b是abc一内角，则b

7、.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)，故向量在方向上的投影为|cos bccos b 1.b组新高考培优练11(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，则下列结论正确的是()a不存在，使e1e2beec(e1e2)(e1e2)de1在e2方向上的投影为sin abc解析：对于a，因为两个单位向量e1，e2，有e1e211cos cos 1，所以a正确；对于b，因为两个单位向量e1，e2，有ee1，所以b正确；对于c，因为两个单位向量e1，e2，(e1e2)(e1e2)ee0 ，所以(e1e2)(e1e2)，所以c正确；对于d，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2

8、方向上的投影为|e1|cos cos ，所以d错误12(2020乐山模拟)如图，已知函数f (x)|sin x|，a1，a2，a3是图象的顶点，o，b，c，d为f (x)与x轴的交点，线段a3d上有五个不同的点q1，q2，q5，记ni(i1,2，5)，则n1n2n5的值为()ab45cdd解析：由题意得，函数f (x)的周期t1，即b，c，d的横坐标分别为1,2,3，故a2，a3，则k，k.因为kk1，故，故n1n2n5()(5)55.13已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_；的最大值为_11解析：以射线ab，ad分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则

9、a(0,0)，b(1，0)，c(1，1)，d(0,1)设e(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，的最大值为1. 14已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a，b，(ca)(cb)1，求|ca|的最大值解：设a，b，c，以oa所在的直线为x轴，o为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)因为|a|4，|b|2，a与b的夹角为，则a(4,0)，b(2,2)，设c(x，y)因为(ca)(cb)1，所以x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21，所以点c在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|ca|表示点a，c的距离

10、，即圆上的点与a(4,0)的距离因为圆心到a的距离为，所以|ca|的最大值为1.15(2020浙江模拟)已知ab是半圆o的直径，ab2，等腰三角形ocd的顶点c，d在半圆弧上运动，且ocod，cod120，点p是半圆弧上的动点，求的取值范围解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得a(1,0)，b(1,0)，设d(cos ，sin )，则c(cos(120)，sin(120)设p(cos ，sin )，其中0，60，0，180，所以(cos(120)cos ，sin(120)sin )，(cos cos ，sin sin )，所以cos(120)cos (cos cos )sin(120)sin (sin sin )cos cos cos cos cos2sin sin sin sin sin2co