2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练六十三圆锥曲线与其他知识的交汇问题课时作业理含解析新人教A版

1、课时作业梯级练课时作业梯级练六十三六十三圆锥曲线与其他知识的交汇问题圆锥曲线与其他知识的交汇问题一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1已知 a，b，p 为双曲线 x2y241 上不同三点，且满足pa pb2po (o 为坐标原点)，直线 pa，pb 的斜率记为 m，n，则 m2n24的最小值为()a8b4c2d1【解析】选 b.由pa pb2po 知点 o 为线段 ab 的中点，设 a(x1，y1)，p(x2，y2) ，则b(x1，y1) ，所以 my2y1x2x1，ny2y1x2x1，故 mn（y2y1） （y2y1）（x2x1） （x2x1）y22y21x22x21，由于点 a，b，

2、p 在双曲线上，所以 x21y2141， x22y2241 ， 代入上式， 有 mny22y2114（y22y21）4 ， 所以 m2n242m2n24mn4 ，当且仅当 m2n24时取等号，故最小值为 4.2设抛物线 c：y24x 的焦点为 f，过点(2，0)且斜率为23的直线与 c 交于 m，n 两点，则fmfn ()a5b6c7d8【解析】选 d.由题意知直线 mn 的方程为y23(x2)，f(1，0).设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，与抛物线方程联立有y23（x2） ，y24x，可得x11，y12，或x24，y24，所以fm(0，2)，fn (3，4)，所以fmfn 03248

3、.【一题多解】 选 d.过点(2， 0)且斜率为23的直线的方程为 y23(x2)， 由y23（x2） ，y24x，得x25x40，设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，根据根与系数的关系，得 x1x25，x1x24.易知 f(1，0)，所以fm(x11，y1)，fn (x21，y2)，所以fmfn (x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)14 x1x245188.3在平面直角坐标系中，已知点 p 是椭圆 e：x24y21 上的动点，不经过点 p 的直线 l 交椭圆 e 于 a，b 两点若oaob op 0，直线 l 与直线 po 交于点 q，则动点 q 的轨迹方程为()ax24y2

4、1bx2y241cx24y21d4x2y21【解析】选 a.设 p(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x1，y1)，设 q(x，y)，因为oaob op 0，所以点 o 是abp 的重心，且oaob 2oq ，所以op 2oq ，即 x02x，y02y，因为x204y201，所以 x24y21，所以动点 q 的轨迹方程是 x24y21.4已知抛物线 c：y28x 的焦点为 f，准线为 l，p 是 l 上一点，q 是直线 pf 与 c 的一个交点，若fp4fq ，则|qf|()a72b52c3d2【解析】选 c.过点 q 作 qql 交 l 于点 q，因为fp4fq ，所以|pq|pf|34，

5、又焦点 f 到准线 l 的距离为 4，所以|qf|qq|3.5设 f1，f2分别是椭圆 e：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过 f1的直线 l 与 e 相交于 a，b 两点，且|af2|，|ab|，|bf2|成等差数列若直线 l 的斜率为 1，则 b 的值为()a24b 2c22d12【解析】选 c.由椭圆定义知|af2|ab|bf2|4，又 2|ab|af2|bf2|，得|ab|43.设 l 的方程式为 yxc，其中 c 1b2.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a，b 两点坐标满足方程组yxc，x2y2b21，化简得(1b2)x22cx12b20.则 x1x22c1b2，x

6、1x212b21b2.因为直线 ab 的斜率为 1，所以| 2 |x2x1|，即43 2 |x2x1|.则89(x1x2)24x1x24（1b2）（1b2）24（12b2）1b28b4（1b2）2，解得 b22.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6如图，f1，f2分别是双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过 f1的直线与圆x2y2a2相切，切点为 t，且交双曲线的右支于点 p，若 21ft tp，则双曲线 c 的离心率 e_【解析】连接 pf2，过 f2作 f2qot，由 21ft tp，则易知|of1|c，|ot|a，|tf1|tq|qp|b，|qf2|2a，|

7、pf2|pf1|2a3b2a，所以在 rtpqf2中(3b2a)2(2a)2b2，整理得ba32，所以双曲线 c 的离心率 e132.答案：1327 设 f1， f2分别是椭圆 e： x2y2b21(0b1)的左、 右焦点， a， b 在椭圆上， 且1af 13fb ，2af1 2ff0，则椭圆 e 的方程为_【解析】由已知及其椭圆的通径的性质可得点 a(c，b2)，所以点 b5c3，b23，所以5c32b232b21，所以 25c2b29，又因为 c2b21，所以 b223，所以椭圆 e 的方程为 x23y221.答案：x23y2218设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 f, 离心

8、率为33， 过点 f 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33，则椭圆的方程为_；设 a, b 分别为椭圆的左、右顶点， 过点 f 且斜率为 k(k0)的直线与椭圆交于 c，d 两点，ac db ad cb 8，则 k 的值为_【解析】设 f(c，0)，由ca33，知 a 3 c.过点 f 且与 x 轴垂直的直线为 xc，代入椭圆方程有（c）2a2y2b21，解得 y6b3，于是2 6b34 33，解得 b 2 ，又 a2c2b2，从而 a 3 ，c1，所以椭圆的方程为x23y221.设点 c(x1，y1)，d(x2，y2)，由 f(1，0)得直线 cd 的方程为 yk(x1)，由方

9、程组yk（x1） ，x23y221，消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260.求解可得 x1x26k223k2，x1x23k2623k2.因为 a( 3 ，0)，b( 3 ，0)，所以ac db ad cb (x1 3 ，y1)( 3 x2，y2)(x2 3 ，y2)( 3 x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k262k21223k2.由已知得 62k21223k28，解得 k 2 .因为 k0，所以 k 2 .答案：x23y22121.(5 分)(2020 全国卷)设 o 为坐标原点,直线 x=a 与双曲

10、线 c:-=1的两条渐近线分别交于 d,e 两点.若ode 的面积为 8,则 c 的焦距的最小值为 ()a.4b.8c.16d.32【解析】选 b. 双曲线 c:-=1的两条渐近线方程为 y= x,将 x=a 与双曲线渐近线方程联立,令 d 和 e 坐标分别为 d(a,b),e(a,-b),所以ode 的面积为 ab=8,所以 c2=a2+b22ab=16,当且仅当 a=b=2时,等号成立,所以 c4,则焦距 2c 的最小值为 8.2已知抛物线 c：y2x，m 为 x 轴负半轴上的动点，ma，mb 为抛物线的切线，a，b 分别为切点，则ma mb的最小值为()a116b18c14d12【解析】

11、选 a.设切线 ma 的方程为 xtym.代入抛物线方程得 y2tym0.由直线与抛物线相切得t24m0，mt24，所以 mt24，0，则 at24，t2，bt24，t2.故ma mbt22，t2t22，t2t44t2414t2122116.当 t22时，ma mb的最小值为116.3设 f1，f2分别为椭圆x23y21 的左、右焦点，点 a，b 在椭圆上，若1fa 52f b ，则点 a 的坐标是_【解析】设点 a 的坐标为(m，n)，b 点的坐标为(c，d).f1( 2 ，0)，f2( 2 ，0)，可得1fa (m 2 ，n)，2f b (c 2 ，d)，因为1fa 52f b ，所以 c

12、m6 25，dn5，又点 a，b 在椭圆上，所以m23n21，（m6 25）23(n5)21，解得 m0，n1，所以点 a 的坐标是(0，1).答案：(0，1)4设 p 为椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，f1，f2为椭圆的焦点，|pf1|pf2|4，离心率为32.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线 l：ykxm(m0)与椭圆交于 p，q 两点，试问参数 k 和 m 满足什么条件时，直线op，pq，oq 的斜率依次成等比数列【解析】(1)由椭圆的定义可得|pf1|pf2|2a4，所以 a2，由 eca32可得 c 3 ，b a2c21，则椭圆的标准方程为x24y21.(2)设点 p(x1

13、，y1)，q(x2，y2)，联立ykxm，x24y24，消 y 得(4k21)x28kmx4m240，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以64k2m216(m21)(4k21)0，解得 4k21m2，由根与系数的关系得 x1x28km4k21，x1x24m244k21.由题意知 k2kopkoq，即 k2y1y2x1x2k2x1x2km（x1x2）m2x1x2k2km（x1x2）x1x2m2x1x2，即为km（x1x2）x1x2m2x1x20，即有8k2m214k2m20，即 k214，即 k12，0m22.5.(10 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l:x-y-2=0,抛物线

14、 c:y2=2px(p0).(1)若直线 l 过抛物线 c 的焦点,求抛物线 c 的方程;(2)已知抛物线 c 上存在关于直线 l 对称的相异两点 p 和 q.求证:线段 pq 的中点坐标为(2-p,-p);求 p 的取值范围.【解析】(1)抛物线 c:y2=2px(p0)的焦点为,由点在直线 l:x-y-2=0 上,得 -0-2=0,即 p=4.所以抛物线 c 的方程为 y2=8x.(2)设 p(x1,y1),q(x2,y2),线段 pq 的中点 m(x0,y0),因为点 p 和 q 关于直线 l 对称,所以直线 l 垂直平分线段 pq,于是直线 pq 的斜率为-1,则可设其方程为 y=-x

15、+b.由消去 x 得 y2+2py-2pb=0(*),因为 p 和 q 是抛物线 c 上的相异两点,所以 y1y2,从而=(2p)2-4(-2pb)0,化简得 p+2b0.方程(*)的两根为 y1,2=-p,从而 y0=-p.因为 m(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=2-p.因此,线段 pq 的中点坐标为(2-p,-p).因为 m(2-p,-p)在直线 y=-x+b 上,所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-2p.由知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0,所以 p .因此 p 的取值范围为.【加练备选拔高】设 o 为坐标原点,动点 m 在椭圆 c:2x2+y2=1 上,过 m 作 x 轴的垂线,垂足为 n,点 p 满足np =2nm .(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 q 在直线 x=-3 上,且op pq =1.证明:过点 p 且垂直于 oq 的直线 l 过 c 的左焦点 f.【解析】(1)设 p(x,y),m(x0,y0),则 n(x0,0),np =(x-x0,y),nm =(0,y0).由np =2nm 得 x0=x,y0=22y.因为 m(x0,y0)在椭圆 c 上,所以2