2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.4函数y=Asinωxφ的图象及应用学案文含解析新人教A版202104121172.docx
2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形学案文含解析打包7套新人教A版
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2022高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形学案文含解析打包7套新人教a版,文本
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4.4函数y=asin(x+)的图象及应用必备知识预案自诊知识梳理1.y=asin(x+)的有关概念y=asin(x+)(a0,0),x0,+)振幅周期频率相位初相at=2f=1t=2x+2.用五点法画y=asin(x+)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示x0-2-32-2-x+02322y=asin(x+)0a0-a03.由y=sin x的图象得y=asin(x+)(a0,0)的图象的两种方法y=asin(x+)(a0,0)的图象的作法:(1)五点法:用“五点法”作y=asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0,2,32,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先后”)与“先伸缩后平移”(即“先后”).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)把y=sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式为y=sin12x.()(2)将y=sin 2x的图象向右平移3个单位长度,得到y=sin2x-3的图象.()(3)函数f(x)=asin(x+)(a0)的最大值为a,最小值为-a.()(4)如果y=acos(x+)的最小正周期为t,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为t2.()(5)若函数y=asin(x+)为偶函数,则=2k+2(kz).()2.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()a.x=k2-6(kz)b.x=k2+6(kz)c.x=k2-12(kz)d.x=k2+12(kz)3.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图象,只需把函数y=2sin 2x图象上所有的点()a.向左平移4个单位长度b.向左平移8个单位长度c.向右平移4个单位长度d.向右平移8个单位长度4.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+6的图象平移后对应函数g(x)=sinx+6+的图象,若g(x)为偶函数,则|的最小值为()a.6b.3c.23d.565.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.关键能力学案突破考点函数y=asin(x+)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=asin(x+)0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解题心得1.函数y=asin(x+)(a0,0)的图象的两种作法:(1)五点法:用“五点法”作y=asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0,2,32,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.(2)图象变换法:由函数y=sinx的图象通过变换得到y=asin(x+)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用x+=x+来确定平移单位.对点训练1已知函数y=2sin2x+3.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图象;(3)说明y=2sin2x+3的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.考点求函数y=asin(x+)的解析式(多考向探究)考向1由函数的图象求函数y=asin(x+)的解析式【例2】(1)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=asin(x+4)a0,0,00,0,|0,0)的解析式的步骤和方法:(1)求a,b:确定函数的最大值m和最小值m,则a=m-m2,b=m+2.(2)求:确定函数的最小正周期t,则可得=2t.(3)求:把图象上的一个已知点代入来求.寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时,x+=0;“第二点”(即图象的“峰点”)时,x+=2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时,x+=;“第四点”(即图象的“谷点”)时,x+=32;“第五点”时,x+=2.对点训练2(1)(2020全国百强名校联考,理10)函数f(x)=acos(x+)a0,0,|0,0,|0,0)只能同时满足下列条件中的两个:函数f(x)的最大值为2,函数f(x)的图象可由y=2sinx-4的图象平移得到,函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;(2)求方程f(x)+1=0在区间-,上所有解的和.解题心得由函数y=asin(x+)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定a,由函数的周期性确定,由函数的奇偶性或对称性确定.对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-6-2cos2x+6(a0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,求实数m的取值范围.从f(x)的最大值为1,f(x)的图象与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于,f(x)的图象过点6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.考点函数y=asin(x+)的模型的应用【例4】(2021河南高三质检,15)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图,将筒车抽象为一个几何图形(圆),筒车的半径为4 m,筒车转轮的中心o到水面的距离为2 m,筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定:盛水筒m对应的点p从水中浮现(即p0时的位置)时开始计算时间,且以水轮的圆心o为坐标原点,过点o的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xoy.设盛水筒m从点p0运动到点p时所经过的时间为t(单位:s),且此时点p距离水面的高度为h(单位:m),则h与t的函数关系式为,点p第一次到达最高点需要的时间为s.解题心得三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略1.已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;2.把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.对点训练4(1)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=asin(x+)+ba0,0,|0,0)的单调区间的确定,基本思想是把(x+)看作一个整体,若0.4.4函数y=asin(x+)的图象及应用必备知识预案自诊知识梳理1.x+2.023.|考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.b由题意可知,将函数y=2sin2x的图象向左平移12个单位长度得y=2sin2x+12=2sin2x+6的图象,令2x+6=2+k(kz),得x=k2+6(kz).故选b.3.b由题得,y=2(sin2x+cos2x)=2sin2x+4=2sin2x+8,故选b.4.b因为函数g(x)=sinx+6+为偶函数,所以6+=k+2(kz),解得=k+3(kz).当k=0时,=3,即|的最小值为3.5.x=-524将函数y=3sin2x+4的图象向右平移6个单位长度后得到函数y=3sin2x-6+4=3sin2x-12的图象.由2x-12=2+k,kz,得平移后的对称轴的方程为x=724+k2,kz.当k=0时,x=724,当k=-1时,x=-524.所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-524.关键能力学案突破例1解(1)根据表中已知数据,解得a=5,=2,=-6.数据补充完整如下表x+02322x123712561312asin(x+)050-50函数解析式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sinx图象的对称中心为(k,0),kz,所以令2x+2-6=k,kz,解得x=k2+12-,kz.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,kz,解得=k2-3,kz.由0可知,当k=1时,取得最小值6.对点训练1解(1)y=2sin2x+3的振幅a=2,周期t=22=,初相=3.(2)令x=2x+3,则y=2sin2x+3=2sinx.列表,x-612371256x=2x+302322y=2sin2x+3020-20描点画图得函数图象,(3)把y=sinx的图象上所有的点先向左平移3个单位长度,得到y=sinx+3的图象,再把y=sinx+3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x+3的图象,最后把y=sin2x+3上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin2x+3的图象.例2(1)c(2)a(1)由图可知,a=2,t4=,所以t=4=2,解得=12,故f(x)=2sin12x+4.因为图象过点c(0,1),所以1=2sin4,即sin4=12.因为08,所以042,所以4=6,则f(x)=2sin12x+6,故a选项正确;若其纵坐标不变,横坐标变为原来的14,所得到的函数解析式为y=2sin2x+6,再向右平移6个单位长度,所得到的函数解析式g(x)=2sin2x-6+6=2sin2x-6,故b选项正确;当x=-3时,f-3=2sin0=0,则x=-3不是函数f(x)图象的一条对称轴,故c选项错误;令2k-22x-62k+2(kz),得k-6xk+3(kz),故函数g(x)的单调递增区间是k-6,k+3(kz),当k=1时,g(x)在区间56,43上单调递增,故d选项正确.(2)由题图知,a=2,周期t=23-6=,所以=2=2,y=2sin(2x+).(方法1)因为函数图象过点3,2,所以2=2sin23+.所以23+=2k+2(kz).因为|2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6,故选a.(方法2)因为函数图象过点-6,-2,所以-2=2sin2-6+,所以2-6+=2k-2,kz,即=2k-6,kz.因为|2,故令k=0,得=-6,所以y=2sin2x-6.故选a.对点训练2(1)a(2)d(1)由图象可知a=2,t=4512-6=,则=2=2,当x=6时,函数取得最大值,所以26+=k,kz,因为|2,所以=-3,故选a.(2)由图象可得a=2,最小正周期t=4712-3=,则=2t=2.由f712=2sin76+=-2,|0,所以函数f(x)的最大值和最小值分别为a,-a-2.若选,则a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1;若选,则-3为函数f(x)的最小值,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1;若选,则(a+1)sin26-6-1=0,从而a=1,函数f(x)=2sin2x-6-1.(2)由(1)知,函数f(x)的最大值为1.因为关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,当x0,m时,2x-
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