2022高考数学一轮复习高考大题专项四突破2空间中的垂直与几何体的体积学案文含解析新人教A版

1、突破2空间中的垂直与几何体的体积题型一证线线垂直及求几何体的体积【例1】(2020广东汕头一模,文18)在四棱锥p-abcd中,平面pac平面abcd,且有abdc,ac=cd=da=12ab.(1)证明:bcpa;(2)若pa=pc=22ac=2,q在线段pb上,满足pq=2qb,求三棱锥p-acq的体积.解题心得证明线线垂直的方法(1)通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直;(2)利用面面垂直寻求线面垂直,从而得到线线垂直;(3)应用等腰(等边)三角形三线合一性质,即三角形底边的中线同时是高和角分线,得到线线垂直;(4)应用两条平行线的性质,有一条与一个面中的直线垂直,则另一条也与平面中的直线

2、垂直.对点训练1(2020广东化州二模,文18)如图,在三棱锥d-abc中,o为线段ac上一点,平面adc平面abc,且ado,abo为等腰直角三角形,斜边ao=42.(1)求证:acbd;(2)将bdo绕do旋转一周,求所得旋转体的体积.题型二证线面垂直及求几何体体积【例2】(2019全国2,文17)如图,长方体abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形,点e在棱aa1上,beec1.(1)证明:be平面eb1c1;(2)若ae=a1e,ab=3,求四棱锥e-bb1c1c的体积.解题心得证明线面垂直常用方法是线面垂直的判定定理,即证直线和平面内的两条相交直线垂直.对点训练2(2020广

3、东湛江一模,文18)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧面aa1c1c底面abc,e为cc1的中点,af=2fb.(1)求证:bc1平面a1ef;(2)若ac=aa1=2,ab=bc=2,a1ac=60,求四棱锥c1-bfa1b1的体积.题型三证面面垂直及求几何体体积【例3】(2020湖南常德一模,文19)在三棱锥p-abc中,底面abc与侧面pab均为正三角形,ab=2,pc=6,m为ab的中点.(1)证明:平面pcm平面pab;(2)n为线段pa上一点,且scmn=34,求三棱锥p-cmn的体积.解题心得证明面面垂直的常用方法是面面垂直的判定定理,即一个平面过另一个平面的垂线,则这两个

4、平面垂直.为此就要先证线面垂直,而要证线面垂直又转化成证线线垂直.又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直.这是一个相互转化的过程.对点训练3(2020全国1,文19)如图,d为圆锥的顶点,o是圆锥底面的圆心,abc是底面的内接正三角形,p为do上一点,apc=90.(1)证明:平面pab平面pac;(2)设do=2,圆锥的侧面积为3,求三棱锥p-abc的体积.题型四证垂直关系及求点到面的距离【例4】(2020福建泉州一模,文19)如图1,四边形abcd是边长为2的菱形,bad=60,e为cd的中点,以be为折痕将bce折起到pbe的位置,使得平面pbe平面abcd,如图2.(1)证明:

5、平面pab平面pbe;(2)求点d到平面pab的距离.解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在一个平面上的线线和线面的关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.题型五证垂直关系及求空间角【例5】如图,在四棱锥p-abcd中,ad平面pdc,adbc,pdpb,ad=1,bc=3,cd=4,pd=2.(1)求异面直线ap与bc所成角的余弦值;(2)求证:pd平面pbc;(3)求直线ab与平面pbc所成角的正弦值.解题心得求异面直线所成的角、线与面所成的角的方法是一作,二证,三求.异面直线所成

6、的角一般利用平行线转化为同一平面内的两条直线所成的角;线与面所成的角一般找到直线在平面内的射影,转化为直线与直线在平面内的射影所成的角.对点训练4(2020江西临川二中月考,文19)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd的边长是2的正方形,pa=pd,papd,f为pb上的点,且af平面pbd.(1)求证:平面pad平面abcd;(2)求直线pb与平面abcd所成角的正弦值.突破2空间中的垂直与几何体的体积例1(1)证明不妨设ab=2a,则ac=cd=da=a,则acd是等边三角形,acd=3.abdc,cab=3.由余弦定理得,bc2=ac2+ab2-2acabcos3=3a2,即bc=

7、3a,则bc2+ac2=ab2,即acb=90,故bcac.又平面pac平面abcd,平面pac平面abcd=ac,bc平面abcd,bc平面pac,pa平面pac,bcpa.(2)解依题意得,papc,bc=23.vp-acq=vq-pac=23vb-pac=2313spacbc=231312papcbc=2313122223=439.对点训练1(1)证明ado,abo为等腰直角三角形,斜边ao=42.doad,boab,ad=do=ab=bo=4,取ao中点e,连接de,be,如图,则deac,beac,且debe=e,ac平面bde,又bd平面bde,acbd.(2)解由(1)知deac

8、,平面adc平面abc,且平面adc平面abc=ac,de平面abc,bde是直角三角形.ado,abo是直角三角形,斜边ao=42,bo=do=4,de=22,be=22,将bdo绕do旋转一周,所得几何体是以23为底面半径,2为高的两个有公共底面的圆锥,将bdo绕do旋转一周所得旋转体的体积为v=2132(23)2=16.例2(1)证明由已知得b1c1平面abb1a1,be平面abb1a1,故b1c1be.又beec1,所以be平面eb1c1.(2)解由(1)知beb1=90.由题设知rtaberta1b1e,所以aeb=a1eb1=45,故ae=ab=3,aa1=2ae=6.作efbb1

9、,垂足为f,则ef平面bb1c1c,且ef=ab=3.所以,四棱锥e-bb1c1c的体积v=13363=18.对点训练2(1)证明连接ac1,与a1e交于点m,连接mf,e为cc1的中点,c1eaa1,且c1e=12aa1.ammc1=21.又af=2fb,在abc1中,mfbc1.mf平面a1ef,bc1平面a1ef,bc1平面a1ef.(2)解侧面aa1c1c底面abc,ac=aa1=2,a1ac=60,三棱柱abc-a1b1c1的高h=3.v三棱锥c1-abc=13sabch=13v三棱柱abc-a1b1c1,v四棱锥c1-abb1a1=23v三棱柱abca1b1c1.在侧面abb1a1

10、中,af=2fb,s梯形bfa1b1=23s平行四边形abb1a1.v四棱锥c1-bfa1b1=23v四棱锥c1-abb1a1=49v三棱柱abc-a1b1c1,v四棱锥c1-bfa1b1=4912223=439.例3(1)证明因为abc是边长为2的正三角形,m为ab的中点,所以cmab,cm=3,同理,pm=3,又pc=6,因为cm2+pm2=pc2,所以cmpm.又abpm=m,所以cm平面pab,又cm平面pcm,所以平面pcm平面pab.(2)解(方法1)由(1)得cm平面pab,所以cmmn,cmn为直角三角形,所以scmn=12cmnm=34,且cm=3,解得mn=32.在amn中

11、,由cosa=an2+am2-mn22anam,cos60=an2+12-3222an,解得an=12,即pn=32,即pnpa=34,spnm=34spam=38spab=383=338,vp-cmn=vc-pmn=13spmncm=133383=38.(方法2)由(1)可得cm平面pab,所以cmnm,即34=123nm,nm=32,所以nmpm=ampa=12,得anmapm,则anm=amp=90,所以nmpa,又cmpa,nmcm=m,所以pa平面cnm,在rtpnm中,pn=pm2-nm2=32,所以vp-cmn=13scmnpn=131233232=38.对点训练3(1)证明由题

12、设可知,pa=pb=pc.由于abc是正三角形,故可得pacpab,pacpbc.又apc=90,故apb=90,bpc=90.从而pbpa,pbpc,故pb平面pac,所以平面pab平面pac.(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题设可得rl=3,l2-r2=2.解得r=1,l=3.从而ab=3.由(1)可得pa2+pb2=ab2,故pa=pb=pc=62.所以三棱锥p-abc的体积为1312papbpc=1312623=68.例4(1)证明依题意知,因为cebe,所以pebe.又平面pbe平面abcd,平面pbe平面abcd=be,pe平面pbe,所以pe平面abcd.又ab平面a

13、bcd,所以peab.由已知,bcd是等边三角形,且e为cd的中点,所以becd.因为abcd,所以abbe.又pebe=e,所以ab平面pbe.又ab平面pab,所以平面pab平面pbe.(2)解在abd中,ab=ad=2,bad=60,所以sabd=3.由(1)知,pe平面abd,且pe=1,所以三棱锥p-abd的体积v=1331=33.在rtpbe中,pe=1,be=3,得pb=2,由(1)知,ab平面pbe,所以abpb,所以sabp=2,设点d到平面pab的距离为d,则三棱锥e-pab的体积v=132d=33,得d=32.例5(1)解如图,由已知adbc,故dap即为异面直线ap与b

14、c所成的角.因为ad平面pdc,所以adpd.在rtpda中,由已知,得ap=ad2+pd2=5,故cosdap=adap=55.所以异面直线ap与bc所成角的余弦值为55.(2)证明因为ad平面pdc,直线pd平面pdc,所以adpd.又因为bcad,所以pdbc.又pdpb,所以pd平面pbc.(3)解过点d作ab的平行线交bc于点f,连接pf,则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角.因为pd平面pbc,故pf为df在平面pbc上的射影,所以dfp为直线df和平面pbc所成的角.由于adbc,dfab,故bf=ad=1,由已知,得cf=bc-bf=2.又addc,故bcdc,在rtdcf中,可得df=cd2+cf2=25,在rtdpf中,可得sindfp=pddf=55.所以,直线ab与平面pbc所成角的正弦值为55.对点训练4(1)证明af平面pbd,pd平面pbd,pdaf.papd,paaf=a,pd平面pab.ab平面pab,pdab.四边形abcd是正方形,abad.pdab,adp