概率统计第二章习题A

1、第第二二章章 习习题题 a a 解解答答 5. 将将三三本本书书分分给给四四个个人人，设设 z 为为各各人人所所得得书书的的本本数数的的最最大大值值，试试写写出出随随机机变变量量 z 的的分分布布律律. 7. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯， 每盏信号灯以灯， 每盏信号灯以 1/2 的概率允许或禁止汽车通过， 以的概率允许或禁止汽车通过， 以 x 表表示汽车首次停下时， 它已通过的信号灯的盏数 （示汽车首次停下时， 它已通过的信号灯的盏数 （设各信设各信号灯号灯的工作是相互独立的的工作是相互独立的） ，求） ，求 x 的分布律的分布律.

2、解：解：x 取值取值 0，1，2，3，4 161416138121241212112103 ）（）（）（）（）（xpxpxpxpxp 8两两名名篮篮球球队队员员轮轮流流投投篮篮，直直到到某某人人投投中中为为止止。如如果果第第一一名名队队员员投投中中的的概概率率为为 0.4，第第二二名名投投中中的的概概率率为为 0.6，求求每每名名队队员员投投篮篮次次数数的的分分布布律律. 解：解：设设 x 为第一名队员投篮次数，为第一名队员投篮次数，y 为第二名队员投为第二名队员投篮次数篮次数 6 . 06 . 04 . 06 . 04 . 06 . 04 . 04 . 06 . 04 . 06 . 0)3(

3、76. 024. 06 . 06 . 04 . 06 . 04 . 04 . 06 . 0)2(6 . 06 . 04 . 0)1( xpxpxp 76. 024. 02 , 2 , 1,24. 076. 0)(1kkxpk 同同理理得得 p（y=0）=0.4 p（y=k）=0.76 , 2 , 1,4 . 06 . 01kkk 9. 一大楼装有一大楼装有 5 个同类型的供水设备，调查表个同类型的供水设备，调查表明在任明在任一时刻一时刻 t 每个设备被使用的概率为每个设备被使用的概率为 0.1，问在同一时刻，问在同一时刻 (1) 恰恰有有 2 个个设设备备被被使使用用的的概概率率是是多多少少？

4、 解：解：设设 x 为被使用的设备数。为被使用的设备数。xb(5,0.1) 0729. 09 . 01 . 025)2(32 xp (2) 至至少少有有 3 个个设设备备被被使使用用的的概概率率是是多多少少？ 解：解： 00856. 09 . 01 . 0559 . 01 . 0459 . 01 . 035)3(051423 xp （3）至至多多有有 3 个个设设备备被被使使用用的的概概率率是是多多少少？ 解解： 05149 . 01 . 0559 . 01 . 0451)5()4(1)3( xpxpxp =0.99954 （4）至少有至少有 1 个设备被使用的概率是多少？个设备被使用的概率是

5、多少？ 解解： 40951. 09 . 01 . 0051)0(1)1(50 xpxp 10. 设设事事件件 a 在在每每一一次次试试验验中中发发生生的的概概率率为为 0.3，当当 a发发生生不不少少于于 3 次次时时，指指示示灯灯发发出出信信号号， （1）进进行行了了 5 次次独独立立试试验验，求求指指示示灯灯发发出出信信号号的的概概率率. （2）进进行行了了 7 次次试试验验，求求指指示示灯灯发发出出信信号号的的概概率率. 11设有设有 80 台同类型设备，各台工作是相互独立的，台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01， 且一台设， 且一台设备的故

6、障能由一个人处备的故障能由一个人处理。理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由考虑两种配备维修工人的方法，其一是由 4 人维护，每人维护，每人负责人负责 20 台； 其二是由台； 其二是由 3 人共同维护人共同维护 80 台， 试比较这两种台， 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小. 解解：第第一一种种方方法法：设设x; 4 , 3 , 2 , 1),01. 0 ,20( ibxii为为故故障障数数， 01. 020,01752. 0! 1! 0199. 001. 012099. 001. 00201)1()0(1)1(1019120

7、0 其中其中令令eexpxpxppi )1()1()1()1(44)1()1()1(34)1()1(24)1(14)1()1()1()1(43213212114321 xpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxxxxp =07. 044342414432 pppp 第第二二种种方方法法：设设故故障障数数 y)01. 0 ,80( b 047. 028 . 08 . 0199. 001. 028099. 001. 018099. 001. 00801)2()1()0(1)3(8 . 028 . 08 . 0782791800 eeeypypypyp 故故第第一一种种方方法法发发生生故故障障时时不

8、不能能维维修修的的概概率率大大. 12一个工厂出产的产品中废品率为一个工厂出产的产品中废品率为 0.005，任意取来，任意取来1000 件，试计算下面概率：件，试计算下面概率： （1）其其中中至至少少有有两两件件废废品品； 解解： 设设 x 为为废废品品数数，5005. 01000),005. 0 ,1000( bx 9596. 051)1()0(1)2(55 eexpxpxp （2）其其中中不不超超过过 5 件件废废品品； 解：解： 66160. 03840. 01!1)5(kkekxp （3）能能以以 90%的的概概率率希希望望废废品品件件数数不不超超过过多多少少？ 解解：设设废废品品数数

9、不不超超过过 k 38953. 0)3(9596. 0)2(99326. 0)1(90. 0)( kxpxpxpkxp取取 13 某工厂有某工厂有 7 个顾问， 假定每个顾问贡献正确意见的个顾问， 假定每个顾问贡献正确意见的百分比为百分比为 0.6，现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并，现为某事可行与否而个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率率. 解解： 设设 x 为为正正确确意意见见数数，则则 ),6 . 0 , 7( bx 7102.04.06.0774.06.0674.06.0574.06.047)7()6()5()4

10、()4(07162534 xpxpxpxpxp 14. 每每年年袭袭击击某某地地的的台台风风次次数数近近似似服服从从=8 的的泊泊松松分分布布，求求： （1）该该地地一一年年中中受受台台风风袭袭击击次次数数小小于于 6 的的概概率率； 解：解：设设 x 为台风次数，为台风次数，)8( x 1912. 0)! 58! 28! 181()5()4()3()2()1()0()6(528 expxpxpxpxpxpxp （2）一年中该地受到台风袭击次数为一年中该地受到台风袭击次数为 7 至至 9 次的概率次的概率. 解解： 124. 0)! 98! 88!78()9()8()7()97(9878 ex

11、pxpxpxp 15 一一电电话话交交换换台台每每分分钟钟收收到到呼呼唤唤的的次次数数服服从从参参数数为为4 的的泊泊松松分分布布，求求： （1）每每分分钟钟恰恰好好有有 8 次次呼呼唤唤的的概概率率； 解解：设设 x 为为每每分分钟钟呼呼唤唤次次数数，)4( x 029771. 0! 84)8(84 exp （2）每每分分钟钟的的呼呼唤唤次次数数大大于于 10 的的概概率率. 解解: 114002840. 0!4)10(kkkexp 16 某某商商店店中中每每月月销销售售某某种种商商品品的的数数量量服服从从参参数数为为 5的的泊泊松松分分布布，问问在在月月初初进进货货时时要要库库存存多多少少

12、此此种种商商品品，才才能能保保证证当当月月不不脱脱销销的的概概率率为为 0.999. 解：解： 设设 x 为每月的销售量， 则为每月的销售量， 则 x)5( .设设 k 为进货时的为进货时的库存量，则应有库存量，则应有 p(x999. 0) k ， 即即 15001. 0!5krrre 查查表表得得 k+1=14, k=13. 17设设 x 服从泊松分布，其分布律为服从泊松分布，其分布律为, 2 , 1 , 0)( kkekxpk，！ ， ， 问当问当 k 取何值时取何值时 p(x=k)为最大？为最大？ 解：解：将第将第 k+1 项比第项比第 k 项即得项即得. 21 设设随随机机变变量量 x

13、 的的分分布布函函数数为为 f(x)=a+barctan(x), 试试求求 （1） 常常数数 a，b； 解解： 得得由由, 0)(, 1)( ff 0212 baba 即即 121 ba ， )arctan(121)(xxf （2）随随机机变变量量 x 的的概概率率密密度度； 解解： f（x）=)(xf=2111x （3） 813 xp. 解：解： )42(arctan1)1arctan2(arctan1)1()2()21()81(3 ffxpxp 24 某工厂生产的电子管的寿命为某工厂生产的电子管的寿命为 x 小时，其概率密小时，其概率密度为度为 .100, 0,100,100)(2xxxx

14、f 假定电子管的寿命不到假定电子管的寿命不到 120 小时就不合格，现取三只电子小时就不合格，现取三只电子管，问至少有一只不合格的概率是多少？管，问至少有一只不合格的概率是多少？ 解解：设设321,xxx，为为三三只只电电子子管管的的寿寿命命 1201203233132132121691)100(1)(1)120(1)120,120,120(1)120120120(dxxdxxfxpxxxpxxxp 25 设顾客在某银行的窗口等待服务的设顾客在某银行的窗口等待服务的 x（以分记以分记）服）服从指数分布，其概率密度为从指数分布，其概率密度为 ., 0, 0,51)(5其其它它xexfxx 某顾客

15、在窗口等待服务，若超过某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟，他就离开，他一个分钟，他就离开，他一个月要到银行月要到银行 5 次，以次，以 y 表示一个月内他未等到服务而离开窗表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数口的次数, 写出写出 y 的分布率的分布率，并求并求.1 yp 解：解： 21051051)()10( edxedxxfxpx ), 5(2 eby 40332. 0)1()(1)0(1)1(1)1(; 5 , 1 , 0,)1()(5202055225 eecypypypkeeckypkkk 26 设设 k 在（在（0，5）服从均匀分布求方程）服从均匀分布求方程 02442 k

16、kxx有实根的概率有实根的概率. 解解： 0)1)(2(020321616)2(4)4(422222 kkkkkkkkacb 即即 53)2(2 kpk 28 设测量从某地到某一目标的距离时产生的随机误差设测量从某地到某一目标的距离时产生的随机误差为为 x，其概率密度为，其概率密度为 ).( ,2401)(3200)20(2 xexfx （1）求求测测量量误误差差的的绝绝对对值值不不超超过过 30 的的概概率率； 解解： 4931. 08944. 015987. 0)25. 1(1)25. 0()25. 1()25. 0()402030()402030()3030()30|(|)40,20(2

17、 xpxpnx （2）若若接接连连独独立立测测量量三三次次，求求至至少少有有一一次次误误差差绝绝对对值值不不超超过过 30 的的概概率率. 解解：设设为三次测量误差，为三次测量误差，321,xxx，则则 8697. 0)4931. 01(1)30|(|(1)30| ,30| ,30|130|30|30|331321321 xpxxxpxxxp（）（ 29公共汽车门的高度是按成年男子碰头在公共汽车门的高度是按成年男子碰头在 1%以下来设以下来设计，若成年男子身高服从计，若成年男子身高服从 n（170，62）的正态分布（）的正态分布（以以 cm为为单位单位）.求车门最低高度是多少厘米？求车门最低高度是多少厘米？ 30一一工工厂厂生生产产的的电电子子管管的的寿寿命命 x（以以小小时时计计）服服从从正正态态分分布布 n（160，2） ，若若要要求求 8 . 0)200120( xp，问问： (1)允允许许为为多多少少？ 解解： 8 . 0)4016040(8 . 0)160200160160120(8 . 0)200120( xpxpxp 8 . 04040 8